[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 지수의 확장

자 오늘 학습할 내용은 지수의 확장입니다 우리가 지난 시간까지 배웠던 지수 법칙은 자연수 범위에서만 사용할 수 있었어요 그런데 오늘은 그 자연수 범위에서 0 또는 음의 정수까지 확장을 시킬 거고요 더 넘어서 유리수와 실수까지 지수 법칙을 사용할 수 있도록 할 겁니다 그러면서 추가되는 조건들하고 새롭게 나오는 법칙들이 있어요 그것들을 좀 중점적으로 보면서 학습하시기 바랍니다

자 일단은 정수인 경우로 확장을 시킬 건데요 자연수에서 정수로 넘어오면서 추가되는 숫자들이 있습니다 어떤 숫자들이 추가되어 0하고 음의 정수가 추가되죠 0하고 음의 정수가 추가되는데 그 경우 어떻게 처리하는지 그걸 먼저배워 볼게요 자 일단은 우리가 정수로 넘어오면서 밑이 0인 경우에는 따로 정의하지 않습니다 위치 0인 경우에 지속 법칙을 쓰지 않을 거예요 자 첫 번째로 a의 0 제곱이 1이다라고 적혀 있습니다 a를 0번 곱했기 때문에 한 번도 곱하지 않았기 때문에 1과 같다 이렇게 보시면 될 것 같고요 만약에 지수의 음수가 들어와 있어요 -n이라고 음수로 들어있으면 역수치하고 a의 n제곱 분의 1이 됩니다 자 우리가 요거를 조금 한번 연습을 해 볼게요 am-2 제곱은요 역수를 취해 -를 떼고 역수를 취하는 겁니다 자 만약에 4분의 3이 -1²이에요 그러면 -1일 때고 역수를 취하는 거죠 근데 1제곱은 있으나 마나니까 3분의 4라고 쓰면 되겠네요 우리가이 마이너스 들어간 거 많이 헷갈려 하니까 조금 주목해서 보면 좋을 것 같고요 우리가밑에 있는 지수 법칙을 보도록 할게요 일단 밑이 0인 경우는 제외를 하고 있고요 우리 4가지 지수 법칙을 보면 우리가 이미 다 쓸 수 있는 지수 법칙들입니다 평소와 같이 쓰면 되는데 제가 요거 하나는 조금 짚고 넘어가고 싶어요 우리 두 번째 a의 m제곱 나누기 a의 n제곱은 a의 n - n제곱으로 정의가 되어 있네요 자 그런데 우리가 앞에서 배웠던 내용에 의하면 a의 3제곱하고 a의 5제곱을 나누면 a의 5제곱 분의 a의 3제곱이고 분모의 a 개수가 더 많으니까 요렇게 썼어요 5 - 3분의 1 즉 각 지수의 크기에 따라서 누가 큰지에 따라서 지수 법칙을 어떻게 쓰는지가 달라졌는데 지금은 하나로 통일되어 있어요

자 이게 왜 되는지 한번 볼게요 우리가 a의 3제곱 나누기 a의 5제곱을 여기에 있는 2번 지수 법칙 그대로 써주면 지수끼리 뺍니다 3에서 5를 빼요그러면 a의 마이너스 2 제곱이죠 a의 - 2 제곱은 뭐예요 a의 제곱 분의 1이죠 우리 지금요 2번 법칙이 적용이 된 겁니다 위에서 배운 2번 음수를 떼고 역수를 취해주는 그러면 우리가 지난 자연수 범위에서 썼던 지수 법칙과 똑같은 결론이 나옵니다 그래서 우리는 앞으로 이렇게 굳이 m과 n의 크기를 비교하지 않고요 그냥 지수끼리 뺄 겁니다 m에서 n을 뺄 거예요 같은 경우도 한번 해 볼게요 a의 4제곱 나누기 a의 4제곱은요 지수끼리 빼면 4 - 4라서 a의 0 제곱이죠 어떤 수의 영적업은 뭐라 그랬어요 1입니다 그래서 똑같이 사용되는 거 우리가 볼 수 있고요 우리가 이제 개념메지 한번 보도록 할게요 자 마찬가지로 지금 밑이 0인 경우를 제외하고 있고요 주어진식을 한번 간단히 해보겠습니다 abm-2 제곱이면요 a의 - 2제곱b 제곱에 - 2제곱 bn^4 나누기는 곱셈으로 바꾸고 역수 취하겠습니다 a²에 - 3 제곱 분의 1로요 그러면 a의 -2 제곱 곱하기 b의 제곱의 마이너스 2 제곱이니까 지수끼리 곱하면 -4 b의 4 a의 - 6 제곱분의 1이고요 a의 - 2제곱 b의 - 4 되고 b의 4제곱 자 지수에 지금 음수가 들어가 있네요 그러면 역수치하고 음수 떼주면 되죠 이렇게 해주면 됩니다 그러면 a끼리 지수 더해 주고요 빗길이 지수 더해 줄 거예요 그러면 a의 4 제곱 b의 0 제곱이고 b의 0 제곱은 1이죠 그래서이 4제곱 밖에 안 남습니다 자 이렇게 우리 지수 법칙 평소 쓰던 대로 쓰는 거랑 큰 차이는 없습니다 조금씩 어떤 변화가 생기는지에 조금 집중해서강의를 계속 들으시기 바랍니다 자 이번에 지수가 유리수인 경우인데요 가장 대표적인 예시가 요겁니다 우리 a의 n분의 1 제곱입니다 요거는 n제곱근 a로 계산이 됩니다 우리가 1번 말고 2번을 먼저 볼게요 자 일단은 조건이 어떤 조건이 추가되냐면 a가 양수인 경우에만 우리 거듭제곱에서도 양수인 경우에만 정의를 해주죠 a가 양수인 경우에만 우리는 지수가 유리수인 지수 법칙을 쓸 거예요 자 요거 한번 예시 들어볼게요 a의 1/2 제곱은 뭘까요 바로 루트 a입니다 a의 5분의 1 제곱은요 다섯째곱근 a 5제곱근 a 요렇게 되는 거예요

자 그럼 요거를 지금 분수가 n분의 m으로 들어가 있어요 1번은 a의 n분의 m 제곱은 n제곱근 a의 n제곱 요거는 우리 지금 d조법칙을 아직 배우지 않았지만 유리수에서도 지수법칙이 똑같이 적용이 되는데 2번에서 1번이 되기 위해서 전체 m 제곱을 해주면 1번 법칙을 얻어낼 수 있습니다 한번 예제도 한번 풀어 볼게요 a의 3분의 5제곱이면요 다섯 제곱근 안에 5제곱근 안에 a의 3제곱이 들어가 있는 요런 형태와 같은 겁니다 자 그러면 지수법칙도 한번 보면 우리가 지금까지 배웠던 지수 법칙 똑같이 적용되고요 아까 말씀드렸다시피 밑이 양수인 경우에만 우리 정리를 하고 있어요 조건이 조금씩 변하고 있죠 자 이걸 가지고 개념 예제 보도록 할게요 자 루트 2 곱하기 2의 2분의 1 제곱 나누기 세제곱근 2인데요 우리 루트 2를 지수가 유리수인 꼴로 바꿔주면 이렇게 바꿀 수 있죠 2의 2분의 1제곱 자 2의 2분의 1 제곱 두 번째 있는이 1/2 제곱은 그대로 써줄 거고요 세제곱근 2는 뭐예요 2에 3분의 1제곱 그래서 2에 2분의 1제곱 곱하기 2의 2분의1제곱 나누기 2의 3분의 1 제곱이고요 곱셈은 지수끼리 더하여 줄 거고요 나눗셈은 빼 줄 겁니다 그러면 2의 1 - 3분의 1이고 2의 3분의 2가 되네요 그럼 얘를 3제곱근 2의 제곱으로 써 줄 수도 있고요 2의 제곱을 계산해서 세제곱근 4라고 쓸 수도 있습니다 자 뭐 다 같은 숫자를 나타내는 표현입니다

자 넘어가서 마지막으로 지수가 실수인 경우인데요 a도 양수 b도 양수이고 x y가 실수일 때 마찬가지로 같은 지수 법칙이 성립을 해요 우리가 실수 범위로 넘어오면서 큰 변화는 없습니다 단지 우리가 밑이 양수여야 되고 지수 법칙 똑같이 적용시켜도 된다 그렇게만 기억하시면 될 것 같습니다 자 개념 예제 풀어볼 거고요 지금 지수의 루트가 들어가서 처음 보면 조금 당황을 할 수가 있어요 근데 루트라고 달라지는게 아니기 때문에 평소 쓰던 지수 법칙을 그대로 적용을 시킬 겁니다 자 루트 3과 2루트3을 곱하면요 루트 3 곱하기 2루트 3 그리고 나누기 3의 네제곱이니까 나눗셈은 지수끼리 뺄셈입니다 3회 6-4구요 3의 제곱 즉 9로 계산이 됩니다 자 여기까지 해서 우리가 지수를 자연수에서 정수 유리수 실수 범위로 확장을 시켰구요 우리가이 확장을 시키면서 추가되는 조건들 어떤 조건들이 있어요 우리가 여기 밑이 양수라는 조건 그리고 0이 아닌 조건 요런 조건들 추가되는 거 좀 꼼꼼하게 보셔야 되고요 이렇게 추가되는 내용들 0 제곱일 때 -n제곱일 때 n분의 1제곱일 때 n분의 n제곱일 때 이런 애들을 조금 신경써서 복습을 해주시면 될 것 같습니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다