[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 로그함수의 뜻과 성질

자 이번 시간에 학습할 내용은 로그 함수의 뜻과 성질이에요 올해가 로그 함수 그래프를 그리는 걸 좀 배울 거고요 그 로그 함수를 평행 이동하고 대칭 이동하는 것까지 배워보도록 하겠습니다 자 일단은요 우리가 로그 함수를 어떻게 얻어낼 거냐면 y는 ax 제곱이라는이 지수함수에서 로그 함수를 얻어낼 거예요 자 그래서 우리는 지수함수 y는 ax 제곱을 배운 적이 있는데이 함수의 정의역은 어디예요 정의역은 실수 전체입니다 x값의 아무 값이나 집어넣어도 상관이 없어요 치역은 어디예요 치역은 우리는 y가 양수인 값만 가질 수 있다고 배웠습니다 자 그러면 저는 공력도 지역과 같다고 할 거예요 공역을 양의 실수 전체라고 하겠습니다그러면 공력과 치역이 같아지죠 자 이때 우리는이 y는 ax²이라는이 지수 함수를 어떤 함수라고 말할 수 있는 거예요 바로 1대1 대응 함수라고 할 수가 있습니다 공력과 치역이 같고요 하나의 y 값이 하나의 x값이 대응되는 자 일대일 대응 함수고요 그러면 뭐가 존재해요 바로 역함수가 존재합니다 자 역함수가 존재하니까 역함수를 한번 구해 볼게요 역함수를 구하기 위해 x랑 y랑 자리를 바꾸고요 이때 지수에 들어간 y를 y는 꼴로 표현을 할 거예요 자 이때 쓰는게 뭐예요 지수에 있는 문자를 꺼내기 위해 우리는 로그를 써야죠 로그 a의 x입니다 자 그래서 우리가 여기서 어떤 걸 알 수 있어요 y는 ax 제곱의 역함수가 역함수가 바로 y는 로그ax에 그래프인 겁니다 자 그러면 이때 정의역은 이제 뭐가 돼요 정의역은 바로 x가 양수인 범위가 정의역이 되는 거고요 치역은 이제 실수 전체가 된 겁니다 실수 전체 자 그럼 우리가 여기서 하나 더 알 수 있는 포인트가 있는데 우리가 로그를 쓸 때 로그의 정의 조건이 있어요 밑이 양수여야 되고 밑이면 안 되고 진수는 양수여야 되고 그러면 여기서 우리는 x가 양수일 때만 x가 양수일 때만 로그가 정이 되는데 그래서 바로 정의역이 x가 양수인 범위인 겁니다 자 그러면 우리가 이제 로그 ax 그래프도 쉽게 그릴 수 있어요 우리 역함수라는 거는 y는 x라는 직선의 대칭이죠 그래서 우리는이 그래프 그리는 방법을 알고 있기 때문에 y는 로그 ax의 그래프도 y는 x 대칭을 통해서 그래프를 그릴 수가 있습니다

자 한번 직접 그려 보도록 할게요자 원래 지수 함수가 어떻게 생겼어요 지수함수 a가 1보다 크다면 ax²은 이렇게 생겼습니다 이렇게 생겼는데 y는 x라는 직선 y는 x라는 직선의 대칭을 시키면 로그 ax는 이렇게 생겼죠 자 마찬가지로이 로그 a의 x 그래프도 a가 1보다 클 때 그래프가 이렇게 생긴 거예요 반면 a가 0보다 크고 1보다 작으면요 지수함수가 이렇게 x값이 증가할 때 y 값이 감소하는 이런 형태로 그래프가 그려지는데 y는 x에 대해 대칭을 시키면요 그래프가 이렇게 생겼습니다 이렇게 이렇게 생기고 얘는 0보다 크고 1보다 작은 로그 ax y는 로그 ax에 그래프를 그린 겁니다 자 그러면 이때 성질을 좀 몇 개 볼 건데요 첫 번째 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고지역은 실수 전체의 집합이다라고 적혀있어요 우리가 앞에서 설명드린 내용이죠 자 그래프는 1 0을 지나고 1 0을 지나고 a를 지난다고 했네요 우리가 a값을 상관없이 x에다가 1을 대입하면 로그의 진수가 1이면 항상 값이 0이라서 1 0을 지나는 거구요 만약에 x에다가 a를 집어넣으면 밑과 진수가 같으니까 얘는 항상 1입니다 그래서 1 0하고 a를 항상 지나요 그리고 원래 점근선이 어디였어요 원래 x축이 점근선이었어요 근데 우리가 이거를 y=x 축에 y = x라는 직선의 y = x라는 직선의 대칭을 시켜서 y축이 이제 점근선이 된 거예요 여기도 마찬가지죠 x축이 점근선이었는데 y는 x라는 직선의 대칭을 시켜서 y축에 점근선이 생긴 겁니다 자 요게 이제 점근선이에요 우리가 요거를식으로 표현하면 x가 0이라는 것도 알고 있죠 자 3번 보면요 a가 1보다 클 때는요 x값이 증가하면 Y 값도 증가한다 그랬어요

자 그래프를 한번 봅시다 그래프를 한번 보면 x값이 커질 때 y 값도 계속 커지고 있어요 x값이 증가함에 따라 y 값이 커지고 계속 커지고 있죠 반면에 a가 0하고 1 사이에 있으면요 x값이 증가할 때 y 값은 감소예요 자 그래프를 봅시다 x값이 증가할 때 y 값은 x 값이 거실 때 y 값이 떨어지고 x값이만큼 커져도 y 값은 계속 작아지기만 하죠 그래서 a가 1보다 큰 경우에는 증가하고요 a가 0하고 1 사이에 있을 땐 감소합니다 자 여기 양의 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로 일대일 대응이라고도 적혀 있고요 y=a의 x 그래프와 y는 로그 a분의 1 x의 그래프는 x축에 대하여 대칭이라고 적혀있네요 자우리는 요거 로그로 계산을 할 수가 있어요 y는 로그 a분의 1의 x는요 로그 am-1 제곱의 x고요 a의 - 1 제곱이니까 -를 밖으로 빼서 - 로그 a의 x라고 할 수가 있죠 그러면 -를 양변에 곱해주면 -y는 로그 a의 x가 됐습니다 즉 원래 y는 로그 a의 x라는 그래프에서 여기 y자리에 마이너스 y를 집어넣으면 요게 되는 거고요 이거를 정리하면 요게 나오는 거예요 자 그러면 y자리의 마이너스 y를 넣은 건 무슨 관계예요 x축에 대하여 대칭인 거죠 우리가 뒤에서 대칭 이동에 관해서 다시 한번 할테니까 일단은 a가 a분의 1이 되면 x축 대칭이구나이 정도만 봐주시면 될 것 같아요 자 앞에서 우리가 역함수를유도했듯이 로그 ax와 y는 ax는 각각 서로의 역함수입니다 자 넘어가세요 우리가 로그 함수의 평행 이동을 보도록 하겠습니다 우리가 x축으로 n만큼 평행 이동을 하면요 x 다리에 어떻게요 x 자리에 x-m을 집어넣어요 y 축의 방향으로 n만큼 평행 이동시키면 y자리에 y-n을 집어넣습니다 그래서 원래 와인을 로그 a의 x 그래프였다면 y-n은 로그 a의 x-m이 되고요요 -n을 오른쪽으로 이항하면 이렇게 요런 평행 이동된 로그 함수 그래프의 식을 얻어낼 수가 있습니다 자 그러면 원래 원래 와인을 로그 ax 그래프에 정의역은 양수인 범위에서만 정의가 됐어요 지역은 실수 전체였죠 그러면평행 이동을 하면요 평행 이동을 하면 x축으로 n만큼 가면 y는 로그 a의 x-m이고 y축으로 평행 이동을 n만큼 하면 플러스 n이죠 여기 생기는 거예요 지역은 그대로 실수 전체입니다 우리가 이거를 정의역을 로그에 정의 조건에서도 얻을 수가 있는 거예요 x-m이 진수고 그게 항상 양수여야 되니까 거기서 x가 n보다 크다는 요런 정의역을 얻어낼 수도 있습니다 자 그래프 점근선도 마찬가지로 원래 어디였어요 원래 점근선은 y축 즉 x는 0이라는 직선이었어요 근데 이거를 x축으로 n만큼 평행 이동을 시키면서 점근선이 뭐가 된 거예요 x는 m이 된 겁니다 자 그래프를 한번 보여 드릴게요 만약에 로그 2x라는 그래프가 있었어요 y는 로그 2의 x라는 그래프가 있었는데 x축으로 1만큼 평행 이동시키겠습니다그러면 y는 로그 2의 x-1이죠 이렇게 괄호를 쳐서 표현을 해 줘야 됩니다 그러면 그래프의 그림상으로는 그래프가 이런 식으로 그려지고요 우리가 점의역은 여기에 있는 로그 정의 조건에 의해서 x-1이 양수여야 되고 x가 1보다 크다가 바로 정의역이구요 점근선은 원래 어디였어요 바로 y축 y축이 점근선이었는데 걔가이트 축으로 1만큼 옮기면서 요게 점근선이 된 겁니다 즉 x는 1이 점근선이죠

자 그러면 개념 예제 보도록 할게요 y는 로그 2의 x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 y축의 방향으로 3만큼 평행 이동한 그래프를 그리고 그래프를 그리고 식과 정의역과 지역과 점근선까지 구하라고 했습니다 그럼 일단 저는 식을 먼저 구해 보도록 할게요 y는 로그 2의 x의 그래프고요x축으로 -1만큼 평행 이동을 시켰으니까 x자리에 X + 1을 집어넣고요 y축으로 산만큼 평행 이동을 시켰으니까 뒤에다가 플러스 3을 달아 줄 거예요 그러면 원래 그래프를 먼저 그릴게요 y는 로그 2의 x 그래프는 요렇게 생긴 그래프예요 요렇게 그래서 항상 1 0을 지나는 그래프였습니다 근데 우리가 이거를 x축의 방향으로 -1만큼 y축의 방향으로 3만큼 평행 이동을 시키면요 그래프가 이렇게 왼쪽으로 와이바 y는 실수 자 점근선은 뭐예요 자 점근선은 원래 y축이었는데 점근선은 원래 y축이었는데 x축으로 -1만큼 옮기면서 요렇게 된게 바로 점근선입니다 x는 -1이 점근선이에요 자 이렇게 해서 우리가 그래프를그려도 봤구요 정의역 치역 점근선까지 모두 구해봤습니다 자 넘어가서요 자 로그 함수의 대칭 이동 한번 해보도록 할게요 자 로그 함수 y는 로그 a의 x라는 그래프를 x축에 대하여 대체 이동시키고 y축에 대하여 대책 이동시키고 원점에 대하여 대칭 이동시키고 직선 y는 x에 대해 대칭 이동시켜보도록 하겠습니다 자 x축 대칭 이동시키는 건 우리가 어떻게 이동을 시킬 수 있어요 y자리에다가 -y를 넣어서 우리는 x축 대칭 이동시킬 수가 있습니다 그래서 y 대신에 - y를 런식이 오고요 요거를 한번 조금 정리를 해 보도록 할게요 -y는 로그 a의 x고 -를 넘겨서 y = - log a의 x입니다 앞에 있는 -를이 x의 지수로 보내주면요 xm-1²이고 우리가 로그 a의 x분의 1이라는 것을 우리가 확인을할 수가 있습니다

자 두 번째 y축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프는요 자 y축 대칭 이동은 x 자리에 -x를 집어넣는 거예요 그러면식이 이렇게 되죠 자 그러면 우리가 요거는이 자체로 활용을 하시면 됩니다 자 이번에 원점에 대하여 대책이동시킬 건데요 원점에 대하여 대칭 이동시키는 건 x 다리의 마이너스 x를 넣고 y자리에 - y를 넣어서 우리는 그래프를 얻어낼 수가 있습니다 그래서 y자리의 마이너스 y를 넣었고요 x 자리에 마이너스 x를 넣었습니다 요식도 한번 정리하는 과정을 보여드리도록 할게요 - y는 로그 a의 -x고 y는 마이너스 로그 a의 -x입니다 그러면 log a의 -x-1²이고 -x의 역수를 취해주면 -x 이렇게 들어가게 되네요 그래서우리가 그래프식을 이렇게 얻어낼 수가 있습니다 자 직선 y는 x에 대하여 대칭 이동시키는 건요 x 다리에 x 다리에 y를 집어넣고 y 자리에 x를 집어넣어서 x랑 y의 자리를 바꿔주게 되죠 그러면 x는 로그 a의 y고요 요거를 y에 관해서 표현을 해주면 로그의 정의를 써서 y = a의 x제곱이라고 그래프식을 얻을 수가 있습니다 우리가 이렇게 x축 y축 원점 직선 y = x까지 대칭 이동을 시킬 수가 있어요 자 개념 예제 보도록 할게요 로그아웃 y는 로그 3의 x의 그래프를 y축에 대하여 대칭 이동을 한 그래프를 그리고 그래프의 식 정의역 지역 전문선의 방정식을 구하라고 했습니다 자 그러면 y축 대칭 이동은요 x 자리에 -x를 집어넣는 거고요 그러면 우리가 y는 로그 3의 -x라는 그래프 식을 얻을 수가있어요 자 그래프를 먼저 그리기 전에 우리가 정의역을 한번 보도록 할게요 정의역은 어디에요 정의역은 여기 있는 -x 로그 안에 들어가 있는 마이너스 x가 양수여야 되니까 이렇게 쓸 수 있겠네요 x바 x는 0보다 작다 x가 0보다 작아요 -x가 양수가 되죠 자 지역은요 지역은 어디죠 실수 전체입니다 실수 전체 자 점근선을 한번 찾기 위해 우리 그래프를 그려 볼게요 지금 원래 와인을 로그 3의 x 그래프는 이렇게 그려져요 근데 얘를 지금 y축에 대하여 대칭 이동을 시켰기 때문에 그래프가 이렇게 그려집니다 그러면 점근선은 어디예요 그대로 여기에 있는이 y축이 점근선이 됩니다 점근선 y축 자 우리 y축은요식을 뭐라고 쓸 수 있어요 x는 0이라고 쓸 수가 있죠 그래서 x는 0이라고 쓰면 점근선의 방정식까지 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 지수함수에이어서 로그 함수에 관해서도 좀 학습을 하였습니다 우리가 로그아웃 그래프 당연히 그릴 줄 알아야 되고요 평행 이동하고 대칭 이동시켜 가면서 다양한 그래프를 그릴 수 있도록 연습하시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다