[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 삼각함수 - 일반각과 호도법

자 오늘 아스팔 내용은요 일반각과 호도법입니다 우리가 이제 삼각 함수 단원을 배우게 되는데 삼각함수를 본격적으로 배우기에 앞서서 각도에 관해서 좀 새로 정의를 하고요 새로운 각도에 단위도 배울 겁니다

자 일단은 우리가 좀 각도를 좀 새로 정의를 해볼게요 우리가 각도를 정의할 때요 일단 기준이 되는 선을 하나 그립니다 요거는 5에서 x로 가는 반직선이고요 이렇게 기준이 되는 반직선의 이름을 뭐라 하냐면 시초선이라 그래요 시초선 그리고이 시초선을 회전을 시킵니다 자 한 요정도 회전을 시켰다고 해볼게요이 정도 회전을 시키면 반직선이 이렇게 세로 그릴 수 있겠죠 새로운 점이 됐으니까 제가이 점을 b라고 하겠습니다 10초 선을 회전시켜서새로 그어진이 반직선의 이름을 우리는 동경이라 그래요 동경이라고 하고요 회전한 양이 초선을 회전시켜 동경을 만든이 회전한 양을 우리는 각이라고 해요 자 그랬을 때 우리는 시계바늘이 도는 방향과 반대인 방향을요 시계바늘이 도는 방향과 반대인 방향을 양의 방향이라고 하고요 시계바늘이 도는 방향을 음의 방향이라고 합니다 제가 예시로 그린 그림은 지금 시계 반대 방향으로 가고 있죠 그래서요 방향으로 가면 우리는 양의 방향이라고 하고요 만약에 반대로 갔어요 즉 시계와 같은 방향으로 갔습니다 이렇게 그랬으면 우리는이 방향을 음의 방향이라고 합니다 자 그리고 일반적으로 우리가 플러스는 생략을 할 수 있듯이 여기서도 마찬가지로 양해보고 플러스는 생략을 할 수가 있습니다

자 그러면 우리가 일반각이라는 내용이 있는데요 제가 예시를 하나 드려볼게요10초 선이 있고요 조선이 있고 동경이 이렇게 있어요 한 30도 정도 회전시켜 동경을 만들었다고 합시다 30도만큼 회전을 시켰어요 그러면 동경 op가 동경 op가 나타내는 나타내는 각을 몇도라고 쓸 수 있어요 나타내는 각을 30도라고 쓸 수가 있어요 그런데 동경 op가 나타내는 각은 30도만 있는게 아니에요 왜냐하면 한 바퀴 돌리고요 30도 더 돌려도 똑같은 동경을 나타내죠 그래서 360 + 30도도 같은 동경을 나타내요 여기서 끝난게 아니라요 우리가 두 바퀴 돌리고 두 바퀴 돌리고 30도 더 가도 똑같은 동경이죠 즉 360도를 두 번 돌리고 30도를 더 가면 같은 동경을 나타냅니다 그래서 동경 op가 나타내는 각을식으로 모조리 쓰면요 360 [음악] 곱하기 n + 30도라고 적을 수가 있는 거예요 여기서이 n은 뭐를 나타내는 거예요 회전수를 나타냅니다 회전수를 나타내고요 반대 방향으로 한 바퀴 돌 수도 있으니까 음의 방향으로 한 바퀴 돌 수도 있으니까 방향도 담고 있습니다 즉 애니 음수일 때는 반대 방향으로 몇 바퀴 돌았는지를 나타내고 있는 거예요 그래서 우리가 지금 30도를 가지고 했지만 30도가 아니라 알파라면이 알파만큼 회전시킨게 바로 여기에 들어가서 360 곱하기 n + 알파로 쓸 수 있으니까 우리가 일반적으로 동경 op가 나타내는 각을 요렇게 360 곱하기 n + r8로 쓸 수가 있는 겁니다 여기서 알파는요 일반적으로 0보다 크거나 같고 360보다 작은 각도를 위주로 써줍니다

자 그러면 우리가 4분면에 각인데요 우리가 각 각도가 나타내는 위치가 있을 거예요 우리가 지금 배운 각도를이 좌표 평면 위에 옮길 건데 각도를 좌표 평면으로 옮길 거예요 각도를 좌표 평면 위로 좌표 평면으로 옮길 때 10초 선은요 초선은 x축의 양의 방향으로 잡습니다 즉 요기죠 x축의 양의 방향 여기가 시초선인 거예요 여기가 시초선 자 그랬을 때 만약에 동경이 90도예요 90도면 어디예요 여기죠 여기는 90도 자 180도에요 그러면 180도만큼 회전을 시켜서 여기죠 x축의 음의 방향입니다 여기가 180도 270도면요 90도를 더 간 거니까 여기까지 오고요 여기서 90도 더 가면 다시 10초 선과 똑같은360도가 됩니다 자 그랬을 때 우리는 0도부터 90도 사이에 있는 각도를 0도부터 90도 사이에 있는 각도를 여기에 그릴 수 있겠죠 이런 식으로 그려질 거예요 이렇게 정도부터 90도 사이면 이런 경우 우리는 제1사분면에 각이라고 합니다 제 1사분면에 각 만약에 90도 하고 180도 사이에 있으면 즉 요기에 있으면요 제2사분면에 각이라고 하고요 여기에 있으면 제 3사분면에 각 여기에 있으면 제4사분면에 각이라고 합니다 좌표축 위에 있을 때는요 어떤 4분면에 속한다고 표현하지 않습니다 자 그러면 여기까지 해서 우리가 각도를 좌표 평면 위에 옮기는 법까지 했어요 이번엔 새로운 각도의 정의를 배울 겁니다 호도법인데요 반지름의 길이가 아린 원에서 길이가 r인 후 ab를 정할 때그때의 각도 aob의 크기를 1라디안으로 한다고 적혀 있습니다 즉 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴에서 그 부채꼴의 중심 각도를 1라디안이라고 하겠대요 1라디안이라고 쓰고요 우리가 이거를 이렇게 1rad 1라디안이라고 쓸 수 있습니다

자 그러면 제가 한번 예시를 하나 또 드려볼게요 반지름의 길이가 아니고요 부채꼴의 호의 길이가 이아림 부채꼴이 있어요 여기서부터 여기까지 아리고 여기서 여기까지가 r이에요 그럼 이때의 중심각은 몇 라디안이에요 바로이 라디안입니다 왜죠 일라디안이 두 개 있으니까 여기 하나 여기 하나 우리가 이거를 1라디안이라고 할 겁니다 그래서 우리가 지금까지 배웠던 각도의 체계를 즉 30도 60도 뭐 180도 이런 애들을60분법이라고 했어요 60분법 이 단위의 이름은 60분법이라고 합니다 우리가 지금 새로 배운 각도의 단위를 호도법이라고 하는데이 60분법과 호도법을 서로 바꿀 수 있어야 돼요 자 그걸 한번 해 봅시다 호도법과 60분법의 관계인데요 자 우리가 요런 내용을 좀 배운 적이 있어요 호의 길이를 l이라고 하면요이 R 곱하기 360도 분의 중심각 세타 이렇게 배운 적이 있습니다 그러면 제가요 부채꼴의요 부채꼴의 값들을 한번 대입을 해볼게요 반지름이 아리고 호의 길이가 아닌 이 부채꼴의 중심각도를 조금 구분 짓기 위해 xl이라고 한번 해 봅시다 그러면이 값들을 대입을 하면요 r은 이 파이r 곱하기 360도 분의 x 라디안이죠 그러면 아리랑 아리랑 지워지고요 2랑362 약분돼서 180도가 남고 파이까지 남았네요 그러면 우리는 x 라디안을 뭐라고 쓸 수 있어요 파이분의 180도라고 쓸 수 있어요 그런데 반지름이 아니고 호의 길이가 아린 부채꼴의 중심각은 멸라디안이라 그랬어요 일락이 아니라 그랬죠 그래서 우리는 1라디안을 파이분의 180도라고 쓸 수가 있는 겁니다 이거를 가지고 우리는 라디안과 각도를 라디안과 60분법을 왔다 갔다 하면서 변환을 시켜 줄 거예요 자 요거를 양변에 180분의 파일을 곱해주면요 180분의 파이 라디안은 180분의 파이 라디아는 1도 이렇게 쓸 수가 있습니다

자 그리고 우리가 라디안이라는 단위를 이제 앞으로 정말 많이 쓸 거기 때문에 라디안이라는 단위를 생략하셔도 됩니다 실제로는 없는 단위고요 우리가 안써도 되는 단위에요 그래서 단위가 안 써 있다 그러면 라디안인 겁니다 자 그리고 우리가 일반각에서 아까 360도 곱하기 n + 알파가 우리가 일반각을 나타내는 방법이라 그랬어요 근데 이거를 우리가 60분법에서 각도를 쓴 거고요 이거를 호도법으로 바꿔주면 우리가 360도는 과연 몇 파일까요 360도를 호도법으로 바꿔 보겠습니다 360도는 360 곱하기 우리가 1 또는 180분의 파이 락이 아니니까 180분의 파이 라디안을 곱하고요 이 바이 라디안이라고 얻을 수 있습니다 라디아는 생략해도 되니까이 파이만 써도 되는 거예요 그래서 일반각을 고도법으로 표현하면 2파이 곱하기 n +x라고 쓰면 되는 겁니다 알파와 x의 역할은 같고요 0 이상 362만이었다면 여기에 있는 x는 어떻게 되겠어요 0 이상 이 바이 미만입니다 굳이 x라고 안 쓰고 r8하고 써도 상관은 없습니다 우리가 어떤 위에 있던 알파도를 알파 라디안으로 바꾼 건 아니고요 그냥 새로 알파로 써준 거라고 생각하시면 됩니다

자 여기까지 해서 우리가 호도법도 사용해서 일반각을 표현을 했어요 자 일단요 우리가 그러면 아까 배운 공식을 좀 써먹을 거예요 1라디안은 1 라디아는 어떻게 바꿀 수 있어요 파이분의 180도를 사용해서 바꾸고요 1 또는 180분의 파이 라디안을 이용해서 바꿉니다 자 1번 먼저 볼게요 6분의 파이고요 단위가 아무것도 안 써 있는 건 6분의 파이라디안입니다 그러면 라디안을도로 바꾸기 위해서 6분의 파이 곱하기 요거를 써줍니다이 라디안을 라디안을 요걸로 바꿔주는 거예요 파이 분의 180으로 그러면 어떻게 돼요 바위가 사라지고요 180을 6으로 나누니까 39라고 써주면 되는 거죠 2번 볼게요 2분의 3파이고요 마찬가지로 단위가 안 써 있으니까 라디안입니다 그러면 2분의 3파이 곱하기 라디아는 파이분의 180도고요 파이파이 사라지고 2로 나눠주면 90이고 90의 3 곱해주면 270도라고 얻을 수 있죠 3번은 지금 45도라고 써 있어요 우리는 요거는 라디안으로 바꿔 줄 겁니다 라디안으로 바꾸기 위해선 45 곱하기 180분의 파이 라디안이고요 약분해 주면 4밖에 안 남아서 4분의 파이 라디안입니다 마지막으로 4번도 똑같은 방법으로 라디안으로 바꿔주면 되고요 150곱하기 180분의 파이 라디안을 곱해주고 0 0 사라지고 3으로 나눠주면 6에 옵니다 그래서 6분의 5 파이라디안 근데 우리가 라디아는 생략할 수 있기 때문에 3번은 그냥 4분의 파이라고 쓰면 되고요 4번은 6분의 5파이라고 쓰면 됩니다

자 넘어가서 우리가 부채꼴의 호의 길이와 넓이 한번 배워보도록 할게요 우리가 요런 걸 또 배운 적이 있어요 아까도 한번 썼던 공식인데 호의 길이 l은이 바이 R 곱하기 360도 분의 세타도라고 썼습니다 근데 이거를 라디안으로 바꾸면요 우리가 라디안으로 바꾸면 어떻게 되냐면 이 파이r 곱하기 360도는이 파이 라디안이고요 세타를 그냥 xl이라고 할게요 그러면이 바이 2파이 사라지고 rx가 되죠 즉 반지름과 라디안의 단위 라디안의 단위를 쓰는 그 각도를 그냥 곱해버리면 됩니다 그래서 그냥알리세타라고 우리가 공식으로 많이들 씁니다 자 넓이도 마찬가지로요 파이r 제곱 곱하기 360분의 중심각 세타도인데요 자 파이 r² * 2πx 라디야 그러면 하이파이 사라지고 2분의 1 x 제곱 x제곱이 아니죠 r 제곱이죠 r 제곱 R 제곱 x입니다 x는 중심각을 의미하고요 라디안 단이에요 그래서 그냥 중심각이 세타로 주어져 있으면 1/2 r² 세타라고 써주면 되는 겁니다 공식으로 바꾸기 위해서 단지 그냥 세타로 바꿔준 것뿐입니다 그래서 코의 길이 l은 R 세타와 같구요 넓이는 1/2 R 제곱 세타와 같다는 공식이 나와요 이때 우리가 2분의 1제곱 세타를 조금 변형을 할 수가 있어요 2분의 1 R 곱하기 R 세타라고 쓸 수 있죠 그런데 rθ는 호의 길이 l과 같으니까2분의 1 rl이라고 바꿔주면 됩니다 그래서 여기까지 우리가 두 개 다 알고 있어야 돼요 하나만 하면 안 됩니다 넘어가서 마지막으로 개념 예제 풀고 이번 시간 마치도록 할게요 반지름의 길이가 2고 중심각의 크기가 3분의 파이래요 라디안이죠 세타가 3분의 파이입니다 이때 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하라 그랬어요 고의 길이 어떻게 구해요 알 세타 즉 3분의 2파이로 계산되고요 넓이 s는 1/2 R 제곱 세타로 구하고 2분의 1 곱하기 4 곱하기 3분의 파이라서 3분의 2파이로 계산할 수 있습니다

자 오늘 배운 호도법은요 우리가 앞으로 삼각함수 단원을 배우면서 정말 자유자재로 쓸 수 있을 때까지 복습을 하셔야 됩니다 그래서 원래 기존에 알고 있던 각도들 30도 45도 60도 90도도 우리가 호도법으로 바꾸는 연습을 꼭 복수하면서 병행하시길 추천드립니다 오늘 강의는 여기까지고요고생 많으셨습니다 감사합니다