[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 경우의 수 - 순열

자 오늘 학습할 단어는 순열입니다 우리가 이제 수녀를 배우고 조합을 배우게 될 텐데 승열하고 조합이 헷갈리는 개념이에요 그래서 언제 소녀를 쓰고 언제 조합을 쓰는지 명확하게 구분지을 수 있도록 꼼꼼하게 공부를 해봅시다 자 순열을 설명드리기에 앞서서 제가 일단 설명드릴게 계승을 활용한 나열 계승을 활용한 나열을 먼저 설명을 드릴 거예요

자 지금 제목이 상당히 어렵죠 제목이 상당히 어려워 보일 수 있는데 우리가 일단은 제목을 신경 쓰지 말고요 요거를 한번 들어보세요 사람이 abc가 있어요 abc가 있는데 얘네를 순서대로 줄을 세울 겁니다 그래서 여기 맨 앞에 오는 친구 중간에 오는 친구뒤에 오는 친구 요렇게 자리에 나열을 해 줄 건데 경우의 수를 셀 거예요 정오의 수를 셀 건데 자 우리가 맨 앞자리에 맨 앞자리에 학생들이 지금 3명이 올 수 있죠 a가 오거나 b가 오거나 c가 올 수 있어요 그러면 맨 앞자리에 경우의 수가 세 가지인 거죠 A 또는 B 또는 c가 다 들어갈 수 있으니까 자 그러면 여기 한 명이 지금 들어갔어요 그러면 두 번째 자리에는 몇 명이 올 수 있어요 지금 ABC 중에 b가 지금 맨 앞자리에 섰다고 해봅시다 그러면 한 명이 섰으니까 둘 중 하나가 서겠죠 그래서 경우의 수가 두 가지에요 자 그러면 마지막 자리는 이제 한 명밖에 안 남았겠네요 두 번째 자리에 c가 들어갔으면 마지막에 a가 들어올 수밖에 없으니까 종의 수가 한 가지밖에 없는 거예요 자 그럼 우리가 이렇게 썼을 때 맨 앞에 세 가지 경우의 수 가운데 두 가지 경우의 수 맨 뒤에 한 가지경우의 수 각각의 경우의 수는 곱해야 될까요 더해야 될까요 우리가 이거는 지금 곱해줘야죠 왜죠 우리가 둘을 세워야 어떤 결과가 나는 겁니다 줄을 세우는게 3명을 다 세워야 하나의 결과인 거예요 그래서 3 곱하기 2 곱하기 1을 해서 6가지 경우가 나옵니다

자 그러면 사람을 조금 늘려 볼까요 a b c d예요 그러면 자리가 4개일 테고 맨 앞자리 두 번째 자리 세 번째 자리네 번째 자리 맨 앞에 abcd 중 4명이 다 올 수 있고 한 명 썼으면 세 명 오고 나머지 2명 나머지 한 명 그래서 4명을 데리고 4명 줄을 세우는 경우의 수는 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1입니다 그러면 우리가 이거를 조금 기호로 표현을 하고 싶은 거예요 기호로 이제 이걸 어떻게 표현하냐 4의 느낌표를 달아줍니다이느낌표를 우리가 팩토리얼이라고 읽고요 팩토리얼이라고 읽고 요거를 계승이라 합니다 계승 4의 계승 자 만약에 n의 계승이에요 n의 계승을 구하라는 말은 우리가 n의 팩토리얼이라고 읽는 경우가 훨씬 많고요 n 팩토리얼이라고 쓰면 n부터 1까지 있는 숫자들을 모조리 다 곱해주는 겁니다 1까지요 자 그럼 만약에 우팩토리얼이에요 그러면 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1이겠죠 자 그래서 우리가 세 명을 가지고 3명을 나열하면 3팩토리얼이구요 4명이 있는데네 명을 나열하면 4팩토리얼입니다 그걸 우리가 n의 계승을 활용해서 표현을 해준 거예요 그래서 제가 계승을 활용한 나열이라고 제목을 붙였습니다 자 요게 지금 3명이면 3명을 나열했고요 네 명이면 4명을 나열했고 10명이면 10명을 나열했겠죠 그러면 10팩토리얼일 겁니다

자 이번엔 뭐를 할 거냐 사람이 있는데 다 나열하지 않아요 예를 들어 a b c d e 5명의 사람이 있다고 해봅시다 근데 저는 5명 중에 3명만 나열을 할 거예요 3명만 나이를 할 겁니다 그러면 아까랑 마찬가지로 경우의 수를 세 줄 건데 맨 앞자리에 올 수 있는 사람이 몇 명이에요 abcde 다섯 명이 다울 수 있죠 5가지의 경우의 수가 있습니다 자 뭐 한 d가 왔다고 해볼까요 그럼 d가 지금 섰어요 줄을 그러면 두 번째 자리에 올 수 있는 애는 몇 명이에요 d를 뺀 4명이 올 수 있죠 그러면 d를 빼고 이제 c가 왔다고 해볼까요 그럼 마지막 자리에는 이제 몇 명이 올 수 있어요 c와 d를 제외한 3명이 올 수 있죠 뭐 2가 왔다고 해봅시다 자그러면 요것도 마찬가지로 dce 한 명 한 명 한 명을 뽑아야 하나의 결과가 나오는 거죠 그래서 5가지 4가지 3가지를 곱합니다 그러면 뭐예요 5 곱하기 4 곱하기 3이죠 총 60가지의 경우의 수가 있는 겁니다 5명 중에 5명 중에 3명만 나열하는 경우의 수는 우리가 60가지 경우의 수가 있는 거예요 우리가이 계산을 뭐라고 하냐 순열이라고 합니다 조금 일반화를 하면요 몇 명이 있어요 n명이 있는데 알명만 순서를 정해 주는 거예요 몇 명이 있는데 알명만 순서를 정해줍니다 그래서 이거를 기호로 뭐라고 쓰냐 npr이라고 쓰는 거예요 p가 이제 퍼뮤테이션이라는 영어의 약자입니다그래서 ncr을 통해서 우리가 순혈을 계산을 해 줄 거고요 자 넘어가서 우리가 순혈을 어떻게 계산하는지 보겠습니다 앱명 중 알명을 나열한다 그랬어요 그러면 하나 둘 자리가 알게죠 자리가 알깁니다 사람은 제가 요번에 숫자를 붙일게요 1 2에서 n명이 있는 거예요 그런데 알명만 나열하니까 n 명 중에 알명만 나열하니까 여기는 n명의 사람이 올 수 있고요 여기는 n-1명의 사람이 올 수 있겠죠 자 마지막은 몇 명이 올 수 있어요 n - r + 1 명이 올 수 있습니다 요렇게 써야 여기서부터 여기까지의 개수가 알게인 거니까 그래서 곱의 법칙에 의해서 얘네들을 모두 곱한게 바로 npr을 계산하는 거예요 이렇게 보면복잡해 보이죠 그런데 이렇게 이해하면 쉽습니다 자 예를 들어 op3이에요 그러면 5명 중 3명을 뽑는 거죠 그럼 자리가 세 개니까 5부터 곱하는데 5부터 3개를 곱하는 거예요 세 개를 5부터 3개를 곱하니까 5 곱하기 4 곱하기 3이구요 10명 중에 만약에 두 명을 뽑아서 나열할 거예요 그러면 10 곱하기 9겠죠 10부터 2개 7부터 4명을 뽑을 거예요 그러면 7 6 5 4 7부터 4개를 곱하는 겁니다 자 그러면 우리가 요거를 가지고 예제를 볼 건데요 남학생 6명 중에서 남학생 6명 중에서 3명을 뽑아 나열하는 경우의 수를 세례요 그러면 6명 중에 3명을 뽑아서 순서를 정해주는 거죠 그래서 6p3인 겁니다 우리이퍼뮤테이션이 순혈의 제일 중요한 개념은 순서를 정해준다는 개념이에요 순서를 정해준다 그래서 문제에도 뭐라고 써 있어요 일렬로 나열한다 일렬로 나열한다는 거는 맨 앞자리 두 번째짜리 세 번째 자리 이런 식으로 순서를 정해준다는 겁니다 자 그러면 6p3을 계산하는 건 우리가 이제 어렵지 않게 계산을 할 수가 있죠 6 곱하기 5 곱하기 4 계산해 주면 120까지의 경우의 수가 나옵니다

자 넘어가서요 우리가이 npr을 조금 더 이제 계산하는 법을 배워 볼 건데 여기 보시면 우리 n의 계승이라 그래서 제가 맨 처음에 말씀드린 내용이 여기 있죠 엔팩토리얼은 이렇게 계산한다 그럼이 팩토리얼을 가지고 우리가 npr을 쓸 수 있는데요 뭐라고 쓰냐 n - 알팩토리얼 분의 엔팩토리얼이라고 쓸 수 있습니다 자 예를 들어 6p3이에요 그럼 제가 아까 6부터 숫자 세 개를 쓰면 된다그랬죠 그럼 요거를 어떻게도 쓸 수 있냐 분자에는 6팩토리얼을 쓰고요 분모에는 321을 소거시키기 위한 3 팩토리얼을 써줍니다 자이 6은 n 팩토리얼이 역할과 같고요 분모에 있는 3팩토리얼은 n-r의 팩토리얼과 같은 거예요 그렇게 해야 분모의 n - 알팩토리얼이 분자에 있는 m팩토리얼에서 우리가 필요 없는 부분을 지워내니까 3 곱하기 2 곱하기 1을 분모가 지워내니까 이렇게 계산할 수 있는 겁니다 자 추가적으로요 우리가 헷갈리는 계산 몇 개만 보고 넘어가겠습니다 npn은요 n명중에 n명을 나열하는 거니까 n 팩토리얼로 계산하면 되고요 그러면 아무것도 선택 안 하는 경우 한 가지가 있는 겁니다 0이 아니에요 그리고 0 팩토리얼은0명을 나열하는 거니까 그것도 경우에서 하나라 1이 됩니다 자 그리고 우리 뒤에 넘어가서 이제 mpr 계산하는 거 한번만 더 해보고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 자 4p4는요 4명 중에 4명 나열하는 거죠 그래서 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1 4팩토리얼과 같고요 계산해주면 24입니다 ope는요 5부터 숫자 2개를 계산해 주면 되죠 그래서 20이네요 두 개를 더하면 답을 우리가 44라고 써 두면 되겠네요 자 우리가 오늘 순혈에 관한 내용을 했고요 뒤에서 조합에 관한 내용을 배울 텐데 조합을 배우기 이전에 소멸에 관한 개념을 확실하게 정리하고 들으시기를 권장드립니다 꼭 복습하고 들으세요 자 그러면 오늘 강의는 여기까지 마치겠습니다 강의 들으시느라 고생 많으셨습니다 감사합니다