[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 삼각함수 - 일반각에 대한 삼각함수의 성질

오늘 내용은요 일반각에 대한 삼각함수의 성질입니다 우리가 지난 시간에 삼각함수의 정의를 이용해서 삼각함수 값을 계산하는 법을 배웠어요 각이 이사분면에 있을 수도 있고 3사분면 4사분면에 있을 수도 있는데 각 위치에 따라서 원을 그려놓고 x y라는 좌표를 찾아서 우리는 부호를 결정하고 길이를 찾아서 장갑 함수 값을 찾아줬어요 복잡했어요 복잡했는데 우리가 오늘 배울 내용은 그 내용을 조금 단순하고 조금 더 빠르게 계산하는 법을 배울 겁니다 그래서 공식들이 많이 나오는데요 제가 외워야 될 공식은 외워야 된다고 말씀드릴 거고요 한 번에 처리할 수 있는 방법도 알려드릴테니까 잘 필기해 가면서 강의 들으시기 바랍니다

자 일단은 삼각함수예요 자 2nπ + x가각을 의미에요 그래서 sin en 파이 플러스 x 코사인 2nπ+x 탄젠트 2nπ+x입니다 자 이때 우리가 2m 파이에 의미를 알죠 EM 파이는 뭐예요 한 바퀴 두 바퀴 세 바퀴 도는 거예요 n 바퀴 도는 거죠 정확히 그러면 얘는 결국 돌고 돌아서 제자리로 돌아와요 그래서 우리가 삼각함수 값을 바꾸는데 의미가 없습니다 영향을 끼치지 않아요 그래서 2m 파일을 지우고 그냥 sin empi 플러스 x는 sinx로 쓰면 되고요 코사인도 지우고 코사인 2nπ+x는 sinx 탄젠트 EM 파이 플러스 x는 x 이렇게 계산을 해 주시면 됩니다 우리가요 공식은 암기를 해야 되는 공식이고요 우리가 공식이 많기 때문에 요런 공식 같은 경우는 emp의 의미를 잘 알고 있으면 emp의 의미를 잘 알고 있으면 사실암기까지는 할 필요 없는 공식입니다 이해를 해서 외우는 걸 최소화 했으면 좋겠어요 자 이번엔 -x에 삼각함수인데요 우리가 한번 삼각함수의 정의를 이용해서 sin +x와 sin -x를 한번 비교해 보도록 할게요 자 사인 플러스 x는 양의 방향이니까 요렇게가 있고요 이렇게 삼각형을 그리겠습니다 플러스 x 그렇게 하고 삼각형을 하나 이렇게 만들어 줄게요요 끝점을 p에 x y라고 하겠습니다 각도가 x니까 헷갈리지 않게 a 콤마 b라고 할게요 a 자 이번엔 -x로 가면요 각도가 이렇게 가고요 삼각형을 이렇게 만들어 줄 수가 있습니다 그럼 여기가 직각이고 이만큼 - x만큼 간 겁니다 그래서 여기 끝에를 p 프라임에a 프라임 콤마 B 프라임이라고 할게요 그러면 정의에 의해서 sinx는요 sinx는 r분의 b죠 코사인 x는 r분의 a 탄젠트 x는 a분의 b입니다

자 이번엔 마이너스 x에서 볼게요 사인 마이너스 x는 r분의 코사인 마이너스 x는 r분의 a 프라임 탄젠트 -x는 a 프라임의 B 프라임이에요 그런데 우리가 지금 플러스 x랑 -x는 크기가 같고 반대 방향으로 간 거예요 그래서 파란색 삼각형이랑 빨간색 삼각형인 합동입니다 자 그러면 우리가 여기 길이랑 요기 길이랑 같아요 같은데 하나는 x축 위에 있고 하나는 x축 아래 있으면 지금이y 좌표가 크기는 같은데 부호가 반대인 거죠 즉 b는 -b 프라임인 겁니다 그래서 우리는 sinx가 r분의 b고요 사인 마이너스 x가 r분의 b프라임이라서 어차피 r은 똑같구요 r은 똑같아요 여기에 있는 b와 b프라임의 부호만 반대니까 마찬가지로 사인 x와 sin -x의 부호도 반대인 거예요 크기는 같고 그래서 요거를 요렇게 공식 과해 놓은 겁니다 코사인도 마찬가지로 비교를 해주면요 우리가 코사인은 x좌표고 지금 p와 p 프라임의 x좌표는 여기로 길이도 똑같고 부호도 똑같아요 그래서 코사인 마이너스 x와 코사인 x를 비교했을 때 분모와 분자가 모두 똑같으니까 그냥 코사인 마이너스 x는 코사인 x와 같은 거예요 탄젠트는 a분의 b고요 지금a가 똑같죠 x좌표랑 a와 a 프라임이 똑같아요 그런데 사인대와 마찬가지로 b와 b프라임의 크기는 같고 부호는 반대라서 탄젠트 x와 단젠트 -x도 크기는 같고 부호는 반대입니다 그래서 탄젠트 -x는 - 탄젠트 x 이렇게 계산을 해 주시면 됩니다 요것도 마찬가지로 우리가 공식을 암기해 주시는게 좋습니다 우리가 그냥 사인이나 코사인이나 탄젠트 안에 각도가 음수일 때 빨리빨리 처리할 수 있는 좋은 공식이에요 우리가 음각 공식이라고도 합니다 각도가 음수라서 음각 공식이라고 따로 이름도 있어요

자 넘어가서요 파이 플러스 마이너스 x에 삼각함수인데요 요거랑 뒤에 있는 2분의 파이 플러스 마이너스 x의 삼각 함수 공식이 있어요 근데 이거 말고 우리가 교재에는 소개되지 않았지만 2분의 3파이플러스 마이너스 x의 공식도 있습니다 우리가 2분의 파이 플러스 마이너스 x랑 b+-x만 알아도 다 계산은 할 수 있지만 요런 공식까지도 있어요 그런데 어쨌든이 공식을 외우려고 하니 지금 여기에도 여섯 개 있고요 여기에도 6개 있죠 엄청 많습니다 그래서 이거는 공식을 각각 외우지 않고요 한 번에 처리하는 방법을 알려드리도록 할 거예요 자 일단은 우리가 어떤 싸인 세타를 계산한다고 합시다 사인 세타의 계산을 할 거예요 그러면 첫 번째로 뭘 해주냐면 2분의 nπ + -x로 각을 표현해줍니다 세타를 2분의 m 파이 플러스 마이너스 x로 변형을 시켜줘요 자 여기서 2분의 nπ가 의미하는게 뭐냐면요 축을 의미합니다 x축 y축 우리가 좌표평면을 그리면요이렇게 그릴 수가 있는데 x축의 양의 방향은 0이구요 y축의 양의 방향은 90도 즉 2분의 파이입니다 x축 음의 방향은 파이고 y축 음의 방향은 2분의 3파이죠 저기에 있는 2분의 m 파일을 2분의 파이나 파이나 2분의 3파이로 변형을 시켜주면 된다는 거예요 우리가 추가로 0은 또 2파이랑 같죠 그래서 이파이로 변형을 해도 됩니다 그러면 지금 파이는 분모가 없는데 2분의 nπ로 어떻게 변형하나요라고 물어볼 수 있어요 요거는 2분의 2파이로 바꿔주면 되겠죠 2분의 2파이 그래서 우리는 n 값이 뭔지 찾아야 돼서 이렇게 변형을 시켜 줄 겁니다

자 예시로 몇 개 한번 해 볼게요 일단 첫 번째 단계 이렇게 각도 변형하는 연습 한번 해 볼게요 예를 들어 6분의 11파이는요 2파이 마이너스 6분의 파이입니다그러면 2분의 4파이 마이너스 6분의 파이죠 그러면 n은 4고 x는 6분의 파이입니다 부호는 신경 쓰지 않아도 돼요 부호는 신경 쓰지 않아도 됩니다 자 요번엔 4분의 5파이도 한번 해 볼게요 [음악] 어떤 부분을 말하는 거냐면 우리가어떤 사인 4분의 3파이가 주어져 있어요 그러면 4분의 3 파이가 우리는 몇사분면의 각이라는 걸 알아요 2사분면에 각이라는 것을 알고 있습니다 제2사분면에 각이라는 걸 알고 있어요 이사분면에서 사인은 양수의 음수예요 양수입니다 그래서 이렇게 얘가 양수인지 음수인지를 그냥 먼저 판단을 하는 거예요 자 하나 더 해볼까요 코사인 6분의 11파이에요 그러면 6분의 11 파이는 몇사분면에 각이에요 4사분면에 각이죠 6분의 11파이가 4사분면에 각이고 코사인은 4사분면에서 양수니까 얘도 양수네요 이런 식으로 부호를 판단해 주면 됩니다 자 세 번째로요 세 번째로 어떤 거를 해주냐면 n 값이 홀수인지 짝수인지를 한번 고려해 줘요n이 홀수인지 짝수인지 만약에 짝수면은요 그냥 그대로 씁니다 그대로 근데 홀수면 사인은 코사인으로 바꾸고요 코사인은 사인으로 바꾸고 탄젠트는 역수를 취해줍니다 요렇게 변형을 해 줄 거예요 자 마지막으로요네 번째로는 마무리 해줍니다 우리가 앞에서 얻어낸 정보들을 차례로 작성해서 값을 계산해 주면 됩니다 마무리라고 쓸게요 플러스 마이너스 부호 결정한 거 써주고요 사인 코사인 탄젠트 바뀐거나 안 바뀐 거 이렇게 써주고 각도 x만 써주면 됩니다

자 그러면이 내용을 가지고 한번 우리 개념 예제를 풀어보도록 할게요 사인 6분의 7파이 계산 한번 해 볼게요 하나씩 계산할 겁니다 sin 6분의 7파인데요 일단은6분의 7 파일을 변형을 먼저 해줘요 6분의 7 파이는 3사분면에 각이죠 3사분면의 각이니까 이렇게 쓸 수 있겠네요 파이 플러스 6분의 파이 그러면 우리가 요거를 볼 수가 있어요 이렇게 봤을 때 n은 2구역 x는 6분의 파이 이런 식으로 우리가 확인을 할 수가 있습니다 2분의 2파이니까 n 값이 2인 거예요 그다음 뭘 해줘요 9호를 판별해주죠 자 부호를 판별해 주는데 3사분면에서 사인이 양수의 음수예요 음수입니다 그래서 마이너스를 써요 그다음 싸인이 지금 바뀌어요 안 바뀌어요 안 바뀝니다 m이 짝수니까 sin 그대로 쓰고요 안에다가는 x값 6분의 파이 그냥 그대로 써주면 되는 거예요 따라서 마이너스 2분의 1이죠 자 두 번째 코사인 3분의 4π 연습해 볼게요 자 코사인 3분의 4파이도요 3분의 4π가 3사분면의 각이라 저는타이플러스 3분의 파이라고 변형을 시키겠습니다 그러면 자 3사분면에서 코사인이 양수에요 음수예요 코사인은 음수입니다 그래서 마이너스고요 n이 짝수라서 코사인 안 바뀌고 그대로 코사인으로 오고요 뒤에 x 3분의 파이를 그대로 써주면 돼요 즉 - 코사인 3분의 파이는 - 1/2입니다 자 마지막으로 탄젠트 4분의 5파이를 계산할 건데요 우리가 지금까지는 제가 3사분면에 각이면 파이 플러스 4분의 파이로 계산을 했어요 똑같은 방식으로 하면 그런데 요번에는 2분의 3 파일을 가지고 해볼게요 탄젠트 2분의 3파이 마이너스 4분의 파이로요 여기 써 있는 4분의 5파이나 바이 + 4분의 파이나 2분의 3 파이 마이너 4분의 파이나 모두 같은 값입니다 모두 같은 각이에요 그러면 자 지금 3사분면에서탄젠트는 양수의 음수예요 양수입니다 그러면 부호를 먼저 써 주고요 지금 n이 짝수예요 홀수예요 n이 3이니까 홀수네요 홀수니까 역수를 취합니다 탄젠트 분의 1 자 그리고 뒤에 있는 x값 부호 신경 쓰지 않고 4분의 파이만 뒤에 이렇게 써주면 돼요 탄젠트 4분의 파이는 1이라서 1분의 1이라 1입니다 따라서 구하는 값은요 -2분의 1 - 1/2 + 1이어서 0이 답입니다

자 넘어가서요 이번엔 2분의 파이 플러스 마이너스 x에 삼각함수인데 얘도 마찬가지로요 우리가 방금 배운 방법으로 활용을 해주면 공식 6개를 외우지 않아도 됩니다 자 개념에 이제 한번 풀어보도록 할게요 자 사인 3분의 2파이를 계산해 볼게요 사인 3분의 2파이 3분의 2파이는 몇 사분면에 각이에요 2사분면에 각이죠그러면 sin/2 + 우리가 요거는 6분의 파이라고 계산을 할 수가 있습니다 물론 아까처럼 사인 파이 마이너스 3분의 파이로 계산해도 똑같은 결과 나옵니다 똑같은 결과 나와요 자 그래도 위에 걸로 한번 해 볼게요 자 요거 같은 경우는요 부호를 보면 이사분면에서 사인이니까 2사분면에서 쌓이는 양수입니다 자 요걸 가지고 계산하고 있고요 n값이 1이라서 홀수네요 홀수는 사인이 코사인으로 바뀝니다 자 그리고 뒤에 있는 6분의 파일을 그대로 써주면 되고요 코사인 6분의 파이는 2분의 루트 3이죠 자 이번엔 코사인 6분의 5파이를 계산할 거고요 코사인 파이 마이너스 6분의 파이로 계산을 해 볼게요 그럼 얘는 지금 파이는 2분의 2라서 일단은 n이 짝수랑 거 우리가 확인할 수 있고요 부호 먼저따져 줘야 되니까 부호를 보니 지금 6분의 5파이는 2사분면이고 코사인이 2사분면에서 음수니까 -입니다 그리고 짝수라 코사인 그대로고요 뒤에 있는 6분의 파이 그대로 써줘요 계산해주면 -2분의 루트 3입니다 자 그리고 각도를 좀 다르게 변형한 것도 한번 계산해 볼까요 우리가 요거는 코사인 2분의 파이 플러스 3분의 파이로도 값을 변형할 수가 있고요 자 2분의 파이 플러스 3분의 파이에서 마찬가지로 코사인이 2사분면에 있으니까 마이너스고 2분의 파이에서 n은 홀수랑 사인으로 바뀝니다 사인 3분의 파이 계산해주면 마이너스 2분의 루트 3 같은 각을 가지는 거 보이나요 같은 값이 나왔습니다

자 마지막으로요 탄젠트 4분의 3파이 계산할 거고요 탄젠트 4분의 3파이는탄젠트 2분의 파이 플러스 4분의 파이고요 우리가 2사분면에서 탄젠트는 음수적 그럼 마이너스 답니다 그리고 n이 홀수라서 역수치에서 탄젠트를 밑으로 보내고요 각도 4분의 파일을 여기다 그냥 써주면 돼요 그러면 -1이네요 따라서 9하고자 하는 값은 2분의 루트 3 - 2분의 루트 3 -1이 답이고요 계산하면 -1입니다 자 오늘 해서요 삼각함수 값을 계산하는 여러 가지 공식과 방법 배웠습니다 우리가 여기에 익숙해져야 계산이 빨라지고 빨리빨리 정확한 계산을 할 수 있기 때문에 숙달하는 과정을 꼭 거치시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다