[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 거듭제곱과 거듭제곱근

자 오늘 배울 내용은 거듭제곱과 거듭제곱근이고요 우리가 지수 단원에서 처음으로 배우는 내용이네요 우리가 새로 배우는 내용들이 조금 있으니까 좀 더 수업을들은 뒤에 꼼꼼하게 복습하면서 개념 확실하게 이해하고 넘어가길 바랍니다 자 일단은 우리가 거듭제곱 먼저 학습을 할 건데요 우리가 거듭제곱은 처음 보는게 아닙니다 우리가 중학교 과정에서도 한번 봤었고 고등학교 1학년 과정에서도 한번 봤던 내용이에요 너무 자주 나오는 내용인데 그래도 한번 다시 학습해 보도록 할게요

우리가 3을 4번 더 하면 우리가 이걸 뭐라 그러죠 3을네 번 쓰는게 귀찮으니까 3x4라고 쓸 수 있습니다 3을 4번 더 하면 3 곱하기 4 자 3을네 번 곱했어요 만약에 그러면 얘도 마찬가지로 4번 곱하면 매번네 번 쓰는게 싫은 거예요 그래서우리는 어떤 기호를 만들었냐면 3이라고 쓰고요 위에 4를 씁니다 작게 살을 써는 거예요 요거를 우리는 거듭제곱이라고 하고요 3을 4번 곱했다는 의미를 담고 있습니다 자 그래서 일반적으로 우리가 숫자를 다 집어넣을 수 있기 때문에 a를 이렇게 n번 곱하면 n개 곱하면 a의 n제곱이라고 쓸 수 있고요 a의 n제곱이라고 썼을 때 여기에 있는이 a를 뭐라 그러죠 요거를 우리가 밑이라고 합니다 위에 있는 n을 뭐라 그래요 지수라고 하죠 몇 번 곱했는지 몇 개 곱했는지를 나타내는 숫자입니다 이렇게 a는 미치고 a는 지수고 요거를 우리는 a의 n제곱이라고 읽습니다 a의 n제곱 a의 n제곱이라고 읽을 수가 있어요 자 그러면 지수가 자연수일 때의 지수법칙이라고 제목이 적혀 있는데 우리가 지금까지써먹고 배웠던 지수 법칙들은 지수의 자연수가 들어간 경우에서만 쓸 수 있었어요 그래서 일단 한번 복습을 먼저 해 볼게요 a b가 실수고요 mn이 자연수일 때 자연수일 때입니다 자연수일 때 자 먼저 1번을 보면요 a의 m 제곱과 a의 n제곱을 곱하면 a의 n + n제곱이라고 되어 있는데 간단하게 왜 그런지 설명을 한번 해 볼게요 우리 숫자를 a의 4제곱과 a의 제곱을 곱했다고 해봅시다 그러면 a의 펼치면 a를 4개 곱한 거예요 a 곱하기 a 곱하기 a 곱하기 a 그리고 a를 또 두 개를 또 곱했죠 즉 a의 4제곱은 a가 4개 있다는 소리고 a의 제곱은 a가 두 개 있다는 소리인데 결국은 전체적으로 봤을 때 a가 총 몇 개 있는 거예요 6개 있는 거죠 그러면 우리는 요거를 뭐라고 쓸 수 있는 거예요a의 6제곱이라고 쓸 수 있는 겁니다 그런데이 6제곱이라고 쓸 때 6은 어디서 온 거예요 6은 4와 2를 더해서 온 거죠 4 + 2라고 쓰면 됩니다 자 그래서 요게 m과 n인 경우에도 마찬가지로 m과 n인 경우에도 똑같이 m계 m계인거고요 개수는 총 n + n개입니다 그래서 a의 n + n제곱이라고 쓸 수 있겠죠 개수가 많아진다고 달라지는 것은 없습니다

자 두 번째 볼 건데요 이번엔 a의 m제곱 나누기 a의 n제곱이 지금 3개로 나누고 있는데요 제가 요거는 예제를 풀면서 예제를 풀면서 한번 설명을 해 볼게요 첫 번째는요 a의 4제곱 나누기 a의 제곱이에요 나눗셈이면 우리가 분모와 분자로 이렇게 쓸 수가 있어요 a² 분의 a는 제곱그러면요 분자는 a가 4개 있으니까 a 곱하기 a 곱하기 a * a 분모는 a 곱하기 a라고 쓸 수 있죠 그럼 우리가 여기서 뭐를 할 수 있어요 분모와 분자의 똑같은게 있으면 약분을 할 수 있죠 약분이 몇 개 돼요 두게 됩니다 그러면 몇 개 남는 거예요 두 개 남는 거죠 요렇게 그러면 우리가 이거를 이렇게 생각할 수가 있어요 분자의 개수가 더 많으니까 분자에서 분모 개수를 빼서 남은 거를 써주는 겁니다 즉 여기 있는 2라는 숫자는 분자에 있던 4개에서 분모랑 2개씩 약분돼서 4-2입니다 자 그래서 우리는 a의 m제곱 나누기 a의 n제곱은요 요렇게 쓸 수가 있어요 a의 m - n제곱 이건 단 언제예요 m이 m보다 클 때입니다 자 두 번째는요 똑같은 걸 나눴어요 만약에 a의5제곱 나누기 a의 5제곱입니다 그럼 뭐예요 분모에도 a가 다섯 개 분자에도 a가 다섯 개 모두 약분됩니다 약분되면 남는 건 1밖에 없죠 그래서 그 경우에는 그냥 1이라고 쓰면 돼요 m과 n이 같을 때 자 이번에는요 a의 제곱 나누기 a의 5제곱을 할 거예요 그러면 분모의 a의 5제곱이고 분자의 a의 제곱이니까 자 여기는 a가 5개 있어요 여기는 a가 5개 있고 분자에는 a가 두 개 있죠 그러면 두 개가 약분됩니다 이렇게 요렇게 그럼 남는 건 뭐예요 분모의 a가 3개 남았죠 이렇게 쓸 수 있겠네요 자 그러면 우리가이 경우에는 이렇게 쓸 수가 있어요 지금 분자의 a가 두 개 있고 분모의 a가 5개 있으니까 분모에 더 많아서 분자에 있는 개수만큼 약분되고분모에 남은 a들이 있는 거예요 그래서 a의 n - m 제곱 분의 1이라고 쓸 수 있고요 이때는 n이 n보다 더 클 때입니다 자 우리가 2번 같은 경우 나눗셈이 조금 케이스가 3개여서 헷갈려 보일 수 있는데 분수로 표현하면 쉽게 우리가 어떤 결론이 나오는지 알 수 있겠죠 약분되고 남은 것만 써주는 겁니다

자 세 번째는요 a의 m 제곱의 n제곱인데요 a의 m 제곱의 n제곱은요 a의 m 제곱을 몇 개 곱한 거예요 n개곱 한 거예요 a의 m 제곱이 n개 있는 겁니다 그러면 우리가 1번에서 배운 법칙을 적용을 좀 해주면 지수의 m을 계속 더하는 거죠 m을 모조리 더하는 겁니다 자 그 m을 몇 개 더했어요 n개 더 있죠 ab의n 제곱은요 AB a b 쭉 곱해서 얘네들이 n개 있는 거예요 그러면 a끼리 다 모으면요 이렇게 되고요 빗길이 모아도 이렇게 돼요 무슨 법칙을 써준 거예요 교환법칙과 결합법칙을 써준 거죠 자 그랬을 때 a도 n개했을 거고 b도 n개 있을 거예요 그래서 a의 n제곱 곱하기 b의 n제곱으로 계산이 됩니다 자 마지막으로 5번은요 우리가 4번하고 약간 비슷한데요 1/b를 n개곱 한 거죠 얘를 n개곱한 거예요 그러면 분모의 b가 n개 분자의 a가 n개 이렇게 되는 겁니다 당연히 b가 0이면 안 되겠죠 우리가 분모기 때문에 0이 될 수는 없습니다 자 넘어가세요 우리가 개념 예제의 풀어보도록 할 건데요 지금AB 3 제곱 곱하기 a 제곱 b의 3제곱이네요 요건 어떻게 돼요 a 제곱의 3제곱 그리고 b의 3제곱 요게 지금 여기에 있는 a제곱 b의 3 제곱이 이렇게 계산된 겁니다 자 뒤에 있는 나눗셈은 어떻게 할까요 곱셈으로 바꾸고 역수치 하겠습니다 이렇게요 자 그러면 ab^3 a의 6제곱 b의 3제곱 곱하기 a의 4제곱이 되고요 우리가 지금 a끼리 계산을 해주면 a 곱하기 a의 6제곱 곱하기 a의 4제곱이니까 a가 총 몇 개 있는 거예요 a를 11번 곱한 거죠 자 b는요 분자의 요렇게 요렇게 해주면 b의 6제곱이에요 그리고 b분의 1이 있죠 요건 어떻게 계산해요 우리가 아까 나눗셈은 지수끼리 뺄셈으로 계산을 해도 좋아요곱하기 b의 6 - 1 그래서 a의 11 곱하기 b의 5제곱 이렇게 계산해도 좋고요 그냥 어 분자의 b가 6개 있고 분모에 하나 있으니까 하나 없어져서서 5개 남는구나 이렇게 약분처럼 생각해서 결론을 내도 좋습니다 두 방법 다 좋아요 자 넘어가도록 할게요 자 거듭제곱근인데요 우리가 일단 교재에 있는 내용을 좀 읽어 보도록 할게요 애니22상의 자연수일 때 n제곱 파열 실수 a가 되는 숙 즉 방정식 xn 제곱은 a가 되는 요거의 근을 a의 n제곱근이라고 한대요 그래서 이렇게 a의 제곱근 세제곱근 네제곱근을 통틀어 a의 거듭제곱근이라 한다라고 적혀 있어요 자 그러면 우리가 조금 숫자를 대입해가며 조금 설명을 한번 해 드릴게요 우리가 5의 제곱근이라는 요런 값을 구하는 방법을 배웠어요 5의 제곱근이라 그러면의미가 뭐예요 5의 제곱근이라 그러면 요거의 의미는 제곱해서 5가 되는 수를 의미합니다 제곱해서 5가 되는 숙 그러면 제곱해서 5가 되는 수를 우리가 방정식으로 나타내면요 이거를 방정식으로 나타내면 제곱해서 5가 되는 수 x제곱은 5라고 방정식을 쓸 수가 있어요 이거에 근을 우리는 5의 제곱근이라고 합니다 자 이거를 우리는 플러스 마이너스 루트 5라고 알고 있죠

자 그런데 우리가 오늘 할 내용은 5의 세제곱근입니다 5의 세제곱 자 이거의 의미는 뭐예요 세제곱해서 5가 되는 수 세제곱해서 5가 되는 수를 우리가 식으로 쓰면 이렇게 쓸 수 있죠 세제곱해서 5가 되는 수 이거의근을 말하는 겁니다 자 우리가 그런데 요거를 가지고 x는 뭐다라고 표현하는 것은 아직 안 배웠어요 아직 안 배웠고 일단은 5의 세제곱근이라 그러면 5의 세제곱근이라 그러면 x^3은 5의 근이구나요 관계를 만족하는 x값들을 5의 세제곱근이라고 하는구나 일단이 내용을 좀 이해를 하고 자 숫자를 이제 조금 문자로 바꿔 볼게요 우리가 다양한 숫자를 대입할 수 있으니까 a의 n제곱근이라고 할 수 있죠 a의 n제곱 a의 n제곱근이라 그러면 어떤 방정식을 만족하는 거예요 x의 n제곱이 a를 만족하는 x값들을 우리는 a의 n제곱근이라고 할 수 있는 거죠 자 그러면 우리 교재 마지막에 이런 내용이 적혀 있어요 이에 n제곱근은 복소수 범위에서 n개가 있음이 알려져 있다고 적혀 있어요 우리가 요거를 증명하는 거는 조금 무리가 있고요 a의 n제곱근은복소수 범위에서 실수 범위가 아닙니다 복소수 범위에서 n개가 있는 거예요 n개 자 그러면 얘는 몇 개 있는 거예요 n개 있어야 돼요 x^3이 5면 복소수 범위에서 몇 개 있는 거예요 x값이 3개 있는 겁니다 자 그러면 우리가 이거를 표현하는 방법을 배워 볼 건데 자 표현하는 방법을 한번 알려 드리도록 하겠습니다 X3 제곱을 8이라고 쓰면요 우리가 실수 범위에서 실수 범위에서 X3 제곱은 8을 만족하는 x값 우리가 쉽게 생각할 수 있습니다 x값 뭐죠 x는 2입니다 세제곱해서 8 되는 x는 2라는 수를 우리가 생각할 수 있는데 자 그럼 만약에 이렇게 써 있으면요 세제곱해서 5가 되는 수 자 있긴 있어요 실수 범위에서 세제곱해서 5가 되는 수는 분명히 있을 거예요 분명히 있는데 이거를 어떻게 표현하냐 우리는 루트 비슷하게 기호를 쓰는데요앞에 3을 씁니다 세제곱근이라는 의미로 세제곱에서 5가 된다는 의미로 3제곱근 5 세제곱근 5 이렇게 했습니다 세제곱근 5 이렇게 읽으면 되고요 기호로는 이렇게 씁니다 자 만약에 5제곱에서 7 돼요 x^5이 7을 만족하는 x값은요 우리는 5제곱근 7 이렇게 쓸 수가 있습니다 자 그런데 우리가 x 제곱은 5를 만족하는 x 값이 플러스 루트도 있고 마이너스 루트도 있다는 것을 알고 있습니다 두 개가 있어요 그러면 학생들이 요렇게 지금 생각을 할 수가 있어요 얘네들은 왜 한계죠라고 물어볼 수 있어요 자 그것도 우리가 뒤에서 한번 꼼꼼하게 알아보도록 할테니까 일단은 우리가 여기서이 거듭제곱근이 무엇인가 그리고 거듭제곱근의 기호를 우리가 알아야 됩니다 이렇게 기호로 표시할 수 있구나 일단 이렇게두 개만 알고 뒤로 넘어가서 좀 더 자세하게 공부해 보도록 할게요

자 개념 예제 볼 거고요 팔의 세제곱근을 구하라고 했어요 어 아까 구했던 거네요 선생님하고 2라고 쓰면 틀립니다 이렇게 쓰면 틀려요 왜 틀릴까요 우리는 지금 세제곱근을 구하라고 했는데 실수 범위에서 구하라는 말이 없습니다 어떤 범위에서 구하라는 말이 없기 때문에 우리는 복소수 범위까지 고려해서 8의 세제곱근을 구해줘야 돼요 어떻게 구할 수 있을까요 세제곱해서 8되는요 3차 방정식을 풀어주면 됩니다 x^3 - 8은 0이고요 인수분해주면 x-2에 x² + 2x + 4입니다 벌써 인수분해 까먹은 건 아니겠죠 자 그러면 x-2가 0을 만족하는 x값 2라고 하나 나오고요 x² + 2x + 4가 0일 때 만족하는 x값-1 + - 루트 3i로 여기서는 두 개가 나옵니다 자 그러면 우리가 앞에서 배웠던 내용 중 이런 내용도 있어요 n제곱근이면요 n제곱 원모의 n제곱근 a의 n제곱근이며 복소수 범위에서 n개다 지금 세제곱근이기 때문에 총 3개가 나왔어요 거기에도 문제가 없네요 이렇게 우리가 8의 세제곱근을 구할 수 있습니다

자 넘어가서요 실수a에 n제곱근 중 실수인 것의 개수인데요 a의 n제곱근이라 그러면 우리는 뭐라고 쓸 수 있어요 x의 n제곱은 a를 만족하는 x값들 요거에 근이라고 쓸 수가 있습니다 자 이거의 개수를 세 줄 건데요 우리가 n이 짝수일 때와 n이 홀수일 때로 나누어서 고려를 해 줄 거예요 자 n이 짝수일 때인데요 x의 n 제곱이 a인데요 여기서 지수 m이 짝수입니다 요게 짝수예요 그러면a가 가질 수 있는 값은 양수거나 0이거나 음수거나 셋 중 하나인데 a가 만약에 음수면요 a가 만약에 음수면 지금 xn제곱이 음수인 거죠 x^n이 음수인 거예요 자 우리가 어떤 x를 짝수 제곱해서 음수가 되는 x 값이 존재하나요 존재하지 않죠 엑셀의 양수 대입해도 양수고요 0을 대입하면 0이고 음수를 대입해도 양수가 나옵니다 음수가 나올 수가 없어요 그래서 이런 경우에 실수인 것은 존재하지 않는다 즉 영계입니다 0개 연계고요 자 a가 0일 때는요 우리가 xn 제곱은 a를 0을 만족하는 a가 아니라 0이죠 지금 0을 만족하는 x값들인데 x값 딱 0 하나밖에 없습니다 그래서이 경우에는 한 개예요 자 a가 양수면요xn제곱은 a인데 n이 지금 짝수 제곱이니까 부호 상관없이 두 개가 생기는 거예요 부호가 바뀌어도 되니까 x n제곱은 a를 만족하는 x값들은 요렇게 n제곱근 a랑 - n 제곱근 a 요렇게 두 개가 생기는 거예요 그래서 이거를 이거를 표로 정리를 하면요 표로 정리를 해주면 이렇게 밑에 있는 이런 표에 내용이 됩니다 자 n이 짝수일 때를 우리가 지금 고려를 했고요 아직 홀수일 때는 안 했습니다 m이 짝수일 때 a가 양수 0 0보다 작을 때 각각 어떤 애들이 x값들이 되는지 요렇게 되고 0이고 얘는 없고 이렇게 정리할 수가 있습니다 자 n이 만약에 홀수면요 xn 제곱은 a를 만족하는데 n이 홀수예요 아까와는 다르게 지금 지수가 홀수기 때문에 x가 양수면 x n 제곱도 양수고요 x가 음수면 xn제곱도 음수예요x가 0이면 당연히 0이죠 그래서 a 값의 상관없이 그냥 딱 하나 항상 존재하는 거예요 그래서 요렇게 항상 n제곱근 a 이렇게 표현이 되는 거고요 0인 경우는 n제곱근 0 그냥 0이라고 쓸 수 있는 겁니다 자 그러면 학생들이 요런 생각을 할 수가 있어요 우리가 n제곱근이라고 계속 쓰고 있는데요 우리가 지금까지 썼던 루트 즉 x 제곱은 a를 만족하는이 x 값을 쓸 때는 여기다가 숫자 2를 써야 되냐 이렇게 물어볼 수가 있습니다 자 a가 양수일 때를 말하는 거예요 x는 플러스 마이너스 2 제곱근 a라고 써야 되냐라고 생각할 수 있어요 근데 우리가 루트는 지금까지 썼던 루트는 제일 많이 쓰기 때문에 2제곱근은 제일 많이 쓰기 때문에 생략하고 그냥 플러스 마이너스 루트 a라고 지금까지 쓰던 대로 써주시면 됩니다

자 넘어가서요 우리가 개념 예제 볼게요 16의 네제곱근 중 실수인 것과 그 개수를 구하라그랬어요 16의 네제곱근을 한번 다 구해봅시다 x네 제곱은 16을 만족하는 x값들이고요 인수분해를 한번 해 볼게요 x⁴ -16은 0이고 앞차 공식을 쓰면 x 제곱 플러스 4 x제곱 마이너스 4 얘가 뽀인 수분해야 되죠 x 제곱 플러스 4 x + 2 X - 2는 0입니다 자 그러면 x값들이 뭐 뭐 되는 거예요 여기서 플러스 마이너스 이하이고요 -2도 있고 2도인데요 실수인 것은 뭐예요 -2랑 2가 실수죠 2개입니다 우리가 앞에서 학습한 내용을 토대로 지금 짝수 제곱근이고요 a 값이 양수기 때문에 두 개 나오는 것과 일치하네요 우리가 앞에서 학습한 내용과도 똑같은 결과를 얻을 수 있습니다 자 마지막으로 거듭제곱근의 성질인데요 우리가 앞에서 배웠던 지금까지 배웠던 제곱근의 성질과유사합니다 제곱근의 성질과 유사하구요 거듭제곱근에서 n제곱근에서 그 n값이 같다면요 루트에서 썼던 지금까지 2제곱근에서 썼던 성질들을 모두 사용을 할 수가 있어요 모든 사용을 할 수가 있고 지금 n제곱근 a의 m 제곱은 n제곱근의 a의 집어넣을 수 있는 것도 똑같습니다 자 단 우리가 지금 요거는 혼동을 막기 위해서 a가 양수고 b가 양수인 경우에만 지금 성질을 정리하고 있어요 양수인 경우에만입니다 자 5번하고 6번은 좀 따로 볼 건데요 5번하고 6번을 볼 건데 자 5번 같은 경우는 지금 m 제곱근 안에 n제곱근이 있어서 제곱근과 제곱근을 합쳐서 에미라고 쓸 수 있는 거고요 6번은 만약에네 제곱근하네 제곱근이 있어요이렇게 그럼 얘는 어떻게 계산을 할 수 있느냐 제곱근은 사실 여기 숫자 2가 있는 거와 똑같은 거죠 2를 써도 되는데 안 써도 돼서 안 쓴 겁니다 그러면 4와 2를 곱해서 8제곱근 a 이렇게 쓸 수 있고요 두 번째 6번 성질 이용하는 걸 한번 보여드리면 12제곱근 a의 8제곱 요거는요 12와 8이 4로 나누어지죠 4로 나눠서 요렇게 세제곱근 a^2 이렇게 바로 쓸 수 있는 겁니다 근데 요거는 제가 조금 다른 방법으로도 설명을 드릴 수 있을 것 같아요 12제곱근 a의 8제곱은요 12제곱근이란 걸 쪼개면 세제곱근 안에 4제곱근이 있는 걸로 우리가 쓸 수가 있어요 a의 8제곱은요 a 제곱의 네제곱이라고 쓸 수 있죠 그러면네 제곱근하고네 제곱하고 사라지니까 남는애들끼리 3제곱근 a² 이렇게 쓸 수도 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 거듭제곱근 거듭제곱 설명을 마치겠고요 처음 배우는 내용들이 많아요 거듭제곱근 조금 헷갈릴 수 있으니까 꼭 복습하고 뒤에 내용을 학습하시기를 당부드립니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다