[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 무리식

자 우리가 오늘 학습할 내용은 무리식입니다 우리가 뒤에 무리함수를 배우기 전에 오늘 무리식을 배우고 우리 함수를 배우도록 할 거예요 자 그러면 무리식이 뭔지 먼저 알아야 되는데 무리식이 뭐냐 근호 안에 문자가 포함된 시중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라고 한대요 자 근호 안에 문자가 있어야 돼요 근호 안에 문자가 포함된 시기라 그랬는데 무리식 좀 가장 대표적인 예시로 어떤 거를 들 수 있냐 요런 거를 들 수 있어요 루트 x 루트 안에 문자가 있는 거를 무리식이라고 합니다 그러면 지금 뒤에 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라고 한다 그랬는데 제가 예시를 하나 드려볼게요 x가 -1보다 크다는 범위 안에서 루트x+1의 제곱이라는 식을 들여 볼게요

자 얘는 루트 안에 문제가 있긴 있어요 루트 안에 문자가 있긴 있는데 우리가 루트랑 제곱이랑 없애서 x+1로 바꿀 수 있죠 그러면 우리가 루트 없이도 표현을 할 수가 있으니까 얘는 무리식이 아니라 유리식인 겁니다 루터 없이도 표현할 수 있는 건 유리식이에요 루트가 무조건 있다고 다 무리식이 되는 거는 아닙니다 자 그러면 그 밑에 보시면 무리식이 실수가 되기 위한 조건이라고 쓰여 있는데 근호 안에 시계값이 0보다 크거나 같아야 된대요 우리가 루트 x라고 썼으면 루트 아래에 있는 값을 항상 양수가 대하 실수잖아요 그래서이 루트 안에 값이 양수가 돼야 됩니다 x는 0보다 크거나 같아야 돼요 자 그리고 당연히 분모는 0이면 안 되겠죠 이런 조건이 있어야 돼요 자 그래서 우리가 지금까지 배운 유리식과 무리식을 조금 정리를 하자면유리식과 무리식을 합쳐서 우리는 식이라고 하고요이 유리식 안에는 지난해 지난 시간에 다항식과 분수식으로 나눌 수 있다는 것도 학습을 했습니다 자 이렇게 정리를 하면 되겠고요 우리가 넘어가서 개념 예제를 볼 건데 무리시계 값이 실수가 되도록 하는 x값의 범위를 구하라 그랬어요 그러면 일단 앞에서부터 하나씩 볼게요 루트 x - 1입니다 루트 x - 1은이 루트 안에 있는 x - 1이 양수가 돼야 된다 그랬죠 그래서 어떻게 해야 되는 거예요 x - 1이 0보다 크거나 같아야 되는 거예요 그러면 x는 1 이상일 때 실수가 되는 겁니다 자 두 번째 거도 볼게요 지금 루트 x+3 -루트 2 - x인데 루트 x + 3 안에 있는 x+3도 양수여야 되고 뒤에 있는 루트 2 - x의 안에 있는 2-x도 양수가 돼야겠죠그러면 여기서는 x가 -3보다 크거나 같다고 여기서는 x가 2보다 작거나 같다니까 우리는이 두 범위의 공통 범위를 찾아주면 -3보다는 크거나 같고 2보다는 작거나 같다는 이런 범위를 얻을 수 있습니다

자 3번 보겠습니다 지금 루트 x + 1분의 2네요 그러면 일단은 우리가 분모에 있는 루트 x + 1 안에 있는이 x+1이 양수가 돼야 됩니다 그러면 원래는 x가 -1보다 크거나 같다고 끝나면 되는데 우리가 지금 루트 x+1이 분모에 있으니까 얘가 지금 분모에 있으니까 0인 거는 안 되죠 분모가 0이면 안 됩니다 그래서 x는 -1 이상이 아니라 -1보다 큰 경우만 되는 거예요 요렇게 범위가 나와 줘야 됩니다 자 다음으로 넘어가겠습니다 우리가이번엔 제곱근의 성질인데요 우리가 이미 학습을 했던 내용들입니다 a와 b가 양수일 때 우리가 루트 2 곱하기 루트 b는 루트를 하나만 써도 되죠 하나로 합쳐서 루트 ab라고 쓰고요 분수인 경우도 마찬가지입니다 루트 B 분의 루트 a는 루트 b분의 a라고 쓸 수 있어요 자 루트 a 제곱 b는요 지금 루트 안에 있는 a²이 밖으로 a로 나올 수 있고요 루트 b² 마찬가지로이 B 제곱이 밖으로 루트 없이 나올 수가 있습니다 자 분모의 유리화인데요 우리가 분모의 루트가 들어있으면 별로 좋아하지가 않습니다 우리가 항상 분모의 루트가 들어있으면 어떤 수들을 곱해서 분모에 있는 루트를 없애 줄 거예요 자 그거를 제가 두 가지로 나눌 건데 첫 번째는요 분모의 요렇게 루트만 있는 경우 이렇게 루트 b처럼 어떤 루트만 있는 경우엔 우리는 부모분자의 분모에 있는 값을 한번 더 곱해줍니다여기 같은 경우는 루트 비기 때문에 루트 b를 한번 더 곱해주는 것이죠 그러면 분모는 뭐가 되는 거예요 루트 B 곱하기 루트비니까 b가 되고요 분자는 a 루트 b가 됩니다 요거 한번 예제 풀어볼게요 자 어떤 루트 3분의 5라는 숫자가 있었어요 그럼 우리는 유리화가 하고 싶은 거예요 그러면 루트 3분의 5인데 분모에 있던 루트 3을 분모 분자의 한 번씩 더 곱해줍니다 한번씩 더 곱해주면 분모는 뭐가 되어 루트 3 곱하기 루트 3이니까 3이고요 분자는 5루트 3이 됩니다

자 2번하고 3번은 묶어서 볼 건데요 우리가 어떤 덧셈 뺄셈식이 분모에 들어가 있을 때 a 루트 2 + 루트 b거나 루트 a - 루트 b거나 아니면 루트 a나 루트 B 중 하나가 무리수가 아니고 유리수여도 똑같습니다 그런경우에는 우리가 요렇게 가운데에 부를 바꾼 루트의 마이너스 루트비 또는 루트 a+ 루트 b를 곱해줍니다 왜 이렇게 해주냐 요렇게 곱해주면 지금 루트 a+ 루트 b와 루테인 마이너스 루트 b가 합차 공식에 의해서 우리 곱셈공식 중 합차 공식 있죠 제곱 마이너스 제곱 꼴이기 때문에 A 마이너스 b로 계산됩니다 이러면 무리수가 모두 사라지겠죠 그래서 요런 애들을 곱해서 우리는 유리화를 시켜줄 수 있어요 자 그러면 한번 해보겠습니다 예제는 몇 개 해 볼게요 자 루트 3 - 1분에 2라는 분수가 있었어요 무리식이죠 자 그럼 분모분자의 월급 해 줄까요 우리 루트 3 - 1에서 가운데 부를 바꾼 루트 3 + 1을 분모 분자의 곱해주는 겁니다 그러면분모는 뭐가 되는 거예요 루트 3의 제곱 마이너스 1의 제곱 분자는 2의 루트 3 + 1이죠 자 그러면 3 -1이니까 분모는 2로 되고요 분자는 그대로 있습니다 그랬을 때 2랑 2가 약분돼서 남는 건 루트 3 + 1밖에 없겠네요

자 하나 더 해보겠습니다 루트 5 - 루트 3분의 루트 2라는 무리식이 있었어요 그럼 얘는 분모분자의 어떤 걸 곱해줘요 루트 5 - 루트 3에서 가운데 부호만을 바꾼 루트 5 플러스 루트 3을 곱해줍니다 여기다도 곱해 줄 거예요 그러면 분모는 뭐가 되는 거예요 루트 호의 제곱 - 루트 3의 제곱 분자는 루트 10플러스 루트 6이죠 그러면 분모는 2가 되고 분자는 그대로 루트 10 + 루트 6입니다 자 이렇게 했고요 우리가 개념 예제 풀어보겠습니다 자 다음 시계 분모를 유리식으로 변형하시오라고 했어요 분모의 유리화를 해주라는 말이죠 일단 첫 번째 식 보면요 지금 분모의 루트 x 마이너스가 있어요 루트 하나가 있죠 이런 경우에 어떻게 하냐 똑같이 루트를 곱해주는 겁니다 우리가 앞에서 숫자로 예제를 들었었는데 문자가 들어있다고 달라지는 것이 아닙니다 똑같은 방식을 적용할 거예요 그러면 루트 x 마이너스의 루트 x-2니까 분모는 x-2가 되고요 분자는 x 루트 x - 2가 됩니다 전혀 방법이 변하지 않았어요 똑같은 방법으로 우리가 분모의 유리화를 진행해 주는 겁니다 자 2번은요 지금 합이나 차가 있죠 이런 경우에는어떻게 하라 그랬어요 x+루트 x + 3에서 가운데 부호를 바꾼 x - 루트 x + 3을 분모 분자의 곱해주면 된다 그랬죠 여기는 x - 루트 x + 3으로요 그러면 분모는 x의 제곱 마이너스 루트 x + 3의 제곱은 x+3이고요 분자는 그대로 x - 루트 x + 3입니다 따라서 x 제곱 마이너스 x - 3분의 x - 루트 X + 3이에요 자 마지막으로 3번 문제 보겠습니다 지금 분모의 루트 x+2 - 루트 x - 2가 있어요 그러면 우리가 뭐를 곱해 줘야 된다 그랬어요 가운데 부호만을 바꾼 루트 x+2 +루트 x - 2를 곱해주면 된다 그랬습니다 그러면 분자의도 요렇게 곱하겠습니다 그러면 분모는 어떻게 되냐 여기까지 해서 우리가 물이 식 내용을 모두 학습했고요 우리가 다음 시간에 무리함수를 배우는데 우리식 내용이 포함되니까 무리식에 관한 복습하고 우리 함수 진도 들이시길 바라겠습니다 오늘 강의는 여기까지구요 고생하셨습니다 감사합니다