[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 삼각함수 - 삼각함수의 뜻

자 오늘 학습할 내용은요 삼각 함수의 뜻입니다 우리가 삼각함수를 처음 배우는 날인데요 우리가 삼각함수를 배우기에 앞서서 중학교 3학년 때에 배웠던 삼각비를 먼저 좀 복습을 하도록 할게요 삼각비를 복습을 할 겁니다

삼각비가 뭔지 기억나시나요 삼각비가 뭐냐면 직각삼각형에서 우리가 직각삼각형에서 삼각비를 정의했어요 이렇게 생긴 직각삼각형에서 각 변의 길이의 b를 삼각비라고 합니다 우리가이 직각이 바라보고 있는 가장 긴 변의 길이를 빗변이라고 하고요 여기 밑에 있는 변을 밑변 그리고 여기를 높이라고 합니다 여기를 θ라고 해요 연습도 여기까지 각도를 θ라고 해요 자 그러면 sin θ cosθ는 빗변 분의 높이로 정의하고요 코사인 세타는 빗변 분의 밑변 탄젠트 세타는 밑변 분의 높이 이렇게 정의를 했습니다 자 그래서 세타가 30도일 때 45도일 때 60도일 때 각각 사인 세타 코사인 세타 탄젠트 세타의 값도 우리가 외웠었어요 사인 세타는 30도일 때 1/2이고 45도에 2분의 루트 2 60도일 때 2분의 루트 3 코사인 세타는 2분의 루트 3 45도는 2분의 루트 260도는 1/2 단체트 세타는 루트 3분의 1 45도는 1 60도는 루트 3 이렇게 우리가 외웠었어요 자 요거를 조금 더 시각적으로 표현하기 위해 이런 식으로 씁니다 코사인 세타는 빗변 분의 밑변이니까 이렇게 그리고요 탄젠트 세타는 밑변분의 높이니까 이렇게 그려요 사인 세타는 원래 필기체를 써서 쓰는데 저는 요렇게 할게요 사인 세타 빗변 분의 높이 이런 식으로 우리가 사인 코사인 탄젠트도 찾아줄 수가 있어요 자 그러면 우리가 여기 써 있는 30도 45도 60도를 한번 호도법으로 바꾸고 갈게요 우리가 앞으로는 호두법을 더 많이 쓰게 되니까 호도법에 익숙해져야 됩니다 자 30도를 호두법으로 바꾸면 180분의 파일을 곱해주죠 곱하기 30 해주면 6분의 파이 45도는요 45도 곱하기 180도 분의 파이 해주면 4분의 파이고요60도도 호도법으로 바꿔주면 60 곱하기 180분의 파이니까 3분의 파입니다

자 우리가 여기까지 해서 호도법을 제외하고는 모두 중학교 3학년 때 배운 삼각비 내용입니다 그러면 우리가 이제 삼각함수를 본격적으로 배워 볼 건데요 삼각함수를 정의하기 위해서는 일단은 동경 하나를 좀 그릴 겁니다 좌표평면 위에 동경을 그릴 거고요 저는 1사분면 위에 있는 동경을 하나 그리도록 하겠습니다 1사분면 위에 있는 동경을 하나 그릴 거예요 이렇게 세타 자 그랬을 때요 우리가 생각한 수를 정의하기 위해선 원이 하나 필요합니다 중심이 원점이고 반지름이 아닌 원을 하나 그려줄게요 이렇게 중심이 원점이고 반지름이 아린 원을 이렇게 그릴 수가 있습니다 그러면 동경과이 원이 만나는교점이 있어요 여기 교점이 하나 있죠이 점의 좌표를 x y라고 합시다 그러면이 동경에이 동경의 끝에서 x y라는 점에서 x축에 수선을 내릴 거예요 수선을 내리면 요렇게 직각삼각형을 하나 만들 수 있죠 자 그러면이 직각삼각형의 빗변은 r이고요 여기는 x고 여기는 y라는 거 우리가 확인을 할 수가 있습니다 이때 우리는 사인 세타를 r분의 y 코사인 세타를 r분의 X 탄젠트 세타를 x분의 y라고 정할 수가 있습니다 요거는 각도가 지금 0도에서 90도 사이기 때문에 삼각비의 정의 그 자체를 가지고 사인 코사인 탄젠트를 표현을 해 준 거예요 그런데삼각함수도 똑같이 정의가 됩니다 우리가 기존의 세타는 0도에서 90도 사이에 있는 값들에 대해서만 삼각비가 정의가 됐어요 근데 이거를 삼각함수로 바꾸면서 세타가 확장이 되는 거예요 세타가 1사분면에 있을 수도 있고요 2사분면에 있을 수도 있고 3사분면에 있을 수도 있고 4사분면에도 있을 수 있습니다 이렇게 세타를 확장시키면서 우리는 삼각함수라고 정의를 하고요 그때 사인 세타는 마찬가지로 r분의 y cosθ는 r분의 x 탄젠트 세타는 x분의 y라고 정의를 합니다 자 이때요 세타 값이 하나가 정해지면 세타 값이 하나가 정해지면 r분의 y도 하나를 같구요 r분의 x도 하나를 갖고 x분의 y도 하나의 값을 요때 x가 0이면 안 되겠죠 분모가 0이면 안 되기 때문에 자 그러면 어쨌든 세타가 정해지면 r분의와의 x x분의 y가 한 개로 정해지기때문에 얘를 우리가 함수라고 할 수 있는 거고요 각각 사인 함수 코사인 함수 탄젠트 함수라고 이름을 붙여준 겁니다 자 그리고 우리가 여기서 지금 반지름을 r이라고 했는데요 우리가이 삼각비는요 삼각비에서 요렇게 생긴 직각삼각형에서의 사인 세타 값과 이렇게 생긴 직각삼각형에서의 사인 세타 값을 일치합니다 우리가 어차피 길이 b를 나타내는 거기 때문에 삼각형이 작든 크든 세타가 똑같다면 길이비가 일정해요 그래서 R 값 항상 상관이 없어요 우리가 일로 잡아줘도 되고요 2로 잡아줘도 되고 보통은 1로 많이 잡습니다 그래서 r값의 관계없이 쌓인 코사인 탄젠트 값이 똑같이 나온다는 거 그거까지 알고 계시면 될 것 같습니다

자 그럼 넘어가서 우리가 1사분면에서 1사분면에서 삼각 b의 값을 구하는게 아니라 세타가4분의 3파이일 때 즉 삼각 함수가 되어서 그 4분의 3파일 때 sin 값 코사인 값 탄젠트 값을 한번 구해 보도록 할 거예요 자 4분의 3 파이를 한번 일단 표시를 해 볼게요 4분의 3 파일을 표시를 해주면요 4분의 3파이는요 2분의 파이 플러스 4분의 파이와 같아요 즉 이사분면의 각이죠 2분의 파이는 90도이기 때문에 90도에서 4분의 파이만큼 더 간 요런 위치에 우리는 동경을 그릴 수 있습니다 요게 4분의 3파이에요 그리고 제가 원을 하나 그려야 된다 그랬죠 이번엔 반지름이 1인 원이라고 하겠습니다 반지름의 길이도 상관이 없다 그랬어요 반지름의 길이가 1인 원을 이렇게 그려주면요 이때이 동경과 원이 만나는 교점 딱 요점에 좌표를 x 콤마 y라고 했을 때 우리가이 x y를 가지고 사인 코사인탄젠트를 정의를 했어요 사인 세타는 r분의 y인데 반지름 1이니까 그냥 y 좌표만 찾아주면 되고요 코사인 세타는 r분의 x니까 x값만 찾아주면 됩니다 탄젠트 세타는 x분의 y죠 그러면 우리는 x랑 y의 좌표를 찾아야 됩니다 자 우리가 이 좌표를 찾기 위해서요 마찬가지로 바로이 x y에서 x 축에 수직인 선을 하나 그립니다 수직인 선분을 그려서 직각삼각형을 만들어 줄 거예요 이렇게 직각삼각형을 만들어주면 우리가 여기 각도가 각도가 몇이에요 우리가 4분의 3파이랑 더해서 180도 즉 파이가 나와야 되기 때문에 여기가 4분의 파입니다 그리고 지금 여기 반지름의 길이가 1인 걸 알고 있어요 그러면 제가 여기 길이를 길이를b라고 놓고 여기 길이를 a라고 놓으면요 사인 4분의 파이는 사인 4분의 파이는 1분의 b죠 그러면 b와 같구요 우리 사인 4분의 파이는 2분의 루트입니다 즉 b는 2분의 루트 2예요 이게 뭘 의미하냐 여기서부터 여기까지이 높이의 길이가 2분의 루트 2인 겁니다 2분의 루트 2고요 y 좌표가 현재 양수기 때문에 y가 즉 길이와 똑같아요 그래서 얘랑 y랑 같은 겁니다 자 근데 코사인 값을 한번 볼게요 코사인 4분의 파이는 1분의 a입니다 그래서 a와 같은데 코사인 4분의 파이는 2분의 루트 2죠 즉 a의 길이도 2분의 루트 2와 같은 걸 알 수 있는데 우리가 지금 여기 X 좌표가 음수예요 그래서음수기 때문에 a는 양수 즉 길이를 의미해서 x와 그냥 같으면 안 되고요 마이너스 부호를 붙인 -x와 같아야 됩니다 즉 x 콤마 y는 몇 콤마 몇인 거예요 -2분의 루트 2분의 루트 2라고 우리가 구할 수 있는 겁니다 그래서 4분의 3 파이일 때 sin 세타 즉 y의 값은 2분의 루트이고 코사인 세타는 x와 같아서 -2분의 루트 2와 같고요 TA 세타는 -2분의 루트 2분의 2분의 루트 2라서 -1입니다

자 그럼 여러분이 지금 느끼고 있을 거예요 너무 복잡하다는 것을 상당히 복잡하기 때문에 우리가 뒤에 있는이 삼각함수의 값의 부호까지 학습을 하고요 제가 정리를 한번 해 드리도록 하겠습니다 자 그러면 우리가 쌓인 세타를 뭐라고 정의를 했어요 r분의 y라고 정의를 했습니다그러면 우리가 사인 세타의 부호를 조사할 건데 분모에 있는 r은요 반지름을 의미하는 거기 때문에 항상 양수입니다 반지름은 항상 양수라서 우리는 사인 세타의 부호를 따질 때는이 y 좌표의 부호만 따져주면 되는 거예요 그러면 우리가 1사분면에서 y 좌표가 양수죠 그러면 사인 세타도 양수입니다 그래서 양수라고 이렇게 표시되어 있는 거고요 이사분면도 y가 양수기 때문에 여기도 sin 세타가 양수에요 그래서 양수 3사분면에서 y 좌표는 음수기 때문에 사인 세타는 음수라고 하는 거고요 4사분면도 마찬가지로 y좌표가 음수라서 sin 세타가 음수입니다 자 코사인 세타는 우리가 머루 정의를 했어요 코사인 세타는 r분의 x로 정의를 했죠 그러면x 좌표만 보면 되는 거예요 1사분면에서 x좌표가 양수기 때문에 코사인 세타는 양수구요 2사분면에서 코사인 세타는 음수입니다 왜냐하면 x는 음수기 때문에 코사인 세타도 마찬가지로 음수인 거예요 3사분면에서는 x 좌표가 똑같이 음수라서 코사인 세타도 음수고요 4사분면에서 x좌표가 양수로 바뀌면서 이때 코사인 세타가 양수로 바뀌는 겁니다 자 탄젠트 세타도 보도록 할게요 우리가 탄젠트 세타는 머분의 뭐예요 x분의 y죠 그러면 x좌표 Y 좌표 동시에 따져 줘야겠네요 동시에 따져 줘야 되니까 여기서 1사분면에서 x는 양수고 y는 양수입니다 그러면 양수분의 양수니까 탄젠트 세타는 양수에요 이사분면에서 x는 음수고 y는 양수니까 음수분의 양수네요 그럼 탄젠트 세타는 음수예요 3사분면에서 x는 음수고 y는 음수라서음수분의 음수고 그래서 탄젠트 세타는 양수입니다 마지막으로 4사분면에서는요 x좌표는 양수고 y좌표는 음수 따라서 탄젠트 세타는 음수입니다 그래서 요거를 우리가 사인 코사인 탄젠트를 합쳐서 각 4분면에서 어떤 애들이 양수인가를 확인해 보면요 제가 양수인 걸 조금 표시를 해 볼게요 자 사인 세타 1사분면에서 양수고요 2사분면에서 양수입니다 코사인은 1사분면에서 양수고 4사분면에서 양수네요 탄젠트는 1사분면에서 양수고 3사분면에서 양수에요 그러면 1사분면에서 양수인 거는 모두 양수구요 2사분면에선 사인만 3사분면에서 탄젠트만 4사분면에선 코사인만 양수인 걸 확인할 수 있어요 그래서이 내용들을 우리가 좌표평면 위에 좀 표시를 해주면요 1사분면에선 모두 양수라는 의미로 5를 쓰고요 이사분면에서 사인3사분면은 탄젠트 4사분면은 코사인 이렇게 쓸 수가 있어요 그래서 순서대로 올사 탄 코죠 이거를 조금 앞자만 따서 얼싸안코로 외웁니다 조금 평소에는 우리가 쓰지 않는 언어다 조금 어색할 수 있는데요 우리가 그래도 조금 이런 표현으로라도 외울 수 있으면 외울 수 있으면 그게 최고지 않나 싶습니다 꼭 외우시기 바랍니다 얼싸 않고

자 그러면 우리가 방금 배운이 부호에 관한 내용을 가지고 아까 삼각함수의 값을 구하는 과정을 조금 단순화시켜 볼게요 자 예를 들어 사인 3분의 2파이 코사인 3분의 2파이 탄젠트 3분의 2파이의 값을 구해 볼게요 이거를 구할 때는요 우리가 일단 동경을 좀 표시를 해줍니다 이렇게 x축 y축에다가 원을 그리고요 원을 그리고 3분의 2파이에 해당하는동경을 그려요 우리가 3분의 2파이는 1/2 + 6분의 파이니까 2사분면 위에 각이네요 요렇게 그리면 됩니다 그러면 여기 좌표가 알고 싶은 거고요 x y가 알고 싶은 거구요 우리는 요거를 삼각형을 만들어 줘요 아까처럼 x축의 수직으로 이렇게 선을이어서 삼각형을 만들어 줍니다 자 3분의 2파이가 나타내는 건 여기니까 우리가 여기 각도가 3분의 파이라는 걸 알 수 있어요 그러면 저 삼각형의 길이를 찾기 위해서 우리는 사인 3분의 파이와 코사인 3분의 파이 요거를 먼저 구했었죠 탄젠트까지 구해볼게요 탄젠트 3분의 파이 사인 3분의 파이는 2분의 루트 3 코사인 3분의 파이는 1/2 탄젠트 3분의 파이는 루트 3 이렇게 됩니다 그런데 여기서 우리는 지금 이사분면에각이기 때문에 얘를 3분의 2파이로 갈 때는 부호만 맡겨요 어차피 크기는 똑같고요 x값 y 값 크기는 똑같고 부호만 바뀌어요 그래서 이거를 가지고 우리는 사인 3분의 2파이는요 2사분면에서 양수라서 그냥 2분의 루트 3 코사인 3분의 2파이는 우리가 2사분면이라 음수고 -2분의 1이 되고요 탄젠트 3분의 2파이는 루트 3의 마이너스를 붙여서 -√3입니다 이렇게 부호만 따로 달아주면 조금 더 과정이 단순해진 걸 느껴지시나요 자 요거는 조금 복잡한 내용이니까 복습하면서 꼭 노트에 꼼꼼하게 하나씩 해보시길 당부드립니다

자 이번엔 삼각함수 사이의 관계이구요 탄젠트 세타는 코사인 세타분의 사인 세타라고 적혀 있어요 우리가 정의를 이용을 해 볼게요 탄젠트 세타는 x분의 y라고 배웠고요 사인 세타는r분의 y라고 배웠고요 코사인 세타는 r분의 x라고 배웠습니다 그러면 우리가 cosθ는 r분의 x분의 r분의 y니까 x분의 y고요 탄젠트 세타가 되는 거 우리가 확인할 수 있죠 자 두 번째로 사인 제곱 세타 플러스 코사인 제곱 세타는 1이라는 공식인데 한번 싸인 제곱 세타와 코사인 제곱 세타를 계산을 해 볼게요 자 요거는요 r² 분의 y 제곱 r² 분의 x제곱이 그러면 R 제곱 분의 1로 묶었을 때 x² + y 제곱입니다 그러면 우리가 좌표평면 위에서 삼각형을 그려놓고 여기를 r이라 그러고 여기를 x락으로고 여기를 y라고 하죠 그런데 직각삼각형이기 때문에 r²은 x 제곱 플러스 y 제곱입니다 피타고라스의 정리죠 그래서 이거를 활용하면r² 분의 1 곱하기 r²이니까 1로 계산되는 거 우리가 확인을 할 수가 있습니다 자 두 공식 정말 많이 사용되는 공식이니까요 우리가 꼭 머릿속에 집어넣고 자유자재로 활용할 수가 있어야 됩니다

자 마지막으로 개념 예제 풀고 마치도록 하겠습니다 자 세타가 2사분면에 가기라 그랬네요 세타가 이사분면에 각이고 사인 세타가 2분의 1이래요 그러면 코사인 제곱 세타 플러스 사인 제곱 세타는 1이죠 이거를 활용할 거예요 여기다가 대입을 해주면 코사인 제곱 세타 + 4분의 1은 1 코사인 제곱 세타는 4분의 3 그러면 코사인 세타가 플러스 마이너스 2분의 루트 3이 나오는데 자 2사분면에서는 이사분면에서는 우리가 코사인이 양수에요 음수예요 이때 코사인은 음수입니다 따라서 코사인 세타는-2분의 루트 3이라고 우리가 계산해주면 되고요 tant θ는 코사인 세타 분의 sin θ니까 코사인 세타 - 2분의 루트 3 sin 세타 1/2 계산해주면 - 루트 3분의 1입니다 이렇게 해서 계산해 주시면 될 것 같습니다 자 여기까지 해서요 우리가 삼각함수의 값 구하는 방법 했고 삼각함수 사이의 관계까지 학습을 했습니다 오늘 배운 내용은 정말 중요합니다 우리가 정확하게 이해하고 넘어가는게 중요하고요 실제로 삼각함수 값을 정의를 가지고 구할 수 있어야 됩니다 복습 꼭 꼼꼼하게 해주시고요 문제도 여러가지 풀면서 내용 빈틈없도록 공부하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다