[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 삼각함수 - 삼각함수의 그래프

자 오늘 학습할 내용은 삼각함수의 그래프입니다 우리가 오늘 삼각함수 그래프 그리는 법을 배울 거고요 일단은 그거에 앞서서 주기 함수가 뭔지 먼저 배워보도록 할게요

자 제가 그래프를 하나 그릴 건데요 자요 그래프가 어떤 그래프인지 한번 봅시다 자 그래프가 이렇게 똑같은게 반복되는 그래프예요 이렇게 계속 반복됩니다 그래서 제가 여기다가 숫자를 4 8 10이라고 적을게요 이렇게 똑같은게 반복되는 그래프를 그래프를 감는 함수를 우리는 주기 함수라 그래요 요로나 함수를 주기 함수라고 하고요 지금 보면 0부터 4까지 그리고 4부터 8까지 그래프가 계속 똑같죠 이렇게 반복되는 구간의 길이를반복되는 구간의 길이를 우리는 죽이라고 합니다 그러면이 그래프의 주기는 몇이에요 4적 요거를 함수 식으로 표현하면 이렇게 표현할 수 있어요 FX + 4는 FX 주기가 4기 때문에 4칸 더해도 4를 더해도 똑같은 함수값을 갖는 겁니다 자 교재 내용 한번 보고 넘어갈게요 자 일반적으로 함수 y는 fx의 정의역에 속하는 모든 x에 대해서 FX + p는 fx를 만족시키는 실수 p가 존재하면요 우리는 그거를 주기 함수라고 합니다 당연히 0이면 안 되고요 0이 아닌 cp가 존재하면 주기 함수라고 하고 실수 p 중에서 최소인 양수를 그 함수의 죽이라고 한다고 적혀 있어요 요게 왜 그러냐면 우리가 밑에 함수 가지고 이렇게도 쓸 수 있어요 FX + 8은 FX 주기는 하지만 fx+8이랑 fx랑 같다고 놀 수도있는 겁니다 팔을 더해도 똑같은 함수값을 가지니까요 주기를 두 번 걷는 거죠 자 그렇기 때문에 우리는이 FX + p는 fx를 만족하는 p 값들 중에서 가장 작은 양수를 그거에 주기라고 하는 겁니다 자 y는 사인 x의 그래프와 성질인데요 우리가 일단은 이렇게 반지름이 1인 원을 단위원이라고 합니다 우리가 단위원에서 그래프를 그려 볼 거구요 지금 사인 세타를 앞에서 r분의 y라고 정의를 했었어요 r분의 y라고 정의를 했는데 단위원 위에선 반지름 1이니까 그냥 y와 같겠죠 즉 사인 세타의 값은 교점 p의 x 콤마 y에서 y 좌표와 같습니다

그래서 이 Y 좌표 값들을 그래프로 쫙 그려 볼 거예요 자 어떤 그래프를 그릴 거라고요 y는sin 세타이 그래프를 그릴 거고요 θ는 x축 위에 쭉 펼칠 거고요 그때 나오는 사인 세타 값을 세로축 즉 y축의 작성을 하겠습니다 그러면 일단은 0부터 2파이까지 세타를 돌리면요 0부터 2분의 파이까지 쭉 오면서 점들이 이렇게 교점들이 이렇게 올라와요 올라오면서 y 좌표들이 어떻게 되고 있어요 y 좌표들이 쭉 올라오고 있죠 y 좌표들이 계속 커지고 있습니다 어디부터 어디까지 커져요 0부터 1까지 커져요 그래서 그래프가 0부터 1까지 커지는 이런 그래프가 그려집니다 이번엔 2분의 파이부터 파이까지 쭉 가면요 교점 좌표가 여기서 내려오고 있어요 내려옵니다 내려오면 y 좌표들이 어떻게 되고 있어요 점점 작아지고 있죠 이래서 어디까지 작아져요 0까지 작아져요 그래서 이렇게바위까지 왔죠 이번엔 파이부터 2분의 3파이까지 갈 거예요 자 여기까지 왔고 여기까지 갈 겁니다 그러면 이렇게 함수가 교점이 이렇게 생기면서 쭉 내려오죠 그때이 y 좌표가 0부터 어디까지 작아져요 -1까지 작아집니다 이렇게 그려지고요 마지막으로 4사분면 2분의 3파이부터 2파이까지 오면요 그래프가 쭉 올라오면서 쭉 올라오면서 이렇게 됩니다 0까지 올라와요 2분의 3파이부터 2파이까지 오면 0까지 올라옵니다 그런데이 파이까지 오면 한 바퀴를 다 돌았기 때문에 제자리로 왔죠 그러면 똑같은게 또 반복되는 겁니다 똑같은게 또 반복돼요 쭉 올라가고 여기는 올라와서 0이 된 거고 그래서 우리가 이런 함수는 앞에서 뭐라고 배웠어요 주기함수라고 배웠죠 주기 함수고 반복되는 구간의 길이가 뭐예요 반복되는 구간의 길이 바로 0부터 한 바퀴즉 이파이가 죽입니다 자 그래서 y는 sin x의 그래프가 어떤 성질을 가지냐면요 정의역은 실수 전체의 집합이고요 지역은 -1 이상인 이하입니다

자 그래프는 원점에 대하여 대칭이에요 그래프를 한번 봅시다 요 점에 대해서 그래프가 대칭이죠 여기는 쭉 올라가고 쭉 내려오는 그래프가 원점에 대해서 대칭입니다 주기는 2π인 주기 함수고요 요게 사인 x 그래프 의 특징들이에요 이번엔 y는 코사인 x 그래프의 성질을 볼 거고요 코사인 세타는 우리가 r분의 x라고 정의를 했어요 근데 반지름 1이니까 x값과 같고요요 그래프를 그려 보도록 할 거예요 sin과 같은 방식으로 그릴 겁니다 그런데 우리가 x좌표를 따져야 되기 때문에 지금 x축의 양의 방향을 이렇게 조금 돌려 놨어요 자 돌려놨고요 y축 양의 방향 이쪽이니까 요것만 신경써서 한번 보도록 할게요 자 0도는 어디예요 여기가 0도죠0도부터 90도까지 쭉 올라오면요 x 좌표가 원래 몇이었어요 x좌표가 1이었어요 그런데 여기까지 오면서 지금 x좌표가 0이 되었죠 쭉 오면서 x좌표가 지금 작아지고 있는 겁니다 그러면 요렇게 그려지겠네요 1부터 0까지 쭉 내려옵니다 자 이번엔 2분의 파이부터 파이까지 갈 거고요 여기서부터 여기까지입니다 그러면 교점이 여기서부터 이렇게 생기고요 이때 x좌표가 어떻게 되고 있어요 아래로 점점 내려가고 있죠 계속 내려갑니다 어디까지요 -1까지 그래서 그래프가 이렇게 그려져요 파일 때 -1입니다 자 이번엔 3사분면에서는요 5부터 2분의 3파이고요 교점이 이렇게 올라오면서 이번엔 x좌표들이 어떻게 되고 있어요 -1에서 다시 0으로 올라오고 있죠 그래서 그래프가 이렇게 그려집니다 자 마지막으로 4사분면에서는요2분의 3파이부터 2파이까지고 교점이 여기서부터 이렇게 생기니까 이렇게 생겨서 교점의 점점 커지고 있습니다 어디까지 1까지 커져요 그래서 그래프가 이렇게 됩니다 마찬가지로 한 바퀴를 다 돌았고요 다시 반복돼요 쭉 내려오고 다시 쭉 내려오고 그래서 코사인 x 그래프를 이렇게 그릴 수가 있어요 마찬가지로 주기 함수고요 코사인도 주기 함수고 주기가 몇이에요 주기는 한 바퀴 돌아서 세 자리로 와야 되니까이 파이가 죽입니다 자이 코사인 x 그래프의 성질은 어떤게 있냐면요 정의역은 마찬가지로 실수 전체의 집합이고요 지역은 -1 이상 1 이하가 지역입니다 자 그래프는 y축에 대하여 대칭이 요 그래프의이 축에 대하여 대칭입니다 자 그리고 주기가 2파이인 주기 함수입니다 자 요거는 y는 코사인 x 그래프의 성질들이었어요

자 이번엔 y는 탄젠트 x의 그래프를 그려 볼 건데요 이거를 그리기에 앞서서 우리가 탄젠트 x는요 탄젠트 세타는 뭐라고 정의했어요 탄젠트 세타는 x분의 y로 정의를 했습니다 그런데 x가 분모기 때문에 x가 뭐면 안 돼요 0이면 안되죠 x가 0인 순간이 언제예요 x좌표가 0인 순간은 바로 2분의 파이일 때 그리고 2분의 3파이일 때 또 2분의 5파일 때 요런 애들이 x가 0인 순간인데 쭉 나열을 해보면 θ가 1/2입니다 그럼 얘를 조금 바꿔주면 2분의 파이 2분의 파이 플러스 파이 2분의 파이 플러스 2파이 여기서는 x값이 0이기 때문에 x값이 0이기 때문에 탄젠트가 정의되지 않아요탄젠트 세타가 정의되지 않습니다 그래서 요거를 조금 일반화 해주면 이렇게 쓸 수 있죠 2분의 파이 플러스 nπ라고요 그래서 우리는 탄젠트를 정의할 때 세타가 M5 + 1/2가 아닌 실수라고 정의를 하는 겁니다 세타가 자 그러면이 탄젠트를 우리가 그래프를 그리기 위해서 x분의 y를 구하기가 힘들어요 그래서 어떤 일을 해주냐면 x를 1로 만들어 주는 겁니다 자 x좌표를 1로 만들어 주기 위해 요런 삼각형을 만들어 줘요 이렇게 동정을 연장해서요 요런 삼각형을 만듭니다 이때 요직선 x는 1이고요 우리는 1 0에서의 접선으로 볼 수도 있습니다 자 이렇게 정의를 해주면 지금 여기이 동경과 x는 1이 만나는 좌표를 1 t라고 잡으면 탄젠트 세타는요탄젠트 세타는요 부분에 요거니까 지금 밑에가 1이죠 그래서 탄젠트 세타는 t와 같아지는 겁니다 그래서 우리는이 t값이 어떻게 변하는지를 가지고 탄젠트 함수를 그려 줄 거예요

자 그러면 넘어가서 우리가 직접 그래프를 그려 볼 거구요 세타가 커지면서 세타가 커지면서 여기 생기는이 t값의 좌표가 어떻게 되는지 보면 점점 올라가고 있습니다 계속 올라가요 세타가 커지면 커질수록 계속 올라가겠죠 그래서 그래프가 0부터 시작을 해서 쭉 올라가는 겁니다 근데 계속 올라가요 자 우리가 x는 2분의 파이에서 정의되지 않는다고 배웠어요 그래서 요거는 우리가 뭐라 그러냐면 점근선이라고 하고요 요거를 점근선이라고 하고 세타가 커지면 커질수록 t값이 계속 커지기 때문에이 탄젠트 그래프는 점근선이 계속 가까워집니다 만나지는 않아요 자 반대로 가면요 반대로 가면그래프가 이렇게 내려오게 되고요 지금 t값이 점점 작아지고 있죠 음수로 계속 작아질 수 있는 거예요 그래서 그래프가 이렇게 됩니다 자 마찬가지로 여기도 점근선이 있습니다 요게 점근선 x는 뭐예요 요점근선은 -2분의 파이 이점근선은 x는 1/2 이렇게 해서 우리는 탄젠트 x 그래프를 그릴 수가 있습니다 주기는 -2분의 파이부터 파이까지 즉 파이가 죽이고요 그래프가 계속 반복되는 거 우리가 확인을 할 수가 있습니다 자 그러면 우리가 탄젠트 x 그래프의 성질을 보면요 정의역은 요거를 빼야 돼요 2분의 파이 플러스 m 파일을 제외한 실수 전체가 정의역이 됩니다 우리가 아까 m5하는 과정을 했습니다 자 치역은 실수 전체의 집합이에요 계속 커질 수 있으니까 지역이 실수 전체 집합인 겁니다원점에 대하여 대칭이구요 사인과 마찬가지로 원점에 대하여 대칭이고 얘는 주기가 파이에요 자 그래프의 점근선은 my + 1/2 즉 우리가 정의역에서 제외시켰던 부분들이 모두 점근선이 되는 겁니다

자 여기까지 해서요 우리가 사인 코사인 탄젠트의 그래프를 각각 그려 봤구요 각각의 특징들도 봤습니다 어디서 대칭인지 주기는 뭔지 정의역 치역 요거까지 확인을 했는데 우리가 싸인 코사인 탄젠트 그래프를 그릴 수 있어야 방정식 부등식을 풀 수 있기 때문에이 내용을 꼭 꼼꼼하게 복습하고 딜을 학습하시기를 당부드립니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다