[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 지수방정식과 지수부등식

이번 시간에 배울 내용은 지수 방정식과 지수 부등식입니다 우리가 지수 방정식이 뭔지 지수 부등식이 뭔지 배우고 지수 방정식과 부등식을 푸는 방법도 같이 배울 거니까 한번 학습해 보도록 할게요 자 일단은 우리가 지수 방정식과 지수함수의 관계라는 제목이 적혀 있는데요 자 지수 방정식이 뭐냐면 지소방정식은 지수의 미지수를 포함한 방정식을 우리는 지수 방정식이라고 해요 지수 방정식의 가장 흔한 예시는 이렇게 될 수 있을 것 같아요 2의 x 제곱은 2의 6제곱 우리가 이렇게 표현된 방정식을 지수 방정식이라고 합니다 지수에 지금 문자가 들어가 있죠 지수의 x가 들어가 있습니다 자 요런 애들을 지수 방정식이라고 합니다 자 지수방정식과 지수함수의 관계인데요 우리가 지수함수 그래프를 하나 그릴건데 a가 1보다 큰 경우에만 그래프를 한번 그려보도록 할게요 그러면 지수함수의 그래프는 우리가 x값이 증가하면 증가할수록 Y 값이 계속 증가하는 함수고 그래프가 이렇게 그려진다는 것을 배워왔습니다 자 배워왔는데 우리가 지수함수는요 어떤 함수인 걸 알고 있어요 일대일 함수인 걸 알고 있습니다 1대1 함수가 뭐냐면 우리가 y 값이 하나로 정해지면 그거에 따른 x값도 딱 하나 존재한다는 그런 함수를 우리는 일대일 함수라고 합니다 자 그래서 우리가 요거를 y는 ax라고 했는데 ax1 하고 ax2 하고 같아요 무슨 말이에요 함수에서 y 값이 동일하다는 이야기입니다 그러면 일대일함수이기 때문에 결국은 뭐랑 뭐랑 같은 거예요x1하고 x2 하고 같아지는 겁니다 그래서 우리는 지수 방정식을 풀 때 만약에 ax1이 ax2 제곱하고 같다는 이런 식으로 정리가 되면 밑을 신경 쓰지 않고요 x1과 x2가 같다는 이런 식으로 방정식을 풀어주게 됩니다

자 거꾸로요 x1과 x2가 성립하면 ax1 제곱과 ax2 제곱도 마찬가지로 동일하죠 요건 함수의 정의입니다 그래서 우리가 ax1 제곱은 ax2 제곱이 같으면 x1과 x2가 같다는 요런 내용이 이렇게 적혀 있어요 자 a가 0하고 1 사이에 있어도 a가 0하고 1 사이에 있어도요 경우는 파란색 그래프로 그리겠습니다 그래프가 이렇게 그려져요 감소함수지만 어쨌든 1대1 함수인 건 똑같기 때문에 우리가 풀이 방법이 달라지는게 아니고요 같은 방법으로 우리가 지수 방정식을 풀어 줄 겁니다자 그래서 지수 방정식에도 좀 종류가 여러가지가 있는데요 4가지 정도로 우리가 좀 요약을 할 수 있을 것 같아요 첫 번째는 밑을 갖게 할 수 있을 때 정리를 해서 우리는 a의 FX 지수의 어떤 x에 관한식이 있고요 우변도 x에 관한식이 지수로 들어가 있는 a의 gx라는 식으로 정리를 해서요 식을 이렇게 정리한 다음에 완전 배운 내용을 토대로 fx와 gx가 같다는 이런 방정식을 세워서 x값을 구하는 유형이 있습니다

자 두 번째는요 ax²의 꼴이 반복되는 경우에요 자 요런 경우에는 a의 x 제곱을 d로 지원하여 d에 관한 방정식을 푼다고 적혀 있습니다 자 그리고요 우리가 ax의 값이 ax 제곱의 값이 항상 양수죠 지수함수는 항상 x축 위에 있기 때문에 항상 양수입니다 그래서 ax의 값을 t라고 치환해서 어떤 방정식을 풀었는데 t값이 만약에 -2가 나왔어요그러면 요거를 만족하는 x값은 존재하지 않습니다 그거는 우리가 또 뒤에 기념유지 가면서 하나씩 짚어보도록 할게요 자 3번과 4번도 있는데요 3번과 4번에서 3번은 지금 지수가 같을 때에요 지수가 같으면 a의 fx는 bfx라고 정리가 되는데요 요거는 우리가 두 가지로 정리를 할 수가 있어요 일단은 밑까지 같은 거예요 밑도 갚아 버리면 완전히 똑같아지니까 우리는요 방정식이 성립한다고 볼 수 있어서 밑이 같은 경우 하나가 나와 있고요 우리가 밑에 상관없이 지수가 만약에 0이면 밑의 상관없이 지수가 0이면 항상 그 값은 1이기 때문에 우리는 요렇게 두 가지를 고려해 줘야 됩니다 자 4번은 밑에도 지수가 있는 경우인데요 자 그런 경우에 우리는 xfx가 x의 GX 제곱으로 이렇게식이 정리가 되면요 일단 fx랑 gx랑 같다는 요런 식으로 우리가 얻어낼 수 있어요우리가 요거는 1번하고도 비슷한 내용입니다 근데 이것만 되는게 아니라 만약에 미칩이 지금 밑에도 문자가 들어가 있기 때문에 밑을 1이라고 놓을 수가 있어요 x가 1이면 우리가 지수의 상관없이 밑질이면 항상 그 값이 1이기 때문에 우리는 이렇게 두 가지로 나누어 풀어야 됩니다 자 3번과 4번을 제가 같이 설명드린 이유는요 우리가 지금 문자가 지수에도 있고 얘는 지금 문자가 밑에도 있어요 자 그런데 지수가 같다는 유형에서 밑에도 지금 문자가 들어가 있는 경우들이 있습니다 지수가 같은데 밑에도 문자가 들어가 있어요 우리가요 3번과 4번 유형은 이렇게 두 가지로 나누어 풀어야 되니까 그거를 조금 주의하라는 의미에서 제가 조금 엮어서 설명을 드렸습니다 자 요거를 좀 주의를 해 주셔야 돼요 키 빼먹기 쉬운 조건이 미치겠다는 조건 또는 빛이 1인 조건 이렇게 두 개를 빼먹기 쉬우니까꼭 신경 써서 우리가 문제를 풀어 주시면 될 것 같습니다

자 넘어가도록 하겠습니다 자 지수 방정식을 풀라고 했구요 1번 보면요 2의 x+3제곱이 64라고 적혀 있어요 우리가 64는 2의 6제곱으로 적을 수가 있죠 그러면 이렇게 밑을 통일을 시켰구요 이런 경우에 지수끼리 같으면 되죠 지수끼리만 문자를 식으로 써주면 됩니다 그러면 우리가 여기서 x 값이 뭐라고 나오는 거예요 3이라고 답이 나오는 겁니다 자 2번 보도록 할게요 자 9x+3x-2라고 적혀 있는데 요런 유형은 우리가 3의 x를 d라고 치환을 하는 겁니다 그랬을 때 9의 x 제곱은 3의 x 제곱의 제곱이기 때문에 t^2으로 표현을 할 수가 있어요 그래서 주어진 방정식이 d^2+ p - 2는 0으로 정리가 되고요 t-1에 t+2는 0으로 인수분해가 돼서 t의 값이 뭐 아니면 뭐예요 1 아니면 -2입니다 요게 지금 답이 나온게 아니고요 t가 3의 x니까 x 값을 구해줘야 돼요 그러면 3x가 1일 수도 있고 3x가 -2일 수도 있는데 자 아까 설명드렸던 내용이요 내용입니다 3의 x 제곱이 - 2라는 이거를 만족하는 x 값이 존재하나요 자 우리 3의 x는 지수함수에서 항상 x축 위에 있기 때문에 음수를 가질 수가 없어요 그래서 요거는 존재하지 않습니다 그래서 3의 x 제곱이 1을 만족하는 x값 뭐예요 0 요거 하나만 답인 거예요 자 넘어가도록 하겠습니다 지속 부등식과 지수 함수의 관계인데요 자 지수 부등식은 마찬가지로 지수의 미지수를 포함한 부등식입니다 지수의 문자가 들어가 있는 부등식을우리는 지수 부등식이라고 하고요 자 두 가지로 나누어서 풀어야 돼요 우리가 지수 부등식은 내가 전 단원인 최대 최소에서 배웠던 내용과 조금 유사한 내용인데 a가 1보다 큰 경우에는요 x값이 커지면 커질수록 그래프가 올라가면서 y값도 계속 커지기 때문에 x값이 크면 ax 원 제곱이 ax 두 제곱보다 작다 이런 관계랑 완전히 일치하구요 우리가 주어진 방정식을 정리하면 요런 식으로 될 거예요 이런 방정식으로 됐을 때 지수만 비교해서 x1이 x2보다 작다 이렇게 바꿔 주시는게 우리가 이제 지수 부등식의 두 된 풀이가 될 겁니다 자 두 번째 a가 0하고 1 사이에 있어요 그러면 뭐가 바뀐다고요 부등호 방향이 바뀌는 겁니다 왜 바뀌는 거죠 x값이 증가하면 증가할수록 Y 값이 감소하는 요런 그래프의 형태를 보여주기 때문에x 값이 크면 클수록 y 값이 작아지는 요런 부등호가 반대로 되는 결론이 나오는 거예요 자 이것만 주의해서 문제를 풀어 주시면 됩니다 a가 1보다 큰지 0하고 1 사이에 있는지 두 개만 구분 지어서 우리가 부동을 방향을 작성해 주면 돼요 자 지수부등식의 풀이로 한번 가보도록 할게요 밑을 갖게 할 수 있을 때라고 적혀 있고요 밑을 갖게 한 다음에 어떤 거를 확인하는 거예요 그 밑이 1보다 큰지 0하고 1 사이에 있는지 요거 두 개를 확인을 해보는 겁니다 자 밑이 1보다 큰 경우에는요 지수의 부등호 방향이 그대로 돼서 이렇게 afx랑 a의 GX 제곱을 비교했을 때 a의 GX 제곱이 더 컸으면요 위치를 보다 크다면 그대로 가는 거고요 같은 상황에서 만약에 밑이 0보다 크고 1보다 작아요 그러면 부등호 방향 바꾸고 밑을 없앤채로 이렇게 방정식을 풀어주시면 됩니다

자 2번 유형은ax 제곱의 꼬리 반복될 때라고 적혀 있는데요 마찬가지로 치환해서 우리는 t에 대한 부등식을 먼저 풀고요 그 다음에 우리가 여기도 주의해야 될 점이 뭐냐면 ax²이 만약에 0보다 큰 값만 나와야 되는데 음수가 나올 수가 있어요 예를 들어 부등식을 풀었는데 ax²이 -2보다 크다고 나왔어요 요거는 ax 제곱이라는 거는 어차피 항상 양수기 때문에 요거를 만족하는 x값은 모든 실수가 되는 겁니다 자 이렇게 음수에 관한 해가 나왔을 때 우리가 조금 주의를 해줘야 될 것 같아요 자 밑에도 미지수가 있을 때라고 적혀 있는데요 우리가 요거는 조금 헷갈리는 유형인데 우리가 밑에 미지수가 있으면 밑도 지금 1보다 큰지 0하고 1 사이에 있는지 요게 상당히 중요하기 때문에 이렇게 나누어서 풀어 줘야 됩니다 그리고 밑이 1인 경우도 따로 고려를 해줘야 돼요밑이 1이 아니라고 안 한 이상은 1인 경우도 우리가 항상 체크를 해 줘야 됩니다 케이스로 나누어 푼다는 거 기억하시면 될 것 같고요 우리가 지수 부등식 개념 예제 풀어보도록 할게요 자 지수 부등식을 풀라고 했는데요 1번을 보면 좌변은 em-x+1제곱이고 우변은 2의 5제곱입니다 그러면 지수가 지금 좌변에는 마이너스 x+1이고요 우변에는 5여서 걔네끼리만 비교를 할 거예요 어차피 밑이 통일되어 있으니까 밑이 동일하니까 얘네들의 크기만 비교해 주면 되는 겁니다 자 그때 주의해야 되는 건 뭐라고요 밑이 1을 넘는지 0하고 1 사이에 있는지 요거를 체크를 해줘야 돼요이라는 숫자는 1보다 크기 때문에 우리는 부동어 방향이 바뀌지 않고 요런 부등식을 풀어주면 되는 거예요 계산해주면 x는 -4 이상입니다 자 2번 보도록 할게요 지금 4x제곱 마이너스6 곱하기 2의 x +8이 0 이하라고 적혀 있고요 우리는 2의 x를 d라고 치환해서 문제를 풀어 줄 겁니다 그러면 4x²은 2의 x제곱에 제곱이고요 얘는 t^2으로 정리가 됩니다 그래서 대입을 해주면 b의 제곱 마이너스 6t +8이 0 이하에요 그러면 t에 관한 이차부등식이 됐죠 그럼 t에 관한 2차 부등식을 풀어보도록 할게요 d-2에 d-4로 인수분해 되고요 2 이상 4 이하입니다 그러면 t에다가 다시 2x²을 집어넣어요 우리는 x 값을 구해야 되니까요 x값의 범위를 구해야 되니까 자 그랬을 때 얘는 2의 1제곱이고요 4는 2의 2 제곱이죠 자 이렇게 쓰면 우리는 밑이 지금 표결되어 있으니까 지수끼리만 비교할 거예요 어떻게 비교한다고요1x2만 그런데 지금 밑이 2로 적혀 있으니까 미치니까 1을 넘었기 때문에 부등호 방향이 바뀌지 않아서 범위가 요거로 나오는 겁니다 그래서 얘가 우리가 원하는 x값의 범위를 구한 거예요

자 여기까지 해서요 우리가 지수 방정식과 부등식 푸는 방법을 배워 봤는데요 우리가 더 많은 유형들이 있으니까 꼭 복습을 하시고 많은 문제도 풀어보시기를 당부드립니다 자 오늘 강의는 여기까지구요 고생하셨습니다 감사합니다