[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 유리함수

자 우리가 오늘 학습할 단어는요 유리함수입니다 우리가 지난 시간에 유리식을 배웠었는데 유리식을 바탕으로 유리 함수를 설명 드릴 거예요 자 fx가 x에 대한 유리식일 때 우리는이 fx를 유리함수라고 합니다 y는 fx를 유리함수라고 하는 거예요 그러면 지난 시간에 변동 내용 중에 또 어떤 내용이 있냐면 유리식 안에는 유리 시간에는 뭐가 들어가 있는 거예요 다항식이 들어가 있죠 그러면 y=fx로 표현되는 유리함수에서이 fx가 다항식일 수도 있겠네요 그래서 유리함수 안에는 다항함수도 있고 분수함수도 있는 겁니다 근데 우리가 이번 단원에서 배울 내용은 분수함수를 위주로 배울 거예요 자 분수함수의 대표적인 예시가 무엇이 있냐 우리가 예전에 배웠던y는 x분의 1이라는 반비례 관계가 있죠 요거를 평행이 이동도 시킬 거고 대칭 이동도 시켜가며 배울 겁니다

자 일단은 우리가 여기 정의역에 관한 내용이 설명되어 있는데요 우리가 정의역이 실수 전체가 아닙니다 실수 전체가 아니고 여기 지금 x분의 1에서 x가 분모니까 x가 0이면 안 되죠 그래서 우리는 유리 함수에서 정의역을 어떻게 정의하냐 분모를 0으로 만드는 x값을 제외하고 우리는 정의역을 만들어 줍니다 그래서 x분의 1의 정의역은 어떻게 쓸 수 있겠어요 x는 0이 아닌 실수 전체 요렇게 정의역을 정의하게 됩니다 자 다음으로 넘어가서요 우리가 x분의 K 그래프가 어떻게 생기는지 먼저 볼 건데 일단은 제가 y는 x분의 1이라는 그래프를 그려 볼게요 자 x분의 1이라는 그래프는 우리가 예전에 많이 그렸던 그래프죠 1사분면과 3사분면이 있고요요렇게 요렇게 생긴 그래프고 우리가 정의역을 보다 하니 아까 말씀드린 대로 분모를 0으로 만드는 x값을 제외한 실수고 지역은 어떻게 되나요 치약은 지금 요게 빠져 있죠 0을 만드는 x 값이 존재하지 않습니다 그래서 y는 0인 실수가 치역입니다 자 그리고 또 어떤 특성이 있나요 우리가 지금 점근선이 두 개가 있습니다 바로 x축하고 y 축을 점근선으로 가져요 자 x축은 우리가 식으로 표현하면 우리가 어떻게 쓸 수 있죠 y는 0이라고 쓸 수 있고요 y축은 x는 0이라고 쓸 수 있습니다 자 그리고 얘는 뭐의 대칭이냐 원점 대칭이구요 원점 대칭이고 y = x에 관해서도 대칭입니다 y는 x의 대칭그리고 요거에 대해서도 대칭이에요 y는 -x에 대해서도 대칭입니다 자 y는 x분의 1은 이런 특성들을 가지고 있고요 우리가 하나 더 그려 볼게요 y는 마이너스 x분의 1이라는 그래프를 그려보겠습니다 얘는 어떻게 그릴 수 있어요 이렇게 그릴 수 있죠 이렇게 자 그러면 정의역 지역 동일하고요 x축이랑 y축 점등선으로 갖는 것도 동일하고 원점대칭인 것도 동일하고 요거에 대칭인 것도 동일하고 아이는 마이너스 x의 대칭인 것도 동일합니다 단지 1 3 4부면에 있느냐 24사분면에 있느냐 그 차이가 좀 있습니다 얘는 1 3 4분면 위에 있고 y는 -x244분면 위에 있습니다

자 그러면 요번엔 요걸 그려볼게요 제가 녹색으로 그릴 건데요y는 x분의 2 그래프를 그려볼게요 자 원래 y는 x분의 1은 1을 지나죠 그러면 y = x분의 2에다가 똑같은 x좌표 1일 대입하면 1이잖아요 그러면 여기가 1이었다면 1 2는 여기쯤 있겠죠 그래서 그래프가 이렇게 그려집니다 즉 K 값이 K 값이 커지면 커질수록 바깥쪽으로 가게 돼요 음수인 경우에는요 k가 작으면 작을수록인데 그거보다는 우리가 절댓값으로 볼 거예요 제2의 절대값이 크면 클수록 그래프가 원점에서 이렇게 멀어지는 그래프가 그려집니다 자 넘어가겠습니다 우리가 y는 x-p분의 k+qb 그래프인데요 우리가 원래 y는 x분의 k라는 그래프가 있었어요 요거를 x축으로 p만큼 평행 이동시키고 y축으로 수만큼 평의 이동을 시키면요x 자리에는 x-p가 들어가고 y 자리엔 y-q가 들어가게 되죠 얘는 x-b분의 K 그러면 이거를 우리가 y에 관해서 정리를 하면 x-p분의 k + q가 되는 겁니다 자 그러면이 꼴은 이렇게 생긴 애는 x분의 k라는 그래프를 x축으로 p만큼 y축으로 q만큼 평행 이동을 시키네요 그러면 우리는 원점을 기준으로 원래 원점에 있던 점을 기준으로 x축으로 p만큼 y축으로 수만큼 그린 위치에 점근선의 교점을 그려주는 거예요 요렇게 요렇게 그러면이 점근선을 기준으로 우리가 그래프를 그려줄 수 있겠죠 요렇게 자 그랬을 때 바뀌는게 있습니다 우리가 정의역도 바뀌고요 정의하고 원래 x가 0이 아닌 실수였는데마찬가지로 분모를 0으로 만드는 x값이 p잖아요 그럼 요거는 안 되는 거잖아요 지금 분모가 0이면 안 되니까 그래서 x는 p를 제외한 실수가 정의역이 되고요 지역은 여기 지금요 와인은 q라는 값을 가지는게 이제 없어졌죠 그래서 y는 q가 아닌 실수로 됐습니다 점근선도 평행 이동시킨 대로 x는 p y는 q라는 점근선으로 옮겨졌고요 원점대칭이던 것이 우리 이제 피콤마 q에 대하여 대칭인 것으로 바뀐 겁니다 자 그리고 원래 직선 뭐에 대칭이었어요 원래 직선 y는 x랑 y는 마이너스 x에 대하여 대칭이었는데이 직선들도 각각 x축으로 p만큼 y축으로 수만큼 평의 이동시킨이 직선들에 대하여 대칭인 겁니다 그래서 크직선들을 녹색으로 그려주면요 이렇게 생긴 직선하고 이렇게 생긴 직선하고 두 개에 대하여 대칭인 겁니다

자 그러면 개념 렌즈 한번 풀어보도록 하겠습니다 y는 x+1+3의 그래프를 그리고 점근선을 찾으라 그랬네요 얘는 어떻게 찾냐 우리는 y는 x분의 1이라는 그래프를 기준으로요 평행 이동을 얼만큼 시켰는지 확인을 해 볼 거예요 자 x축으로는 -1만큼 같고요 y축으로는 3만큼 평행 이동을 시켰죠 그러면 그래프를 한번 그려 보도록 할게요 자 원래 y는 x분의 1이라는 그래프는 이렇게 생겼습니다 이렇게 생겼었는데 원점대칭이었죠 원점대칭이었는데 얘가 어디로 가는 거예요 x축으로 -1만큼 y축으로 3만큼 여기로 가는 겁니다 그래서이 점을 기준으로 점근선이 생기는 거예요 이렇게 생긴 점근선 이렇게 생긴 정도였죠 그래서이 점근선을 따라 그래프를 이렇게 그려주면 되겠죠 그래프는 파란 그래프처럼 그려주면되고요 점근선은 x는 -1 y는 3이라고 써주면 되겠네요 자 다음으로 넘어가서요 우리가 x-p분의 K + 축구를 배웠는데 욕구를 배웠어요 원래 이렇게 생긴 형태를 배웠는데 우리가 지금 뭐를 할 거냐 요렇게 생긴 애들이 배울 거예요 사실은 같은 앱입니다 자 예시를 하나 들어볼게요 y는 2X + 1분의 3 - 5라는 애가 있어요 그러면 얘를 이렇게 바꿀 수 있죠 2x+1분의 통분해를 줘 버리는 거예요 3 - 5의 2x+1로요 그러면 2x + 1분의 -10 x - 2가 됩니다 그러니까 요렇게 생긴 애나 요렇게 생긴 애나 형태만 다를 뿐이지 똑같은 앤 겁니다 그러면 우리가 서로가 서로를 바꿀 수 있어야겠죠그러면 요구를 한번 바꿔 보겠습니다 y는 x + 2분의 2x + 5라는 함수가 있어요 자 어떻게 바꾸는지 한번 보세요 분모가 x+2니까 분자에도 x+2를 만들어 주는 겁니다 그런데 우리가 여기다 플러스 2를 하면요 맘대로 하면 안 되니까 다시 마이너스 일을 해줍니다 그리고 원래 뒤에 플러스 5가 있었죠 이렇게 하면 아직 변한게 없습니다 -1을 2를 곱해서 바깥으로 빼줘요 그러면 x + 1/2x+2 - 4 + 5니까 x + 2분의 2의 x + 2 + 1이고요 2 + x + 2분의 1입니다 요렇게 우리가 편한 형태로 바꿔 줄 수가 있어요 그리고 또 공식화에서 몇 가지알아두면 좋습니다 자 접는 선의 방정식 x는요 마이너스 c분의 D 즉 제가 파란색으로 할게요요 부분에 요거에 마이너스 부호를 달아준 거구요 또 다른 점근선은 c분의 a입니다 제가 빨간색으로 표시를 할게요 이거 분의 이거가 바로 y는 c분의 a 또 다른 점근선이 됩니다 우리가 공식을 활용하면 좀 더 쉽게 찾아낼 수 있겠죠 자 그리고이 점과 2점 점근선이 만나는 점이 우리가 점대칭인 점이죠 그래서 요런 설명도 있네요

자 넘어가세요 개념 예제 볼 건데요 그래프를 그리라고 했네요 그러면 우리가 공식을 써도 좋지만 그래도 오늘은 연습을 한번 해보겠습니다 y는 X + 2분의 5로 묶고요 지금 x+2가 필요한 거죠 그러면 우리가 2를 마음대로 더할 수 없으니까 다시 2를 뺍니다그리고 원래 뒤에 플러스 12가 있었어요 그다음 우리는이 -1을 바깥으로 빼 줄 거예요 5를 곱해서요 그러면 -1이 되겠죠 여기까지 정리된 걸 한번 쓰겠습니다 X + 1/2x+2 [음악] + 12 - 10은 2입니다 따라서 5 + x + 2분의 2고요 요거 점등선의 방정식을 일단 찾아볼 수 있겠죠 요거를 0으로 만드는 x값 -2와요 값 y는 5라는게 우리가 지금 찾는 점근선이죠 그러면 점근선을 먼저 그어주고 그래프를 그려봅시다 자 x는 -2니까요 x는 -2니까 점근선이 이렇게 생기겠네요 y는 5니까 조금 위쪽에 이렇게 생길 거고요 지금 x + 2분의 2요 위치에 있는 숫자가 양수니까 그래프를 이렇게그려주면 됩니다 점근선은 요렇게 그래프는 요렇게 그려주면 되겠죠 자 이번엔 역함수를 구하는 건데요 우리가 역함수를 구하는 방법은 어떤 y는 x에 관해 쓰여 있는 식을 x에 관해 바꿔준 다음에 x를 y로 바꾸고 y를 x로 바꿔서 이렇게 표현하면 역함수를 구하는 과정이잖아요 우리가 유리함수 같은 경우도 똑같은 방법으로 역함수를 구할 수도 있지만 요것도 공식을 쓰는게 상당히 편합니다 자 공식이 어떻게 나와 있냐 원래 cx+d 분의 ax+b면요 요거의 역함수는 우리는 a랑 b의 자리만 바꿔주고 자리만 바꿔주고 부호를 바꿔줍니다 이렇게요 공식이 많이 어렵지 않죠 자 그럼 공식을 써서 개념 예제를 한번 풀어보겠습니다 자 요거의 역함수 구하라 그랬는데 제가 어떻게 하면 된다 그랬어요 -3하고-1하고 부호 바꿔서 자리만 바꿔주면 된다 그랬어요 그러면 2X + 3분의 x + 5가 되겠죠 그럼 우리는 역함수로 이렇게 구한 겁니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 유리 함수에 관한 내용 학습을 해 봤고요 요리 함수에 관한 내용도 쉽지만은 않으니까 꼭 복습 통해서 습득하시길 바라겠고 오늘 강의는 여기서 마치겠습니다 감사합니다