[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 무리함수

오늘 학습할 단어는 무리합니다 우리가 지난 시간까지 무리식을 배웠었는데 우리가 무리 함수가 뭔지 한번 볼게요 함수 y는 fx에서 fx가 x에 대한 무리식일 때에이 함수를 무리함수라고 합니다 자 무리식의 예시를 하나 들어볼게요 루트 x-2라고 쓰면 무리식이죠 무리식인데 y는 루트 x - 2라고 쓰면 물이 함수가 되는 겁니다 무리함수가 되는 거고요 우리가 여기서 지금 헷갈릴만한게 하나 있는데 무리함수의 정의역이라는 내용이 있어요 정의역이 주어지지 않은 경우에 함숫값이 실수가 되도록 하는 즉 근호 안의 시계 값이 0보다 크거나 같은 실수 전체의 집합을 정의역으로 생각한다고 적혀 있어요 우리 지금 루트 안에 x-2가 들어 있습니다 그런데실수가 되기 위해서는 x-2가 음수면 안 되죠 0보다 크거나 같아야 돼요 그래서 x는 2보다 크거나 같다는 범위가 나오고 이거를 우리가 정의역으로 하겠다는 겁니다 그럴 때만 실수가 되니까요

자 개념 예제 볼게요 우리가 무리함수의 정의역을 구하는 문제고요 지금 y는 루트 x - 1인데요이 루트 안의 값 x - 1이 어떻게 돼야 돼요 0보다 크거나 같아야 돼요 그래서 여기서 정의역은 x는 1보다 크거나 같다 요게 정의역이고요 2번은 지금 y가 루트 6 - 2x로 되어 있습니다 여기 안에 있는 6-2x가 0보다 크거나 같아야 되고요요 범위에서 우리는 x가 3보다 작거나 같다는 정의역 얻어낼 수 있어요 3번을 루트가 두 개나 있네요 y는루트 x - 2 + 루트 x - 3분의 1이 되고요 루트 안에 있는 x-2도 0보다 크거나 같아야 되고 x - 3도 0보다 크거나 같아야 돼요 그래서 여기서 나오는 범위는 x가 2 이상인 거고 여기서 나오는 범위는 x가 3 이상인 겁니다 두 개의 공통 범위를 찾아주면 우리가 x는 3 이상이다라는 범위를 얻어낼 수 가 있네요 요게 정의역이에요 4번은요 y는 루트 16 - x 제곱이고요 루트 안에 있는 16-x²이 0보다 크거나 같아야 돼요 그러면 x제곱 마이너스 16은 0보다 작거나 같다고 요거를 인수분했을 때 x-4에 x+4가 0보다 작거나 같다니까 -4보다 크거나 같고 4보다 작거나 같은 요런 정의역이 나오게 되네요

자 다음으로 넘어가서요 자 우리가여기서는 y=√x 어떤 무리함수의 정말 기본이 되는 와인을 루트 x 그래프를 먼저 그려 볼 건데요 우리가 어떻게 구할 거냐이 y는 루트 x라는 그래프의 역함수를 한번 구해 볼 거예요 역함수를 구할 겁니다 자 역함수를 구하기 전에 일단 x가 정의돼야 되죠 x가 정의돼야 되니까 x가 0보다 크거나 같아야 되고요 지금 y가 어떤 루트 값이기 때문에 y도 0보다 크거나 같다는 조건이 생깁니다 자 그럼 이거 가지고 역함수 구하기 위해서 우리는 x는 꼴로 표현을 해 줘야 되죠 그렇게 하기 위해 양변을 제곱할 겁니다 그러면 좌변은 y 제곱이고 우변은 x죠 그러면 우리가 x는 y 제곱이라고 표현을 해줬어요 그다음 뭐 해줘요 x랑 y 자리만 바꿔주죠 그래서 y는x 제곱이 됩니다 그런데 우리가요 조건 때문에 x도 0보다 크거나 같고 y도 0보다 크거나 같다는 조건 때문에 여기서 이런 조건이 생기고요 여기서 요런 조건이 생깁니다 근데 우리가 궁금한 건 어쨌든 정의역이니까 요것만 신경을 쓰도록 할게요 자 y는 x 제곱의 그래프가 요거의 그래프가이 와인을 루트 x의 역함수인 거예요 그러면 y = x²의 그래프가 원래는 요렇게 생겼는데 요렇게 있고 요렇게 있고 원래는 이렇게 생겼는데 지금 정의역이 0보다 크거나 같아야 되니까 없어지는 겁니다 1사분면의 영역에 있는 1사분면에 있는 와인인 x 제곱 그래프만 남은 거예요 그러면 루트 x는 이거를y는 x라는이 직선의 대칭을 시켜준게 바로 역함수의 그래프죠 그러면 그때 그래프가 어떻게 그려지는 거예요 요렇게 그려지는 거예요 자 그래서 우리는 와인을 루트 x의 그래프는요 이렇게 축이 있고 이렇게 y축이 있을 때 그래프가 이렇게 그려지고 이거를 y는 루트 x라고 합니다 이때 정의역은 뭐예요 정의역은 x는 0보다 크거나 같다가 정의역이고요 치역도 마찬가지로 0보다 크거나 같답니다 그래프 상에서 0보다 작은 범위에 y 값은 가질 수 없다는 거 확인할 수 있고요 점점 커지는 요런 그래프의 형태니까 시력은 0 이상이라는 거 우리가 알 수 있습니다

자 그럼 넘어가서요 y는 루트 ax와 - 루트 ax 그래프를 이제 본격적으로 그려 볼 겁니다 저희가 아까 1사분면 위에 있는 와인을 루트 x 그래프를 그렸었죠 그러면 그 그래프를 기준으로다른 그래프를 그려 볼 거니까 일단은 좌표 평면을 좀 그리도록 하겠습니다 이렇게 x축이 있고요 자 이렇게 생긴 좌표평면 위에 루트 x라는 그래프는 우리가 이렇게 그려놨어요 얘가 와인을 루트 x고 정의역은 뭐였어요 x는 0보다 크다 크거나 같다 지역은 y가 0보다 크거나 같다 이렇게 그릴 수 있었습니다 자 그러면 우리가 지금 뭘 그려 볼 거냐 요거를 통해서 y는 루트 - x의 그래프를 그릴 거예요 자 x가 - x로 바뀌었어요 그러면 얘는 그래프 어떤 변환을 해 준 거예요 y축 대칭을 해 준 거죠 y축 대칭을 해준 겁니다 그래서 그래프가 어떻게 그려지냐 이렇게 그려줍니다 y축 대칭을 시켜서요 얘가 y=√ -x의 그래프입니다 그러면이 그래프의 정의역은 뭐가됐어요 대칭시켜서 x는 0보다 작거나 같다가 됐습니다 시역은 변하지 않았어요 자 우리 정의역은이 함수 자체에서 -x가 0보다 크거나 같아야 되니까 x가 0보다 작거나 같다로 나오는 과정에서도 얻어낼 수 있겠죠 자 이번엔 y는 - 루트 x 그래프를 그릴 거예요 그럼이 마이너스를 좌변으로 넘겨주면 - y는 루트 x니까 얘는 무슨 대칭을 시킨 거예요 y의 - y를 넣은 건 x축 대칭이죠 그래서 x축 대칭을 시켜주면 그래프가 이렇게 생겼습니다 자 정의역은 뭐예요 변하지 않았어요 x는 0보다 크거나 같습니다 그 대신 치역이 변했네요 y는 0보다 작거나 같다로 얘가 y는- 루트 x의 그래프입니다 자 이번엔 마지막으로 우리가 y는 - √ - x 그래프를 그릴 거예요 그러면이 마이너스를 좌변으로 넘기면 이렇게 되겠죠 너무 마이너스 같네요 루트를 다시 쓰겠습니다 자 얘는 무슨 대칭시킨 거예요 엑셀 마이너스 x 넣고 y의 - y 넣은 거니까 얘는 원점 대칭시킨 겁니다 원점 대칭 그러면 그래프를 이렇게 그리면 되겠죠 얘가 y는 - 루트 - x의 그래프입니다 정의역은 어떻게 돼요 x가 0보다 작거나 같고요 치역도 0보다 작거나 같아요 자 우리가 이렇게 4가지 형태를 그릴 수 있는 거예요 그래프를 이렇게 각 4분면에 대칭 이동을 시켜서 그려봤고요어떤 거랑 비교할 거냐면 y는 루트 2x랑 와인을 루트 x랑 비교를 해볼 겁니다 그러면 x에다가 1을 넣었을 때 y을 루트 2x의 y 값은 몇이에요 루트 2죠 y는 루트 x의 y 값은 몇이에요 1이에요 그러면 어떤 x값 1을 넣었을 때 1을 넣었을 때이 루트 x의 y 값은 1인데 y는 루트 2x는 루트 2니까 한요 정도 있겠네요 자 그런데 x값의 1뿐만 아니라 다른 값을 넣어도 항상이 루트 2x가 크겠죠 왜냐 2를 곱했으니까 값이 항상 더 클 거 아니에요 근데 0은 지납니다 0을 넣으면 0은 또 지나요 그래서요점을 지나면서 루트 x보다 위에 있는 요런 그래프가 그려지게 돼요 여기까지 되셨나요 자 그러면 제가 이번에 녹색 그래프를 그릴 건데 만약에 y가 루트 2분의 2x예요 그러면 어떤 똑같은 x 값을 넣어도 똑같은 x 값을 넣어도 와인을 루트 x에 비해서 값이 작아지죠 그래서 그래프가 이렇게 그려집니다 얘는 루트 2분의 1x 빨간 건 y는 루트 2x 그럼 우리가 눈으로 뭘 확인할 수 있어요 아 어떤 와인을 루트 ax라면 a 값이 양수일 때 1사분면 위에 그려지는데 a 값이 크면 클수록 x축에서 멀어지는구나 a 값이 크면 클수록 x축에서 멀어지는구나라는 걸 우리가 눈으로확인을 할 수가 있습니다 자 그러면 얘네들도 대칭 이동시키면 똑같은 거예요 우리가 만약에 y = - √ -2x 그래프를 그리면 이렇게 그려지는 거고요 만약에 y는 - 루트 2x 그래프를 그리면 이렇게 그려지는 거고요 y는 마이너스 루트 -2x 그래프를 그리면 이렇게 그려지는 겁니다 자 요것도 그려 볼게요 y는 루트 - 1/2 x 그래프를 그리면요 이렇게 그려지는 거고요 여기다가 y는 - 루트 2분의 1x를 그리면 이렇게 그려지고요 y는 - 루트 - 2분의 1x의 그래프를 그리면 이렇게 그려지는 겁니다

자 우리가 이렇게 해서 어떤 와인을 루트 ax y는 루트 ax와 y는 - 루트 ax의 그래프 a 값이양수일 때 음수일 때에 따라서 그래프를 한번 그려 봤습니다 자 그러면 이거에 관해 정리된 내용이 이렇게 교재에 적혀 있는 거예요 어떤 a 값이 루트 ax에서 a 값이 양수일 때 정의역과 치역 그리고 음수일 때 정의력과 치역 요거를 우리가 암기를 하는 것보다는 그래프를 따져 가면서 그래프가 몇사분면에 존재하는지 어느 방향으로 뻗어나가는지 그거를 그려낼 수 있어야 됩니다 그래 낼 수 있어야 되고 우리가 연습이 필요하겠죠 대칭 이동을 생각하면서 그래프를 그려야 돼요 자 우리가 그러면 열심히 루트 ax의 그래프를 그렸는데요 이번에는 평행 이동을 시킬 겁니다 어떤 루트 ax라는 그래프를 평행 이동시켜서 이쪽으로 가져올 거예요 x축으로 p만큼 이동을 시키고요 y축으로 q만큼 평행 이동을 시킬게요 자 그러면 제가 예시를 한번 들어보겠습니다 어떤 예시냐 y는- 루트 x + 2 + 1이라는 그래프를 그려 볼 건데요요 그래프를 한 번에 보고 그리기는 어렵습니다 우리는 가장 먼저 뭘 생각하냐 부호만 생각해요 루트 밖에 있는 부호와 루트 안에 있는 x 앞에 붙은 부호를 생각을 해줘요 그런데 부호가 지금 여기에만 있죠 루트 앞에만 있어요 그러면 y는 - 루트 x 그래프를 먼저 그리고 얘를 평행 이동을 시켜 주는 겁니다 어 x 다리에 x+2가 왔 으니까 X 축으로 -2만큼 옮겼구나 뒤에 1이 달려 있으니까 y 축으로는 1만큼 평행 이동시켰구나 요렇게 생각을 해 주시는 겁니다 자 그럼 y는 - 루트 x 그래프 그리는 건 우리가 앞에서 했었죠 자 어떻게 대칭시킨 거예요 x축 대칭을 시킨 겁니다 원래 루트 x 그래프가 이렇게 생겼고요x축 대칭시킨 거니까 이렇게 생겼고 원래 0을 지나는이 점을 x축으로 -2만큼 여기로 이동시키고 y 축으로 1만큼 이동을 시켜서 아이 점을 기준으로 아까 오른쪽 아래로 갔으니까 이번에도 오른쪽 아래로 가는구나 이렇게 그래프를 그려주면 우리가이 그래프를 그린 겁니다

자 조금 복잡하죠 우리가 계속 연습을 할 겁니다 하나 더 해볼게요 y는 루트 -2에 x-2 + 3이라는 그래프예요 제가 아까 부호만 신경 쓰라 그랬죠 그러면 가장 먼저요 루트 앞이 부와 x 앞에 있는 부 y는 루트 -2x의 그래프를 먼저 그립니다 그리고 x축으로 지금 얼마나 이동을 시켰어요 x축으로는 이만큼 이동을 시켰고y축으로는 3만큼 이동을 시켰어요 그러면 y는 루트 -2x의 그래프를 먼저 그릴 건데 쟤는 y는 루트 2x라는 그래프를 y는 루트 2x라는 그래프를 어떻게 대칭 이동시킨 거예요 y축 대칭 이동시킨 거죠 그래서 이렇게 그릴 겁니다 그다음 원래 0을 지나는 점을 x축으로 이만큼 y 축으로 3만큼 평행 이동을 시키면요 점을 지나네요 그런데 그래프가 원래 이렇게 왼쪽 위로 뻗어 나갔으니까 이번에도 마찬가지로 이렇게 뻗어 주면 되는 거예요 자 그러면 우리가 정의역 치역도 고려할 수가 있는 겁니다 아까 첫 번째 예시에서요 x축으로 -2만큼 평행 이동을 시켰고 y축으로 1만큼 평행 이동을 시켰어요 정의역은 어떻게 되는 거예요 여기 -2보다 크거나 같은 범위에서 정의가 되고 있죠함수가 그 부분에서 그려지고 있습니다 그래서 정의역은 x는 -2보다 크거나 같다 y 값은 1을 기준으로 아래쪽에 있으니까 시역은 1보다 작거나 같다 이렇게 해주시면 되고요 얘도 마찬가지입니다 x축으로 이만큼 y축으로 3만큼 평행 이동을 시켰으니까 x값은 2보다 작거나 같은 범위에서 정의가 되고 있고요 지역은 3보다 크거나 같은 범위에서 정의가 되고 있습니다 이렇게 병행 이동시킨 점을 기준으로 정의역과 치역도 우리가 고려를 해줄 수 있는 거예요 자 그러면 지금은 요렇게 루트 a의 x-p + q꼴을 봤는데 요렇게 보면 딱 보이죠 어 제 x축으로 p만큼 평행 이동시켰고 y축으로 q만큼 평행도 시켰네 요게 아직은 눈에 보입니다 근데 이렇게 줄 수도 있겠죠 y을 루트 ax+b+c라고요 그러면 우리는 어렵게 생각할 거 없고요 여기에서평행이동을 어떻게 시켰는지를 찾아주면 됩니다 자 만약에 y는 루트 2x + 4 - 1이라고 돼 있어요 그러면 묶어주는 겁니다 x의 계수로 묶어 주는 거예요 그러면 x+2죠 그러면 이제 보이죠 아 x축으로는 -2만큼 평의 이동시켰고 y축으로는 -1만큼 평의 이동시켰구나 x 계수로 묶어주기만 하면 되는 거예요 하나 더 해볼게요 y는 - 루트 2X + 3 -1이면 어떻게 한다고요 x의 계수를 묶는다고요 2로 묶었을 때 X + 2분의 3이니까 x 축으로 얼마나 평의 이동을 시켰어요 -2분의 3만큼 평의 이동시켰고 y축으로는 -1만큼 평행 이동을 시킨 겁니다 자 그러면 우리가요 꼴도 결국은 아까 배웠던 y는루트 a의 x-p + q꼴로 바꿔 줘야 되는 거고요이 그래프를 그리기 위해 아까 했던 루트 ax 꼴로 그래프를 그려서 평행 이동을 시켜주면 되는 겁니다

자 여기까지 했고요 우리가 개념 예제 하나 풀어보겠습니다 자 요 그래프를 그리라고 했어요 그러면 어 지금 평행 이동한게 눈에 안 보이네요 그러면 x의 계수를 묶어줍니다 x의 개수를 묶어줘요 -3으로 묶으면 x-2죠 그리고 플러스 1이 있어요 아 그러면 쟤는 원래 y는 루트 -3x라는 그래프가 있었는데 얘를 x 축으로는 이만큼 평행 이동시켰고 y축으로는 1만큼 평의 이동을 시켰구나 다 이제 보이는 거죠 그래서 요거를 먼저 그립니다 그러면쟤는 대칭 이동을 어떻게 시킨 거예요 x 다리의 마이너스 x를 넣은 거니까 원래 y는 루트 3x라는 그래프가 이렇게 생겼었다면 쟤는 y축 대칭을 시켜서 그래프를 이렇게 그려주고요 이렇게 그린 다음에이 원점 0을 기준으로 x축으로 두 칸 옮기고 y축으로 한 칸 옮긴 위치에 점을 찍고 그래프를 이렇게 그려 버리면 되는 거예요 자 그러면 정의역은 뭐예요 여기가 2니까 이거보다 왼쪽에서 정의되고 있죠 지역은요 여기가 지금 1이니까 1보다 크거나 같은 범위에서 정의되고 있습니다 자 이렇게 해주면 그래프도 그렸고 정의역 지역도 그렸죠 자 오늘 한 내용은 이제 무리함수 그래프 그리는 내용이 주된 내용이에요 우리가 기본적으로 루트 ax 꼴의 그래프를 찾아내고 대칭 이동을 시켜서 몇사분면에 있는지 확인을 한 다음에병행 이동시키면 그래프를 그릴 수 있고요 그래프 그릴 수 있으면 우리가 정의역 지역까지 찾아낼 수 있어야 됩니다 자 여기까지 해서 오늘 수업 내용은 마치겠고요 꼭 복습 철저하게 하시고 노트 펴서 그래프 그리는 걸 직접 연습하셔야 됩니다 직접 연습하지 않으면 끝까지 할 수 없어요 꼭 그래프에 직접 해보시길 바랍니다 자 여기까지 하겠습니다 감사합니다