[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 지수함수와 로그함수 - 로그방정식과 로그부등식

자 오늘 내용은요 로그 방정식과 로그 부등식입니다 우리가 로그 방정식과 로그 부등식 푸는 방법을 배워볼 거구요 가장 먼저 로그 방정식 푸는 방법부터 배워보도록 할게요 로그방정식이 뭐냐면 로그의 진수 또는 밑에 미지수를 포함한 방정식을 로그방정식이라고 합니다 쉽게 말해서 로그를 포함한 방정식을 로그 방정식이라고 할 거예요

자 로그 방정식과 로그 함수의 관계인데 우리가 y는 로그 a의 x라는 함수를 적으면 x가 양의 실수고 즉 정의역이 양의 실수고 치역이 실수 전체면 우리는이 함수를 무슨 함수라 그래요 일대일 대응 함수라 그럽니다 일대일 대응암수기 때문에 x값이 정해지면 y 값이 하나로정해지고요 일대일 대응이라 y 값이 하나로 정해지면 x값도 하나로 정해져요 그래서 로그 a의 x라는이 로그가 b라는 값을 가지면 이거를 만족하는 x값은 딱 하나 존재하는 겁니다 x는 a의 b 제곱이라고요 자 마찬가지로 로그 a의 x1과 로그 a의 x2 값이 같아요 즉 로그 값이 같은 거죠 로그 값이 같으면 x값이 같아서 x1과 x2의 값이 같아지는 겁니다 우리는 이런 사실들을 가지고 로그 방정식을 풀어 줄 거고요 여기 있는 a가 양 쓰고 a가 1이 아니라는 조건은 로그가 성립하기 위한 밑의 조건이죠 자 x가 양수고 x1이 양수고 x2가 양수인 건 로그가 정의되기 위한 진수 조건들입니다 우리가 요것도 한번씩 확인을 해줘야 돼요 자 로그 방정식의 풀이인데요 우리가 로그 방정식을 푸는 방법을 다섯 개 정도로 정리해서 배워 볼 거예요 자 첫 번째로로그 a의 fx가 b면요 우리가 로그의 정의를 써서 fx를 a는 B 제곱이라고 할 수가 있습니다 자 여기에 있는 건 우리 로그에 정의 조건이고요 우리는요 관계를 통해서 요거를 요렇게 로그 정의를 써서 fx에 관한 식을 가지고 x 값을 찾아줄 수 있습니다 자 두 번째는요 밑을 갖게 할 수 있으면 양변의 로그가 있고요 밑을 갖게 할 수 있으면 이렇게 바꿔서 로그 afx는 로그 a의 gx면 fx와 gx가 같은 거죠 요렇게도 로그 방정식을 풀어 줄 거예요 자 여기도 마찬가지로 요거는 로그가 정이 되기 위한 밑에 조건이고 요거는 진수 조건입니다 자 세 번째 로그 a의 x꼴이 반복될 때라고 적혀 있어요 얘가 여러 개 들어있는 겁니다 그러면 우리는 얘를 d로 치환해서 x 값을 먼저 구하는게 아니라 t값을 먼저 구하고요 d값을 가지고x값을 구할 거예요 자 4번은요 진수가 같을 때 위치 같거나 진수가 1이다라고 적혀 있는데 만약에 이런 방정식이 주어졌어요 그러면 우리가 요거는 조금 헷갈릴 수 있는데 일단은 밑이 같으면 좌변과 우변이 완전히 같아지니까 우리가이 로그 방정식의 해라고 할 수 있겠죠 그래서 a는 b일 수도 있고요 밑에 상관없이 로그에서 진수가 1이면 그 값은 항상 0이기 때문에 fx가 1인 경우도이 방정식의 배가 될 수 있습니다 자 마찬가지로 여기도 로그에 정의 조건들 쭉 나와 있고요 마지막으로 지수의 로그가 있는 경우인데요 지수의 로그가 있으면 우리는 좌변과 우변을 통째로 로그에 집어넣어서 우리는 로그 방정식을 풀 거예요

자 그래서 개념 예제에서 좀 하나씩 보도록 할게요 자 1번 먼저 풀 건데요 로그 3의x+2의 값이 2라고 적혀 있어요 그럼 얘는 우리가 쉽게 로그의 정의를 써서요 x+2가 뭐랑 같은 거예요 X + 2가 바로 3의 제곱과 같습니다 그래서 x+2는 9구역 x값이 7이라고 우리가 구할 수 있겠네요 자 2번은요 로그 2의 x의 제곱 마이너스 로그 2의 x -2는 0이고요 요거는 지금 로그 2x가 계속 반복되고 있죠 이렇게 반복되고 있는 경우 우리는 로그 2의 x를 t라고 치환을 해서 풀어 줄 거예요 치환을 해주면 t^2 -t-2는 0이고요 인수분해해서이 t에 관한 2차방정식의 해를 구해주면요 t값은 2안이면-1입니다 그럼 여기서 끝난게 아니고요 우리는 x 값을 찾는 거기 때문에 로그 2의 x가 2이거나 로그 2의 x가 -1인 걸 우리가 구한 겁니다 그래서 최종적으로 우리가 x 값을 구하기 위해서 다시 한번 로그의 정의를 써주면 x는 2의 제곱 또는 x는 2n - 1 제곱 이렇게 구할 수 있고요 x는 4와 2분의 1을 우리가 해로 구할 수 있습니다 자 마지막 3번은요 x의 로그 x 제곱이 그러면 얘는 지금 지수에 지수에 뭐가 있어요 로그가 있어요 그러면 우리는 이런 경우에 양변에 로그를 취해주는데 자 로그를 취할 때 지금 로그 안에 x의 로그 x를 집어넣고요 우변도 마찬가지로 로그 안에100x를 집어넣는 거예요 그런데 밑이 워인 로그를 취하냐 그거는 우리가 지수에 있는 로그와 밑이 같은 로그를 취하는 경우가 많습니다 그래서 밑이 시빌로그를 취할 거고요 우리가 밑이 시빌로그는 상용로그이기 때문에 생략해도 되는 점 우리가 지난번에 학습을 했습니다 그래서 요거를 풀어줄 거고 여기서 지금 로그 x가 지수에 들어 있기 때문에 얘를 요렇게 밖으로 빼 줄 거예요 그러면 로그 x * 로그 x죠 우변은 로그에 100 + 로그의 x로 계산할 수 있고요 로그의 백은 2 그리고 로그의 x입니다 자 좌변은 로그 x의 제곱이라고 작성할 수 있겠네요 여기서 로그 x가 지금 반복되고 있으니까 여기서도 로그 x를 t라고 치환해서 우리는 문제를 풀 거예요 그래서 d^2은 2+ t구요b^2 - t -2는 0이어서 2차방정식 풀어주면 t는 2안이면 -1이라고 구할 수 있고요 우리가 t는 로그 x니까 로그 x가 2 그리고 -1인 x값을 각각 구해주면 지배제곱하고 10의 1제곱입니다 최종적으로 답은 100과 1/10이라고 계산해 주면 됩니다

자 이번엔 로그 부등식과 로그 함수의 관계인데요 우리가 로그 부등식도 로그 방정식과 마찬가지로 로그의 진수 또는 밑에 이번엔 미지수를 포함한 부등식입니다 부등식이고요 우리가 로그 함수가 그래프를 그리면 두 가지로 나뉘죠 a가 1보다 클 때는 이렇게 증가만 하고요 a가 0하고 1 사이에 있을 때 이렇게 감소만 합니다 그래서 우리가 지난 시간에 로그 함수의 최대 최소 단원에서 x값이 커지면 커질수록 로그 값도 커진다 그래서 부등호 방향그대로 되는 a가 1인 경우 a가 1인 경우 이렇게 부등호 방에 그대로 되는 경우가 있고 a가 0하고 1 사이에 있을 때는 x값이 커질 때 y 값이 감소하기 때문에 부등호 방향이 반대로 된다 그랬어요 우리가 오늘 누구 로그 부등식을 풀 때도이 사실을 가지고 부등식을 풀어 줄 겁니다 자 로그 부등식의 풀이 방법도 여러 개가 있는데요 우리는 요거는 3가지 정도로 정리해서 풀어보도록 할 거예요 일단은 밑을 갖게 할 수 있으면요 좌변 우변에 밑을 갖게 한 후에이 밑에 값에 따라서 만약에 밑이 1보다 크면요 로그 함수가 증가하는 함수이기 때문에 x 값이 증가하면서 y 값이 증가하기 때문에 요렇게 돼 로그 a의 fx가 로그 a의 gx보다 작다는이 부등식을 어떻게 바꿔서 풀어요 fx랑 gx만 바꿔요 이렇게 fx가 gx보다 작다고요 근데 우리가로그 부등식에서 빠트리기 쉬운게 로그에 정의 조건을 빠뜨리기가 정말 쉽습니다 로그 정의 조건 뭐 있어요 우리가 로그정의 조건이라 그러면 로그 a의 x에서 a가 양수고 a가 1일이랑 같으면 안 되고 x가 양수인 이런 조건들이 있는데이 조건들이 모두 성립을 해줘야 되죠 부등식은 이거까지 항상 확인을 해 줘야 돼요 그래서 여기에도 fx가 0보다 크다는 조건이 같이 붙어 있는 겁니다 자 밑이 0하고 1 사이에 있을 때는요 진수의 부등호 방향이 반대로 되니까 즉 a가 0하고 1 사이에 있으면 로그 함수가 x값이 증가하면서 감소하는 함수이기 때문에 로그 a의 fx가 로그에이 fx가 로그 a의 gx보다 작으면요 얘는 부도 방향이 반대로 돼서 fx가 gx보다 크다고 요렇게 바꿔서계산해 주시면 됩니다 마찬가지로 로그의 정의 조건에 의해서 0보다 크다는 조건 곧 빠뜨리면 안 됩니다 요거를 정말 빠뜨리기 쉬우니까 신경 써서 우리 다음 넘어가서 개념 예제 풀어볼 때 한번 신경 써서 풀어 볼게요 자 일단 2번하고 3번 유형 먼저 보도록 할게요 자 로그 ax 고리 반복되면요 마찬가지로 t로 치환해서 뒤로 치환해서 우리는 x값의 범위를 먼저 구하는게 아니라 t에 대한 부등식을 풀어서 t값의 범위를 먼저 구합니다 구한 다음에 x값의 범위를 구해 줄 거예요

자 마지막으로 지수의 로그가 있는 경우는요 양변에 로그를 취하여 푸는 거 우리 방정식에서도 한번 해봤죠 부등식에서도 똑같이 할 겁니다 자 넘어가서요 우리가 개념 예제의 풀어볼 건데요 1번 먼저 보도록 하겠습니다 자 1번 로그 1/2의 x-2가 2보다 크다 그랬어요 그러면 우리가 요거를 밑을 똑같이 만들어 줄 거예요밑에 로그 1/2 2분의 1의 제곱으로 바꿀 수 있죠 그러면 우리가 x-2와 2분의 1의 제곱만 가지고 부등식을 쓸 수가 있고요 현재 위치 2분의 1로 0과 1 사이에 있기 때문에 부등호 방향이 바뀌어서 이렇게 됩니다 그래서 x값의 범위가 x-2는 4분의 1보다 작다고요 x는 4분의 9보다 작다라는 결론을 얻어낼 수 있습니다 여기서 답을 내면 안 돼요 여기서 끝난게 아니고요 우리는이 로그 1/2의 x-2가 정의되기 위해서 진숙 x-2가 어떻게 돼야 돼요 양수에 대해서 x가 2보다 크다는 요런 식까지 같이 구해줘야 됩니다 그래서 4분의 9보다 작고 2보다 크다는 두 부등식의 공통 범위를 찾아주면2보다는 크고 4분의 9보다는 작다 여기까지 구해줘야 우리가 올바르게 해를 구한 겁니다 자 뭐를 빠뜨리기 쉽다고요 로그의 정의 조건 x-2가 0보다 크다는이 조건을 빠뜨리기가 너무 쉬워요 요거를 꼭 항상 신경 쓰면서 우린 부등식을 풀어 줘야 돼요

자 2번 보도록 할게요 이번엔 로그 3의 x의 제곱 마이너스 2 로그 3의 x가 0보다 작거나 같다고 했고요 로그 3의 x를 치환을 해서 우리는 t 값의 범위를 먼저 구해줄 겁니다 d^2 -2t는 0 2하고 t로 묶었을 때 t-2가 0 이하니까 0 이상 p 이하로 우리가 정리를 할 수 있어요 그러면 이때 0 이상 로그 3의 x 그리고이 이하 이렇게 쓰면 되고요 0은로그 3의 1이죠 로그 3x2는 로그 3의 9입니다 그래서 지금 밑이 1이에요 1보다 커요 이제 밑이 1보다 크기 때문에 우리는 부등호 방향을 유지하고 안에 있는 1과 x와 9만 가지고 진수들을 가지고 부등식을 다시 써주면이 리사 x 92야 이렇게 써주면 됩니다 그래도 우리가 로그 정의 조건은 한번 확인을 해줘야 되고요 로그 3의 x가 성립하기 위한 조건 진수 x가 0보다 크다 그런데 0보다 크다랑 123 9 이하의 공통범위를 찾아주면 어차피 요거랑 같습니다 그래서 답은 이렇게 써주면 돼요 어차피 같다고 항상 체크를 안 하는게 아니라요 체크를 항상 해 주셔야 됩니다 자 마지막으로 3번 풀어볼 거고요 x의 로그 2의 x가 16 이상이라고 되어 있어요 그러면 지금지수의 로그 2x가 들어 있어서 양변에 로그를 취할 거고요 밑이기 때문에 밑이 2인 로그를 취하겠습니다 그러면 로그 2에 안에 x의 로그 2의 x고요 얘가 로그 2에 16보다 크거나 같아요 그러면 지수에 있는 로그 2x가 앞으로 곱해지구요 로그 2의 X 자 우변은 뭐예요 로그 2의 16이니까 4입니다 그래서 로그 2의 x를 잠깐 t라고 치환을 하면요 p의 제곱은 4 이상이고 우리는 p가 2 이상인 거랑 t가 -2 이하인거 이렇게 구할 수 있어요 집값을 대입해서 우리는 x값의 범위를 찾아 줄 거고요 로그 2x - 2야 여기서 2는 블로그 2의 4구요 마이너스 2는 로그 2의4분의 1이기 때문에 우리가 여기서 x값의 범위는 어떻게 나오는 거예요 진수가 지금 비교를 할 건데 진수끼리만 비교를 할 건데 밑이 2로 1보다 크기 때문에 진수 x는 4보다 크거나 같다 그리고 진수 x는 4분의 1보다 작거나 같다라고 해주시면 됩니다 자 여기서도 마찬가지로 해를 여기서 끝내면 안 돼요 뭘 따져 줘야 된다구요 우리가 지금 로그 2의 x 요게 성립하기 위한 진수 x가 양수인 조건까지 고려해 줘야 돼요 그래서 두 개의 공통 범위를 찾아주면 해는 0초과 4분의 1이야 그리고 4 이상 이렇게 써 주시면 됩니다

자 여기까지 해서요 로그 방정식과 로그 부등식 푸는 방법 모두 배워봤습니다 우리가 유형들이 좀 많고요 문제들을 많이 풀면서 다양한 문제들을 한번 풀어 보시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생하셨습니다감사합니다