[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 지수함수의 최대·최소

자 오늘의 내용은 지수 함수의 최대화 최소입니다 우리가 일단은 지수함수를 이용한 수의 대소관계에 파악하는 방법 배워 볼 거고요 지수함수의 최대 최소는 어디서 최대값 최소값 갔는지 그걸 한번 알아보도록 하겠습니다 자 일단은요 우리가 지수함수 y는 ax라는 함수가 그래프는 하나로 그려지지 않아요 우리가 a값에 따라서 a가 1보다 클 때랑 a가 0보다 크고 1보다 작을 때 두 가지로 나누어서 그래프를 그렸습니다 우리가 지난 시간에 배웠었죠 그래서 일단 a가 1보다 큰 경우에 지수 함수 그래프를 그리면요 우리가 x축 y축이 이렇게 있을 때 그래프가 어떻게 생겨요 이렇게 생기죠 우리가 그래서x 값이 증가하면서 y 값도 증가하는 이런 형태로 그래프를 그려줄 수 있다 그랬어요 그러면 만약에 x 값이 여기 있어요 하나가 x1이라는 x 값이 여기 있고 x2라는 x값이 여기 있으면 y 값은 얘는 여기 있고 얘는 여기 있죠 자 그러면 만약에 x2가 x1보다 크면요 즉 x2가 x1의 오른쪽에 있으면 그때 생기는 y 값 y1과 y2를 비교했을 때 누가 더 커요 y1이 y2보다 작고 y2보다 y1이 큰 요런 관계가 성립을 하는 겁니다 요런 관계가 항상 성립하는 거죠 왜 성립하는 거예요 이게 증가하는 함수이기 때문에 x값이 크면 그에 따른 y 값도 큰 겁니다 그러면이 함수를 y는 a의 x재 x제곱이라고 했을 때 y1은 뭐라고 쓸 수 있어요a의 X1 제곱 y2는 a의 x2 제곱 요렇게 쓸 수 있죠 그래서 a가 1보다 큰 경우엔 x값이 크면 y 값이 더 크고요 그에 따라서 지수도 이렇게 X1 x2 그기에 따라서 부등호 방향도 똑같은 이런 형태가 되는 겁니다

자 두 번째는요 우리가 0보다 크고 1보다 작은 경우인데요 x축 y 축을 그렸을 때 이렇게 생깁니다 그래프가 영화 91 사이에 있는 경우에는 이런 그래프가 그려지게 되죠 얘가 y는 a의 X 그래프입니다 자 얘는 우리가 뭐라 그래요 감소한다 그러죠 x값이 증가할 때 y 값이 감소한다고 표현을 합니다 그러면 x1과 x2를 비교했을 때 x1이 만약에 여기 있고 x2가 여기 있어요그럼 각각 y 값들은 y1은 여기 있고 y2는 여기 있습니다 그러면 x1보다 x2가 크면요 y1과 y1의 관계가 어떻게 되는 거예요 얘는 부도검 방향이 바뀌는 겁니다 함수가 감소하고 있기 때문에 x값이 크면 클수록 y 값이 작아지는 거예요 자 그러면 마찬가지로요 우리가 y1은 a의 ax1이라고 쓸 수 있고요 y2는 a의 x2라고 쓸 수 있습니다 자 근데 부등호 방향이 아까와는 다르게 반대 방향인 거죠 x1하고 x2를 비교하면 x2가 크지만 x2가 크지만 이렇게 지수꼴로 표현하면 a가 0하고 1사이에 있을 땐 부등호 방향이 바뀌는 겁니다 그래서 우리가 요거를 확인을 할 때는이 A 값이 1보다 큰지0하고 1 사이에 있는지 요거를 확인하는게 가장 중요합니다 왜죠 이거에 따라서 방향이 바뀔 수 있기 때문에 우리가 a값에 따라서 보통은 방향이 바뀔 수 있기 때문에 a값을 항상 확인해 주는게 중요합니다 개념미즈 보도록 할게요 자 1번 다음 세수의 크기를 비교하라고 했는데요 일단은 2랑 제제곱근이랑 다섯 제곱근 2에 여섯 제곱이 있어요 그러면 얘를 이렇게 바꿀 수 있죠 2와 2의 3분의 1 제곱하고 2의 5분의 6 제곱으로 그러면 그냥 2만 있는 거는 지수의 1만 있는 거랑 똑같으니까 어떤 크기를 먼저 비교하냐면 지수에 있는 1과 1/3과 5분의 6을 먼저 비교를 해주는 거예요 3개를 비교했을 때 누가 제일 크죠 5분의 6이 제일 크고요 다음 1 다음 3분의 1입니다 자 그러면숫자들이 요렇게 크기가 나열이 되어 있는데 우리가 지금 밑에 2를 추가해도 2³ 2의 1 제곱 2의 5분의 6제곱 여기에 있는 숫자들을 지수로 올렸습니다 밑이이고 같이 수를 올렸어요 그랬을 때 부등업 방향이 바뀐다고요 안 바뀐다고요 안 바뀝니다 밑이 지금 1보다 큰 2라는 숫자이기 때문에 지수의 대소가 그대로 유지되는 거예요 그래서 우리는 이렇게 쓸 수가 있죠 얘가 제일 크고요 그 다음 2가 크고 그다음 세제곱근 2가 큽니다 요렇게 크기를 우리가 나열할 수 있는 거예요

자 2번 한번 해 보도록 할게요 3분의 1의 마이너스 2 되고 3분의 1의 -1 제곱 자 루트 3분의 1인데요 루트 3분의 1은 루트 3분의 1과 같고요 쟤는 3분의 1의2분의 1 제곱과 같습니다 자 그랬을 때 지수만 먼저 비교를 하는 거예요 지수만 -2랑 -1이랑 2분의 1만 먼저 비교를 해주면 -2 - 1 2분의 1 순서입니다 자 그런데 밑이 3분의 1이고 지수를 그대로 나열을 하면요 밑이 3분의 1이고 -1 되고 3분의 1이고 2분의 1제곱 자 지금 밑이 3분의 1이면 0하고 1 사이에 있죠 0하고 1 사이에 있을 땐 감소함수이기 때문에 지금 대소가 바뀌는 거예요 이렇게 이렇게 왜 바뀐다고요 밑이 0하고 1 사이에 감소함수이기 때문에 그래서 우리는 크기를 이렇게 쓸 수 있습니다 3분의 1의 마이너스 2 되고 3분의 1의 -1이 되고 루트 3분의 1 이렇게 답을 써주면 됩니다 자 넘어가겠습니다 지수함수의 최대 최소인데요 자 우리가어떤 정의역이 이렇게 주어져 있어요 m 이상 n 이하라고 정의역이 주어져 있을 때 지수함수 fx는 ax 자 요거는 a가 1보다 클 때는요 자 a가 1보다 클 때는 그래프가 어떻게 그려져요 그래프가 원래는 이렇게 그려집니다 증가함수이기 때문에 그래프가 이렇게 그려지는데 정의역이 m부터 n이에요 정의역이 여기서부터 여기까지입니다 그러면 그래프가 여기서부터 여기까지만 그려지겠죠 여기서부터 여기까지만 그려집니다 자 그러면 최대값은 어디에요 가장 끝에 있는 n을 집어넣었을 때가 최대인 겁니다 즉 가장 큰 x값을 집어넣었을 때 x값을 집어넣었을 때 최대가 나오는 거고요 최소값은 어디에요 가장 작은 x값 즉 m을 집어넣었을 때 가장 작은 x값을 집어넣었을 때 최소가 되는 겁니다 왜냐하면지수함수라는게 지금 a가 1보다 크면 x 값이 커지면 커질수록 y 값이 계속 커지기만 해요 그래서 x값에다가 가장 큰 n 값을 집어넣어야 최댓값 나오는 거고요 x값에다가 가장 작은 m값을 집어넣었을 때 최소값이 나오는 겁니다 자 반대로 a가 0하고 1 사이에 있으면요 그래프가 이렇게 감소하는 형태로 오른쪽 아래로 내려가는 형태로 그래프가 이렇게 그려지고요 지금 정의역이 m부터 n이죠 정력의 n부터 n이면 그래프가 여기서부터 여기까지만 그려지게 됩니다 여기서부터 여기까지만 그려지게 되고 우리가 어디서 최대를 가는 거예요 여기서 최대를 가져요이 값은 뭐예요 가장 작은 x값을 집어넣었을 때 최대가 되는 겁니다 얘는 x값이 커지면 커질수록 y 값이 작아지기 때문에 반대로 얘는 가장 작은 x를 넣었을 때 최대가 나오고가장 큰 x 값을 집어 넣었을 때 최소가 나오는 겁니다 그래서 x는 m에서 최댓값 fm을 갖고요 x는 n에서 최솟값 fn을 갖습니다

자 마지막으로 개념 예제 보도록 하겠습니다 자 정의역이 -1부터 4까지일 때 y는 3의 x의 최댓값과 최솟값 구하라 그랬어요 그러면 우리가 지금 1번 문제를 풀 때 가장 먼저 확인해야 될 건 a 값이 1보다 크냐 0하고 1 사이에 있냐에요 지금 3이기 때문에 1보다 크고요 그러면 얘는 증가입니다 x값이 증가할 때 y 값도 증가하는 그런 함수 그래프가 그려지고 증가하기 때문에 x 값이 커지면 커질수록 y 값도 커지니까 x에다가 -1을 넣었을 때 나오는 y 값의 -1 제곱 즉 1/3이 최대인 거예요 최소인 거예요 제 소인거죠 가장 작은 x 값을 넣었습니다자 x에다가 만약에 4를 집어넣어요 4를 집어넣으면 y는 3의 네제곱이죠 3의 네제곱이면 80일입니다 그럼 얘는 뭐예요 최대도 최대 가장 큰 x값을 넣었으니까 그때 최댓값을 갖는 겁니다 자 2번은요 정의역이 이렇게 주어져 있어요 -2부터 1까지 -2 이상 1 이하로 정의역이 주어져 있는데요 우리가 함수 y는 1/2의 x 제곱의 최댓값과 최소값을 구하는 겁니다 자 그러면 가장 먼저 뭘 확인해야 된다고요 a 값이 즉 여기선 a 값이 2분의 1인데 2분의 1이 1보다 큰지 0하고 1 사이에 있는지 요거를 좀 확인을 해줘야 된다 그랬어요 1/2은 0하고 1 사이에 있으니까 우리는 x값이 증가하면 증가할수록 Y 값이 감소하는 감소하는 형태를 띠게 되고요 그러면 x에다가-2를 넣었을 때 나오는 y 값 즉 1/2의 마이너스 2 제곱인 4가 지금 가장 작은 x 값을 집어넣었기 때문에 얘는 뭐인 거예요 가장 큰 최대인 겁니다 자 x 값에다가 1을 집어넣을 거예요 그러면 가장 큰 값이죠 그러면 y는 2분의 1의 1제곱이고 2분의 1입니다 가장 큰 x값을 집어넣었기 때문에 y 값은 가장 작은 최소를 갖는 거죠

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 지수함수의 최대화 최소단은 학습을 했습니다 오늘 강의는 여기까지고요 복습 꼭 꼼꼼하게 하면서 우리 다음 강의 넘어가도록 하겠습니다 고생하셨습니다