[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 지수함수의 뜻과 성질

자 오늘 학습할 내용은 지수함수의 뜻과 성질입니다 우리가 오늘 지수함수 그래프 그리는 법을 배울 거고요 그 그래프에 따라서 어떤 특징들을 가지는지 그 특징들을 조금 정리를 해 볼 거예요 자 일단은 우리가 지수함수의 가장 기본적인 형체는 무엇이냐면 y는 ax라고 쓴 거를 우리는 지수함수라고 합니다 근데 아무 때나 지수함수라고 하는 건 아니고요 그러면 x값에다 뭘 넣어도 그냥y 값이 항상 1이죠 우리가 이런 함수는 뭐라 그래요 상수 함수라 그러죠 그래서 따로 지수함수라고 하지 않습니다 그렇기 때문에 a가 1이 아닌 양수일 때만 우리는 요렇게 생겼으면 지수함수라고 합니다 자 그리고 x에 대하여 a의 ax의 값은 하나로 정해진다고 적혀있어요 자 이거는 무슨 내용이에요 우리가 함수를 정의하기 위해선 x값의 대입을 했을 때 정해지는 y 값이 딱 하나 나와야 됩니다 x값의 대응되는 y 값이 하나 나와야 된다는 소리예요 그런데 ax 값이 지금 마찬가지로 하나로 정해지기 때문에 우리는 이거를 함수라고 할 수 있는 겁니다 자 그런 설명이 지금 여기에 나와 있는 거고요 우리는 y=ax라고 생겼으면 지수함수라고 한다 단 언제 a가 양수고 a가 1이나 아닌 경우에 이렇게 이해를 하시면 될 것 같습니다

자 그럼 넘어가서요 우리가 지수함수의 성질을 알아볼 건데요 일단 지수함수 y는 ax에서요그래프는 두 가지로 그려집니다 a가 1보다 큰 경우에는요 그래프가 오른쪽 위를 향하는 오른쪽 위를 향하는 이런 그래프가 생기고요 a가 0보다 크고 1보다 작은 경우에는 그래프가 오른쪽 아래를 향하는 이런 그래프가 생기게 됩니다 자 뭐 예시를 하나만 들어보도록 할게요 y는 2의 x라는 그래프를 간단하게 점 3개만 찍어 보도록 하겠습니다 x값이 2인 경우 x값이 0인 경우 x값이 -1인 경우 x가 2면요 y는 2의 제곱이라 4죠 즉 2를 지납니다 x값이 0이면 y는 2의 0 제곱이라 1이죠 0 콤마 1을 지나고요 x값이 -1이면 y는 2n - 1 제곱이다 2분의 1을 지납니다 즉 -1/2을 지나요 여기쯤 점을 찍어주면 되겠네요그래서 그래프가 이렇게 생깁니다 이렇게 오른쪽 위를 향하는 그래프가 생기는 거예요 요게 2뿐만 아니라 1보다 큰 a값에 대해서 모든 그래프는 오른쪽 위를 향하는 그래프를 얻어낼 수 있습니다 요번엔 y는 1/2의 x 그래프 한번 그려보도록 할게요 마찬가지로 x에다가 2를 넣으면요 y는 2의 2분의 1의 2제곱이죠 1/2의 제곱입니다 2분의 1의 제곱이니까 4분의 1이고요 x가 0이면 y는 1/2의 0제곱 즉 1이고요 x가 -1이면요 y는 1/2의 마이너스 1제곱이여서 2가 됩니다 그래서 2 4분의 여기쯤이고요 0 1 여기고 -1이면 여기쯤 되겠네요 그래서 그래프가 이런 식으로 그래프를 그릴 수 있는 거예요 자 오른쪽 아래를 향하는 그래프가 나오죠

자 그래서요 특징들을 조금 정리를 해 볼 건데요 첫 번째로 정의역은 실수 전체집합에서 정의가 되고요 x값의 실수 전체 어떤 실수를 아무거나 집어넣을 수 있습니다 치역은요 양의 실수 전체의 집합이에요 우리가 그래프가 지금 x축 위에서만 그려지기 때문에 항상 양수를 가져요 자 이 그래프는요 점 0 콤마 1을 지나고 1 콤마 2를 지난다고 적혀 있어요 0 x에다 0을 넣으면 항상 밑에 상관없이 지수가 0이면 그 값은 1이죠 그래서 0 1을 항상 지나고요 1 a를 구하기 위해 x의 다이를 대입하면 a의 1제곱이라 a가 나옵니다 요거는 지나는 점이기 때문에 대입해서 확인할 수 있는 부분이에요 자 여기 조금 중요한 내용 같은데요 x축을 점근선으로 갔는데요 자 점근선이 뭐예요 점근선이 뭐냐면 어떤 직선의 한없이 가까워질 때 한없이 가까워지는직선을 우리는 점근선이라고 합니다 즉이 그래프는 x축하고 만나지는 않아요 만나지는 않는데 계속 가까워집니다 가면 갈수록 가까워지는 거예요 이렇게 그래서 요거를 점근선이라고 하고요 얘도 마찬가지로 x축이 점근선이에요 우리가 x축을 식으로 표현하면 y는 0이라고 쓸 수 있죠 그래서 x축을 점근선으로 갖는다 y는 0을 점근선으로 갖는다 둘 다 맞는 말입니다 자 세 번째는요 a가 1보다 클 때는요 x값이 증가하면 Y 값이 증가한다고 적혀 있어요 우리가 그래프가 오른쪽 위로 가기 때문에 x값이 증가하면 Y 값도 증가하는 거를 확인을 할 수가 있습니다 반면에 a 값이 0보다 크고 1보다 작으면 x값이 증가할 때 y 값이 감소하는 거를 우리가 확인을 할 수 있어요

자 네 번째 보도록 할게요 실수 전체 집합에서 실수 전체 집합으로의 일대일함수라고 적혀 있어요 자 이게 정의역이고요요게 공력인데요 공력이 실수 전체 집합인 경우엔 치역은 양수고 공력은 전체집합이기 때문에 우리는 일대일 함수라고 할 수 있고요 실수 전체의 집합이 정의역이고 양의 실수 전체의 집합이 공역이면요 이런 경우 공략과 치역이 일치해지기 때문에 일치가 되면 우리는 일대일 대응이라고 하죠 그래서 이렇게 곤욕에 따라서 1대1 함수와 일대일 대응이 될 수 있다는 거 우리가 확인하면 될 것 같습니다 자 5번 보면요 y는 ax의 그래프와 y는 a분의 1의 x 그래프는 y축에 대하여 대칭이라 그랬어요 우리가 뒤에서 대칭 이동을 할 건데 그래도 한번 먼저 보도록 하겠습니다 y는 ax라는 그래프를 y축 대칭시키려면요 어떤 일을 해야 돼요 x 다리에다가 마이너스 x를 집어넣어야 되죠 그래서 y는 an -x가 나옵니다 즉a - 1의 x 제곱이고요 a분의 1의 x제곱과 같습니다 그래서 y는 ax라는 그래프와 a분의 1의 x라는 그래프는 무슨 관계예요 y축 대칭입니다 자 마지막으로요 a가 양수고 a가 1이 아닐 때 모든 실수 x에 대하여 ax는 항상 양수다 요거는 그래프가 항상 위에 있기 때문에 양수라는 점 아까 설명 드렸습니다 자 넘어가세요 우리가 지수함수의 평행 이동을 보도록 할 건데요 우리가 기본적인 y=ax 꼴의 그래프를 X 축으로 n만큼 x축으로 n만큼 y축으로 n만큼 평행 이동을 하면 우리는 y자리에 y-n을 넣구요 x 다리에 x-m을 집어넣어서 우리는 평행 이동한 식을 구할 수가 있습니다 우리 평행 이동 단원에서 학습한 내용입니다 y -에는 ax - m²이라는그래프식을 얻어낼 수 있고요 -n을 이용해서 요렇게 정리까지 할 수 있습니다 자 그러면 어떤 성질들이 변하냐면 우리가 2x 그래프를 한번 예시로 들어볼게요 이렇게 생긴 y는 2의 x 그래프가 있었어요 제가 이거를 x축으로 3만큼 x축으로 선만큼 y축으로 이만큼 평행 이동을 시키면요 대략적으로 그래프를 그려주면요 정도로 그래프가 그려질 거예요

자 그런데 여기서 중요한게 있습니다 원래 정의역은 실수 전체였어요 근데 얘를 x축으로 평행 이동하고 y축으로 평행 이동한다 그래서 실수 전체라는 정의역이 변하지는 않습니다 그래서 정의역은 실수 전체 집합이라는 거 변하지 않았는데요 점근선이 원래 뭐였어요 우리 x축이 점근선이었죠 근데 y축으로 이만큼 평행 이동하면 점근선도 이만큼 평행이동 되는 겁니다그래서 시역은요 점근선 위에 있어야 되니까 y는 2보다 큰 경우에만 지역이라고 할 수 있어요 요거를 우리가 치역이라고 할 겁니다 그리고 점근선은 뭐가 된 거예요 점근선은 y는 2가 된 겁니다 그래서 요거를 변화시키는게 뭐냐면 y축으로 얼만큼 평행 이동시켰는가가 지역과 점근선을 변화시키는 거예요 요만큼 요만큼 그래서 교재에 나와 있는 내용은요 y축으로 m만큼 평이 이동시키면 지역은 y는 n2가 되고요 그래프의 점근선은 직선 y=n이다라고 정리가 되어 있는 거예요 자 넘어가서 자 일단은요 우리가 식을 먼저 구해 볼 건데 y는 2의 x라는 지수 함수를 x축의 방향으로 1만큼 평행 이동시키면 x자리에 x-1을 집어넣으면 되고요 y축의 방향으로 이만큼 평행 이동을시키면 뒤에다가 플러스 2를 해주면 됩니다 자 그래프를 그려 볼 건데요 원래 그래프하고 조금 비교를 하기 위해서 y는 2x 그래프를 먼저 그리겠습니다 이렇게 그릴 수 있고요 x축으로 1만큼 옮기고 y축으로 이만큼 옮기는데 우리가 기준을 여기에 있는 0 항상 지나는 점이죠 지수함수가 항상 지나는 0 콤마 1이라는 점을 가지고 평행 이동시켜주면 조금 편하게 구할 수 있습니다 한 칸 두 칸 요렇게 그래서 그래프를 이렇게 그릴 수가 있어요 이렇게

자 그러면 우리가 요렇게 평행 이동을 하면요 원래 점근선이었던 x축이 마찬가지로 두 칸 올라와서 점근선이 뭐가 된 거예요 y는 2가 점근선이 된 거죠 자 그러면 우리가 그래프도 그렸고요 그래프의 식도 구해 봤으니까 정의역하고 치어가고 점근선의방정식까지 정리해 보겠습니다 자 정의역은요 우리가 평행 이동을 한다고 정력이 변하지 않습니다 x바 x는 실수 실수 전체를 말하는 거죠 요렇게 쓸 수 있고요 치역은요 우리가 원래 y는 0초과했는데 y축으로 이만큼 평행 이동을 하면서 이렇게 바뀝니다 라인은 2초과 마지막으로 점근선은요 우리가 평행 이동시킨만큼 와인은 2라고 접는 선을 쓸 수 있습니다 자 여기까지 해서 우리가 평행 이동 문제까지 한번 풀어 봤구요 넘어가서 대칭 이동 보도록 하겠습니다 자 y=ax라는 그래프를 가지고 우리가 대칭 이동을 시킬 건데요 x축 대칭 이동을 시키는 건요 x축 대칭 이동을 하는 건 y자리에 마이너스 y를 집어넣는 거죠 그래서 여기가 -y로 바뀌었구요 양변에 마이너스 1을 곱하면 y는 - ax의 그래프식이 됩니다 자그러면 그래프도 같이 보면서 가도록 할게요 우리가 y는 ax에서 2의 x를 한번 대칭 이동을 시켜 볼게요 그래프가 이렇게 생겼고요 x축 대칭 이동을 시키면 그래프가 어떻게 생겼어요 이렇게 생겼죠 그리고식이 어떻게 되는 거예요 y는 마이너스 2의 x가 되는 겁니다 두 번째 y축에 대하여 대칭 이동을 시킬 거고요 y축 대칭 이동은 x자리에 마이너스 x를 집어넣는 겁니다 그래서 여기 -x가 들어와서 -는 a를 역수로 바꿔 a분의 1의 x 제곱이라는 그래프식이 됐죠 자 그래서 우리는 y축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프를 이렇게 그래프가 조금 어긋났네요 다시 그리겠습니다 이렇게 그릴 수 있고요 식은 2분의 1의 x제곱이라고 쓸 수가 있습니다 자 마지막으로 원점에 대하여 대칭이 이동한그래프는요 x에도 마이너스 x를 넣고 x에도 마이너스 x를 넣고 y에도 - y를 집어넣어야 되죠 그래서 -y-x입니다 그래서 변형해 주면 이렇게 변형이 되고요 그래프는 어떻게 그려져요 이렇게 그려지겠죠 함수식은 뭐예요 y는 마이너스 2분의 1의 x 제곱이 됩니다

자 마지막으로 개념 예제 풀고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 y는 2x라는 그래프를 [음악] 자 첫 번째정의역이 바뀌었나요 정의역은 마찬가지로 실수 전체입니다 x는 실수 지역은 어떻게 됐어요 원래 항상 x축 위에 있었는데 이제 항상 x축 아래에 있는 겁니다 그래서 y와 y는 0보다 작다 이제 요게 지역이 된 거예요 점근선은 뭐예요 우리가 평이 이동을 시킨 건 아니기 때문에 정근선 자체가 바뀌지는 않습니다 그래서 점근선은 y = 0 즉 x축이라고 적어주면 됩니다 자 여기까지 해서요 우리가 지수 함수 그래프를 그리는 방법 배워봤고 지수함수 그래프에 특징들까지 배워봤습니다 복습 꼭 꼼꼼하게 하고요 우리가이 내용을 토대로 방정식과 부등식 최대 최소까지 학습을 할 거니까 복습하고 다음 강의 들으시길 당부드립니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다