[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 경우의 수 - 조합

자 오늘 학습할 단어는 조합입니다 조합인데요 우리가 수녀라고 상당히 헷갈리는 개념이에요 그래서 수녀라고 제가 좀 비교를 하면서 설명을 드릴 건데 지난 시간에 배운 순혈은요 5명 중 제가 2명을 뽑는다고 예시를 들어 설명을 드릴게요 5명 중 2명을 뽑아요 그런데 그 다섯 명이 a b c d e고요 여기서 a랑 b를 선택했다고 합시다 근데 순혈은 2명을 뽑아서 어떻게 해요 나열해요 나열 이게 뭐냐면 a b를 선택하고 a를 뽑고 b를 뽑는요 순서랑 비를 뽑고 a를 뽑는요 순서랑 지금 ab랑 ba를 다른 걸로 보는 겁니다 순열에서는순서까지 정해주는 거예요 그런데 조합에서는 우리가 오늘 배울 조합에서는요 5명 중에 똑같이 2명을 뽑는데 얘는 나열을 안 합니다 뽑기만 하면 끝이에요 이게 무슨 말이냐 a를 뽑고 b를 뽑나 b를 뽑고 a를 뽑나 두 개가 같은 거라는 말입니다 순서가 상관이 없어요 그냥 같으면 ab랑 ba요 뽑은 애들이 같으면 조합은 같은 걸로 치는 거예요

자 교재를 보면요 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 알기를 택하는 것을 n개에서 알게를 택하는 조합이라고 하고요 이거를 NCR n개중 알기를 택하는 거 ncr이라고 씁니다 자 그러면 ncr을 어떻게 계산하는지 한번 볼 건데요 ncr은 알팩토리얼분의 npr이에요 이게 왜 그런지 한번 보도록 하겠습니다 만약에 사람이 5명이 있어요 5명이 있는데 abcde 다섯 명이 있어요 그 중에 3명을 뽑는 순열을 먼저 고려해 볼 겁니다 순서가 상관이 있는 거예요 그중에 a b c로 한번 순서를 나열해 보겠습니다 abc가 될 수 있고요 acb가 될 수 있고 bac가 될 수 있고 bca가 될 수 있고 cab가 될 수 있고 cba가 될 수 있어요 이게 지금 순열에서는 각각 다른 경우로 세 줍니다 그런데 우리가 오늘 배우는 조합에서는요 abcd 중에 3명을 뽑은 a b c가 들어 있다면 즉 순열에서 6개로 셌던 걸 요거나요고나 요구나 이렇게 6가지 경우에 대해서 그냥 ABC 들어 있는게 똑같으니까 하나로 보는 겁니다 하나로 보는 거예요 그래서 ABC 가지고 나열하는 거 순서를 정해 주는 거 경우에서 어떻게 돼요 되게 나열하는 것 3팩토리얼이죠 그래서 만약에 5명 중에 3명을 뽑는 조합을 계산하고 싶으면 op3에서 3팩토리얼을 나눠줍니다 왜 선팩토리얼이에요 300토리얼만큼 더 셌으니까 300토리얼 배로 샜으니까 한번 살 거를 3팩토리얼 배 했으니까 그래서 3팩토리얼 분의 op3 이구요 요거를 문자로 표현하면 ncr은 이번에는 알기를 뽑았죠 알기를 뽑았으니까 R 팩토리얼 배 센 거예요 알팩토리얼패 한 번만 세야 될 걸 알 팩토리얼 배 셋다는 말입니다 그래서 요거를순혈까지 풀어서 쓰면 알팩토리얼 곱하기 n - 알팩토리얼 분의 n 팩토리얼로 계산할 수 있는 거고요 우리가 추가적으로 nc0 즉 n개에서 아무것도 안 뽑는 거 하나의 경우의 수라 1이 되고 ncn n개 중에 n개 뽑는 것 다 뽑는 거죠 다 뽑는 거라 경우에서 마찬가지로 한계입니다 그래서 이렇게 얘도 1이고 얘도 1이에요 자 다음으로 넘어가서 우리 개념 예제 한번 보도록 할게요 10명으로 구성된 반에서 대표 2명을 뽑는다 그랬어요 자 대표 두 명이에요 우리가 사람이 10명이 있는데 두 명을 뽑아요 근데 그 두 명 뽑은 사람이 a랑 b라고 해봅시다 a를 먼저 뽑고 b를 뽑나 b를 먼저 뽑고 a를 뽑나 요거는 지금 순서가 상관이 없는 거예요 a대표 B 대표 똑같은 겁니다 그래서 얘는 조합으로 이렇게 계산을 해주고요 우리 10pe를이 팩토리얼로 나눠 줄 거고 깊이는 10부터 숫자 2개이팩토리얼은 2 나쁜 해주면요 우리가 45라고 계산을 할 수가 있겠네요

자 우리 조합의 수의 성질 한번 보도록 하겠습니다 ncr은 ncm-r이라고 되어 있어요 제가 예시를 한번 들어보겠습니다 n이 5이고 r이라고 해볼게요 그러면 좌변은 nc20 우변은 5c3입니다 자 이게 왜 같냐 우리가 5명이 있는데 5명 중에 두 명을 고르나 나머지 3명을 고르나 어차피 두 명을 고르면 나머지 3명이 정해지죠 반대로 3명을 고르면 자동으로 나머지 두 명이 정해지는 겁니다 그래서 5명 중에 두 명을 고르는 경우의 수는 3명을 고르는 경우의 수랑 똑같은 거예요 그래서 oc랑 oc3이 같습니다 자 요런 식으로 활용해 주면 되겠죠 우리가 어떤 10 18을 계산할 일이생겼으면 요거를 계산하는 것보다는 우리가 계산하는게 좀 더 편리합니다 이럴 때 공식을 활용해주면 되고요 2번 공식은 지금 조금 복잡하게 생겼는데 자 일단은 여기 n-1이 같고요 r은 1이 차이나죠 그랬을 때 ncr로 계산되는 공식입니다 요거는 따로 암기를 하셔야 되고요 우리가 개념유지에 보도록 하겠습니다 10 17 플러스 108 계산하라고 그랬어요 각각 계산해서 더해줘도 되는데 우리가 여기 방금 배웠던 2번 공식을 활용을 하면요 우리가 11 c8이라고 계산을 바로 할 수 있습니다 그럼 얘는 11시 8보다는 11시 3으로 계산하는게 좋겠죠 그러면 분모는 3팩토리얼이고 긴자는 11p3이고 분자는 11 곱하기 10 곱하기 9고 분모는 3 곱하기 2입니다약분할 거 약분해주면요 우리가 165라고 계산이 되는 거를 확인할 수가 있습니다 자 오늘 여기까지 해서요 우리 숙녀가 조합 학습 마무리 하였고 순혈과 조합은 무엇보다도 언제 순혈을 쓰고 언제 조합을 쓰는지 이거를 구분 지을 수 있는게 제일 중요합니다 개념 예제뿐만 아니라 다른 문제들 많이 풀면서이 공식들을 적용시키는 연습을 꼭 하시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지구요 고생하셨습니다 감사합니다