[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 로그의 뜻과 성질

자 오늘 학습할 내용은 로그의 뜻과 성질이고요 우리가 일단은 로그가 무엇인지 로그의 정의부터 배워보도록 하겠습니다 자 일단은 2의 x 제곱이 4면요 우리가 여기서 x값을 쉽게 구할 수가 있습니다 x 값이 2라고요 그런데 만약에 2x제곱이 3이에요 그러면 우리는 여기서 x 값을 표현을 할 수가 없습니다 우리가 배운 수로는이 x 값을 표현할 수 없어요 그래서 이런 x 값을 표현하는 도구가 바로 로그입니다 자 요런 x값을 우리는 뭐라고 쓰냐면 로그 2의 3이라고 쓸 거예요 자 2의 x제곱에서 우리가 지수 단원에서 여기 2라는 숫자를 밑이라고 읽었죠이 로그에서도 여기에 있는 2라는 숫자를마찬가지로 밑이라고 합니다 그리고 로그 안에 들어가는이 3이라는 숫자를 진수라고 해요 그래서 x는 로그 2의 3이라는 빛과 진수로 구성된 로그로 표현을 할 수가 있습니다

자 우리가 로그의 정의에 관해서 교재에 적혀 있는 내용을 한번 읽어 볼게요 a가 양수고 a가 1이 아닐 때에 양수 n에 대하여라고 적혀 있어요 일단은 우리가 로그를 정의할 때 가장 일반적인 경우는 a의 x 제곱이 n이면 이거를 x에 관해서 표현했을 때 로그 a의 n이라고 적습니다 그런데 우리가 로그를 쓸 때는 항상 a도 양수고 n도 양수인 즉 밑도 양수고 진수도 양수인 범위에서만 로그를 정의를 해요 또한 만약에 a가 1이면 1의 x 제곱이 n이죠그러면 1의 x 제곱이라는이 숫자는 x값의 뭘 집어넣어도 항상 1이 되기 때문에 x값의 의미가 없어져요 그래서 이런 경우엔 우리가 따로 로그를 정리하지 않습니다 그래서 a가 1이 아니다라는 조건까지 달아주면 a가 양수고 n이 양수고 a가 1이 아니라는이 세 가지 조건이 블로그에 정의 조건입니다 자 계속 읽어보도록 하겠습니다 ax는 n을 만족시키는 실수 x는 오직 하나 존재한다 즉이 관계를 만족하는 x 값은 딱 이거 하나 존재한다는 이야기입니다 자 그래서 쭉 보면 실수 x를 로그 a의 n과 같이 나타내고 a를 밑으로 하는 n의 로그라 한다 이때에는 로그 a의 로그 an의 진수라 한다 이렇게 적혀 있습니다 자 우리가이 로그의 정의에서 제일 중요한 것은요 지수골을 로그의 형태로 바꿀 수 있어야 되고요로그로 적혀있는 형태를 지수꼴로도 바꿀 수 있어야 됩니다 이렇게 왔다 갔다 하면서 지수와 로그를 자연스럽게 아주 자유자재로 쓰는 것이 정말 중요합니다 자 한번 예시로 이렇게 해보도록 하겠습니다 5의 x제곱이 7이면요 우리는 x는 어떻게 표현을 할 수 있어요 로그 밑에 있던 5를 그대로 밑에 쓰는 겁니다 5회 7 이렇게 지수골을 로그 꼴로 바꿀 수가 있고요 만약에 3이 로그 x의 2라고 적혀 있어요 그럼 얘를 지수 꼴로 바꾸면 밑에 있던 x를 그대로 밑에 적어 주고요 3은 지수입니다 다음은 2 이렇게 디스쿨로도 바꿀 수가 있어요 이거를 자유자재로 하는게 정말 중요해요 우리가 로그 문제를 풀 때 계산을 많이 하게 되는데지수골은 로그골 로그 골은 지수꼴로 오가며 우리가 계산을 해주는게 중요합니다

자 넘어가도록 하겠습니다 자 3의 x는 8은 만족시키는 x값을 구하라고 했고요 말 그대로 우리는 로그의 정의를 써서 x는 로그 3의 8이라고 쓸 수가 있습니다 이렇게 해서 x값을 구할 수 있는 거예요 자 넘어갈게요 자 로그 a의 n이 정의되기 위한 두 조건은 자 두 조건이라고 적혀 있긴 하지만 밑과 진술은 나눠서 밑의 조건 진수 조건으로 나눠진 거예요 밑의 조건은 뭐랑 뭐예요 양수여야 되고 아까 1이면 안 된다 그랬죠 그리고 진수는 양수여야 됩니다 이렇게 3개가 로그의 정의 조건이라는 거 꼭 기억하시길 바랍니다 자 넘어가서 개념 예제해 볼 건데요 로그 x의 3 -x가 정의되도록 하는 실수x 값의 범위를 구하라고 했어요 그러면 우리가 로그정이 조건은 3개가 있다 그랬어요 밑이 양수고진수가 양수고 밑이 1이 아닌 이렇게 세계 조건을 따져 줘야 됩니다 자 밑은 x고요 x죠 양수여야 돼요 그리고 진수는 3 - x고 3 - x도 양수여야 되겠죠 그리고 밑이 1이면 안 됩니다 그래서 요거와 요거의 공통 범위는 0 초과 3 미만이고요 x가 1이면 안 되기 때문에 우리는 최종적으로 범위를 0초과 1 미만 1초가 3 미만 이렇게 적으면 됩니다 자 로그의 성질인데요 우리가 이제 로그를 계산하는 방법을 배울 거예요 그래서 1 2 3 4번을 하나씩 왜 그런지 왜 1 2 3 4번이 성립하는지 설명을 드릴 거고요 우리가이 법칙들을 모두 지수법칙에서 지수법칙에서 연결이 되고 있어요 자 일단은 여기 적혀있는 a가 양수구 1이 아니고 x가 양수고 y가 양수라는 거는로그의 정의 조건 정의 조건으로 적혀 있는 거고요 일단은 a의 0 제곱이 1이라는 것을 우리는 지수단원에서 배웠습니다 그러면 이거를 로그에 관해서 표현을 해주면 0은 로그 a의 1이죠 그래서 우리 로그에서 진수가 1이면 및 a값에 관계없이 항상 0이 되는 거예요 자 a의 1 제곱은 a라는 것도 우리가 알고 있습니다 이것도 우리가 로그 꼴로 표현을 해주면 1은 로그 a의 a입니다 그래서 밑과 진수가 같은 경우에 로그 값은 1이 되는 거예요 우리가 이거를 1번 내용에 적혀 있죠 이렇게 적혀 있습니다

자 2번 보도록 할게요 2번은요 우리가 하나씩 잠깐 치환을 해 볼 건데 로그 a의 xy를 p라고 할 거고요 로그 a의 x를 q라고 할 거고 로그 a의 y를r이라고 할 거예요 그럼 이때 각각 로그 꼴을 지수골로 바꿔주면 xy는 a의 p 제곱 x는 a의 Q 제곱 y는 a의 R 제곱 이렇게 되고요 X y는 a의 B 제곱인데 x와 y를 곱하면 a의 Q 제곱 곱하기 a의 r²이죠 그러면 a의 q+ r²입니다 그러면 a의 p 제곱이 a의 q+ r²과 같고요 지식끼리 같아야 되니까 p는 q+r이란 걸 우리가 알 수가 있습니다 그럼 pqr을 우리가 각각 처음 치환했던 로그웨이의 XY logax 로그 a의 y로 바꿔주면 로그 a의 x y = 로그 a의 x +log a의 y로 바뀝니다 자 그러면 요거는 우리가 되게 많이 쓰는 로그의 성질인데요 로그 안에 있는 곱셈은 로그 2개로 이렇게 쪼갤 수가 있습니다 자 간단하게 예시를 하나 드리면 로그 2의 3+2의 6은요 우리는 밑이 지금 2로 똑같으니까 똑같을 때만이 성질을 쓸 수 있고 로그 2에 6과 3을 곱한 18이라고 우리가 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 3번 보도록 할게요 3번도 똑같습니다 로그 a의 y 분의 x를 p라고 하고요 로그 a의 x를 q라고 하고 로그 a의 y를 r이라고 하면 y 분의 x는 a분의 b 제곱이고 x는 a의 Q 제곱 y는 a의 r²이에요 그래서 여기에 있는 xy를여기에 대입을 해주면 a의 p 제곱은 a의 q제곱 나누기 a의 r²이고 지수법칙에서 나눗셈은 우리가 뺄셈으로 바뀌죠 Q -r이 됩니다 그럼 지수끼리 같아서 p는 Q -r로 바뀌고요 우리가 치환했던 걸 원래대로 되돌리면 로그 a의 y 분의 x는 로그 a의 x - 로그 a의 y입니다 우리가 곱셈과 곱셈은 2번에서 곱셈은 이렇게 로그 두 개의 덧셈으로 바뀌었는데 나눗셈은 블로그 2개의 뺄셈으로 바뀌는 거 우리가 확인할 수 있습니다 앞으로 정말 많이 쓰게 될 성질이니까 꼭 숙지하시길 바라겠습니다

자 마지막으로 4번 가보도록 할게요 로그 a의 x의 n제곱이고요 x의 n제곱이란 거는x를 n번 곱한 거죠 x를 n개 곱한 거예요 이렇게 쭉 그러면 우리가 2번 법칙을 적용해서 로그 a의 X + 로그 a의 x + 쭉 다 덧셈으로 바꿀 수가 있어요 그러면 로그 a의 x가 몇 개 있는 거예요 n개 있는 거죠 얘가 n개 있으니까 결론적으로 이렇게 쓸 수 있겠네 n log a의 x라고 그래서 우리가 진수에 있는이 지수골은요 밖으로 이렇게 빼낼 수가 있습니다 자 여기까지 해서 우리가 로그의 성질 4가지 알아봤어요 자 이번엔 로그의 밑에 변환 공식인데요 우리가 로그 a의 b에서 로그 a에 비해서 a를 a가 아닌 다른 수로이 로그의 밑이 똑같아야 우리가 방금 전에 배운 로그의 성질을 쓸 수 있는데 다른 문제들이 있어요로그에 밑이 다른 경우가 있는데 그거를 통일시켜 주기 위해서 통일시켜주기 위해 밑에 변환 공식을 쓰는 경우가 많습니다 자 그러면 1번을 보도록 할 건데 얘도 마찬가지로 로그 a의 b를 p라고 놓고요 로그 c의 a를 q라고 놓고 로그 c의 b를 r이라고 놓으면요 b는 a의 b 제곱 a는 c의 Q 제곱 b는 c의 r 제곱이에요 그러면 우리가 여기서 두 개를 변형을 좀 시켜 줄 건데 이렇게 바꿀 수 있습니다 c는 a의 추분의 1제곱 c는 b의 1/r 제곱하고 같죠 그러면 좌변 우변을 모두 r²을 해주면요a의 추분의 R 제곱은 b가 됩니다 그러면 아까 b는 a의 B 제곱이라고 했으니까 요거를 a의 B 제곱이라고 적을 수 있죠 그러면 a의 Q 분의 r²은 a의 p^2과 같으니까 p는 추분의 알이라고 적을 수가 있습니다 그러면 다시 원래대로 돌려 놓으면 로그 a의 b는요 로그 CA logy의 B 이렇게 됩니다 자 이거를 어떻게 보시면 좋냐면요 원래 AB 로그 a의 b였던이 숫자를 새로운 밑을 추가하는 거예요 c라는 밑을 그러고서 a는 분모로 가고요 b는 분자로 옵니다 이렇게 새로운 밑에 추가하는 거예요 우리 2번은 우리 c에다가 어떤 숫자를 넣은 거냐면 c에다가 b를 넣은 거예요c에다가 b를 넣으면 로그 a의 b를 밑변항공식을 쓰면 로그 c의 a 분의 로그 c의 b가 되는데 c에다 b를 넣으면 로그 b의 a 분의 로그 b의 비죠 그러면 분자는 1이고요 분모는 로그 b의 a입니다 어떻게 됐어요 로그에 a의 b였던게 밑과 진수의 자리가 바뀌면서 역수가 됐습니다 이렇게도 밑변환 공식을 활용할 수가 있어요 자 여기도 마찬가지로 우리 로그가 성립하기 위한 로그 정의 조건들이 모두 들어 있습니다 다 로그가 성립할 때만 쓸 수 있는 공식들이

자 넘어가 보도록 할게요 자 개념이 이제 풀어볼 건데요 로그 6의 2 플러스 로그 3의 6분의 1입니다 자 이때 로그 6의 2+ 로그 3의 6에서 이거를 밑과 진술을 바꾼 다음에 역수로 만들어 주면 되죠로그 6의 3으로 자 그러면 위치 같아졌으니까 로그 성질을 써서 로그 6에 2 곱하기 3이고요 로그 6의 6이고 밑과 진수가 같은 경우는 우리가 1로 계산을 할 수가 있습니다 자 넘어가도록 할게요 이번엔 지수의 로고가 있을 때 로그의 성질이에요 a가 1이 아니고 a가 양수고 c가 양수고 c가 1이 아니고 b가 양수라는 거는 우리가 로그에 밑과 진수의 조건에서 나온 것들이고요 자 일단 1번 공식을 한번 보겠습니다 이게 지금 지수의 로그가 들어가 있어서 조금 복잡해 보여요 a의 로그 c의 B 제곱은 b의 로그 c의 a 제곱과 같다는 공식인데 쉽게 보면 뭐랑 뭐랑 자리를 바꾼 거예요이 지수골의 밑 a와 로그 안에 있는 진수 b를 바꿔준 겁니다 이렇게 자리만 바꿔 준 거예요 이렇게 보고 활용을 해 주시면 되고요 증명을 한번 간단하게 하고 넘어갈게요로그 씨의 b는 p라고 하고 로그 c의 a를 q라고 잠깐 놓겠습니다 그러면 b는 c의 p^2이고 a는 c의 Q 제곱이죠 그러면 c는 b의 p분의 1 제곱이고 c는 a의 Q 분의 1제곱입니다 그러면 얘랑 얘랑 같다고 놀 수가 있고요 같다고 도면 b의 p분의 1 제곱은 a의 Q 분의 1제곱이고 양변을 pq제곱에 주면요 양변을 피큐 제곱해주면 좌변은 b의 추제곱 우변은 a의 p 제곱이 됩니다 그러면 p2를 다시 원래대로 돌려놓으면 b는 b의 Q 제곱은 b의 로그 c의 a 제곱 a의 B 제곱은 a의 로그 c의 p^2 b제곱이죠 b가 아니라 이렇게 됩니다 자 그래서 우리가 이렇게 공식 유도하는 것까지 한번 확인을 했습니다자 2번 공식은요 1번 공식에서 나온 건데 단지 c자리에 a를 집어넣은 겁니다 c자리 a를 집어넣으면 좌변이 a의 로그 a의 b가 되고요 1번 공식과 똑같이 적용시켜서 자리를 바꿔주면 b의 로그 a의 a²입니다 그러면 b에 로그 a의 a는 1이죠 그래서 b만 남아요 거기서 나온 공식이고요 1번과 2번 공식이 완전 다른 공식은 아니라는 거 한번 확인했으면 좋겠습니다 자 넘어가겠습니다 마지막으로 개념 예제 볼 거고요 9 로그 3의 2 제곱이고 우리가 9와 2를 자리를 바꿔주면 2의 로그 3의 9입니다 자 이때 로그 3의 9는 로그 3의 3의 제곱이고 2의 2 로그 3의 3이니까 2의 2입니다 2의 제곱이죠 즉4가 답입니다

자 여기까지 해서요 우리가 로그의 성질 그리고 로그에 밑변환 공식 그리고 지수의 로그가 들어가 있는 꼴 이렇게 해서 세 가지 학습을 했어요이 세 가지를 자유자재로 다루면서 우리가 계산에 능숙해져야 됩니다 문제도 많이 풀면서 공식 적용하는 연습까지 꼭 복습하시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다