[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 로그함수의 최대·최소

자 이번 시간에 배울 내용은요 로그 함수의 최대와 최소입니다 우리가 로그 함수가 언제 큰지 언제 작은지 그 x값에 따라서 로그 값이 언제 커지고 언제 작아지는지 이거를 좀 배워 볼 거예요

자 일단은요 로그 함수를 이용한 수의 대소관계인데 우리가 y=a의 x라는 로그 함수를 봤을 때이 그래프가 두 가지로 나뉘어요 a가 1보다 클 때랑 a가 0보다 크고 1보다 작을 때이 두 범위에서 그래프가 각각 다르게 그려집니다 그래서 두 개를 따로 생각을 해줘야 되는데 일단은 a가 1보다 큰 경우 그래프가 어떻게 그려져요 그래프가 이런 식으로 그려집니다 자 그랬을 때이 그래프는 x값이 증가하면 Y 값도 증가하는 이런 함수라 그랬어요 x값이 증가하면서y 값도 증가하는 자 그럼 x1과 x2를 비교를 할 건데 x1이 여기 있고 x2가 여기 있다고 하겠습니다 자 x1보다 x2가 더 큰 거예요 자 그때의 y 값을 구해주면 x1을 대입했을 때 y값 블로그 a의 X1 x2를 대입했을 때 y 값 로그 a의 x2입니다 그러면 누가 커요 로그 a의 x2가 더 크죠 큰 x 값을 집어넣을수록 큰 y 값을 갖는 겁니다 그래서 x값을 비교했을 때 x2가 더 컸다 그러면 로그 안에 있어도 로그 값이 더 큰 겁니다 자 반대로 a가 0하고 1 사이에 있을 때는요 우리가 그래프가 이렇게 그려져요 아까와는 다르게 위에서 아래로 내려오는 이런 그래프를 우리가 그릴 수 있습니다 그러면 얘는 x값이 증가하면 Y 값이 감소하는 애예요 오히려 그렇기 때문에x값이 증가하면 Y 값은 감소하기 때문에 x1과 x2를 비교했을 때 만약에 x1이 여기 있고 x2가 여기 있어요 x2가 더 큰 거죠 그때 각각 y 값을 구해주면 로그 a의 x1과 로그 a의 x2인데 자 그러면 누가 더 커요 이럴 땐 로그 a의 x1이 더 큽니다 거꾸로 됐죠 아까는 x2가 크면 로그 ax2가 마찬가지로 컸는데 이번에는 x2가 크면 거꾸로 로그 a x1이 더 큰 겁니다 얘가 더 큰 거예요 부동은 방향이 지금 바뀌었죠 구동은 방향이 바뀌었습니다 자 그래서 우리는 로그 함수를 이용한 대소관계를 파악할 때 로그 안의 값들을 비교를 먼저 해요 그 다음에 로그가 취해져 있으면 뭐를 확인하면 뭐를 확인하면 돼요 바로 a 값이 1보다 큰지 a 값이 0과 1 사이에 있는지이 두 개를 체크해주면 됩니다

자 그러면 이거를 좀 활용해서 우리가 개념 예제를 풀어볼 건데 자 1번 세 수의 크기를 비교하라 그랬어요 그럼 저는 일단은 2랑 3분의 7이랑 루트 11을 먼저 좀 비교를 할게요 자 3분의 7은요 10일은 루트 11은 3점 몇이에요 그러면 크기 순으로 나열했을 때 2가 제일 작고요 그다음 3분의 7이 크고 그다음 루트 11이 큽니다 자 여기다가 우리는 뭐를 할 거냐면 다 로그를 취할 거예요 밑이 5인 로그를 취하겠습니다 그러면 로그 5의 2구요 로그 5의 3분의 7이고 로그 외에 루트 11이에요 자 그러면 부등호 방향이 어떻게 돼요 그대로 유지됩니다 밑이 5인 로그를 취했기 때문에 얘는 x 값이 증가하면서 y 값도 증가하는그런 관계를 보여줘서 우리는 부등호방향을 바꾸지 않고 이렇게 크기를 확정 지을 수 있습니다 자 두 번째는요 3하고 루트 7하고 3.2인데요 자 루트 7은 몇 점 몇이에요 루트 7은 2점 몇이죠 그럼 얘를 크기 순으로 나열하면 루트 7이 제일 작고요 그다음 3 그다음 3.2입니다 자 여기다가도 로그를 취할 건데 이번엔 로그 1/2을 달아주겠습니다 그러면 로그 1/2 루트 7 로그 2분의 1의 3 로그 1/2의 3.2 자 그러면 1억대는 우리가 지금 밑이 2분의 1의 로그를 취했기 때문에 밑이 2분의 1 로그를 취했기 때문에 부동어 방향이 어떻게 돼요 바뀌는 겁니다 이렇게 바뀌어요 거꾸로 그래서 크기를 이렇게 나열해 주시면됩니다

자 넘어가서요 우리가 로그 함수의 최대 최소를 보도록 할 건데 정의역이 어떤 범위가 있어요 m부터 n이면 우리가이 m부터 n이라는 x값에서 언제 최대고 언제 최소인지가 궁금한 거예요 그래서 로그 함수 fx는 로그 ax에서 우리가 그래프가 두 개로 나뉜다 그랬어요 두 개론 나뉘는데 자 요거는 언제예요 이런 그래프는 a가 1보다 클 때예요 a가 1보다 클 때 자 일단 a가 1보다 클 때만 좀 생각을 해 볼게요 x가 m 이상 n이 하니까 m 이상 m 이하니까 그래프가 여기서부터 여기까지만 그려지는 거예요 자 그러면 로그 ax에서 a가 1보다 크면 x값이 커지면 y 값도 커져요 그러면 m 이상 m 이하에서 계속 함수가 커질 거예요 계속 함수가 커지면 최소값은 어디서 가져요 x값이 가장작을 때 최소값을 갖는 겁니다 반대로 x값이 가장 클 때 최대값을 갖는 거예요 반대로 a가 0하고 1 사이에 있으면요 그래프가 여기서부터 여기까지만 그려지게 되는데 x 값이 가장 작은 m 값을 가지면 가장 작은 n값을 가지면 y 값은 오히려 최대를 갖는 거예요 얘는 x값이 커지면 y 값이 감소하니까 가장 작은 x 값을 가질 때 가장 큰 y 값을 갖는 거죠 자 x 값이 n 즉 가장 큰 값을 가질 때는요 y 값이 가장 작은 최소값을 가지게 됩니다 자 그래서 이거를 바탕으로 우리가 개념유대를 보도록 할 건데요 정의역이 1부터 81이에요 1부터 81인데 로그 3의 x의y = 로그 3의 x의 최댓값과 최소값을 구하라고 했습니다 그러면 얘는 a가 1보다 큰 로그 함수이기 때문에 그래프가 이렇게 증가하는 함수일 거예요

자 그러면 이렇게 그래프를 그릴 수가 있고요 x값 1부터 81이니까 1부터 81입니다 그럼 그래프가 이렇게 요만큼이고요 최대값은 어디에요 x 값이 81일 때 여기가 최대 0하고 1 사이에 있죠 그럼 그래프가x값이 증가하면서 y 값이 감소하는 함수라는 거를 우리가 알고 있어요 그러면 가장 작은 x값 4분의 1을 대입하면요 y가 로그 1/2의 4분의 1이고 얘는 로그 2분의 1의 2분의 1의 제곱이어서 2로 계산됩니다 자 우리는 지금 가장 작은 x 값을 넣었어요 그러면 그때이 y 값은 뭐예요 최댓값이죠 가장 큰 y 값을 갖는 겁니다 자 이번엔 x에다가 8을 집어넣으면요 y는 로그 1/2의 8이고 로그 1/2의 얘는 1/2의 마이너스 3 제곱이기 때문에 -3이라고 계산할 수 있습니다 이때 -3은 뭐인 거예요 가장 큰 x값을 넣었으니까 가장 작은 y 값이 나오는 겁니다 즉 최솟값이에요 그래서 최대값은 2고 최솟값은 -3이라고 우리가 계산을 할 수가 있습니다

여기까지 해서요 우리가로그 함수에 최대 최소 구하는 단원 모두 마쳤고요 오늘 강의는 여기까지입니다 고생하셨습니다 감사합니다