[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 삼각함수 - 삼각함수의 활용

이번 시간에는 삼각함수의 활용입니다 우리가 지난 시간까지 사인 코사인 탄젠트를 계산하는 법을 배웠어요 오늘은 삼각형 안에서이 싸인 코사인 탄젠트를 가지고 변을 계산하고 각을 계산하고 넓이를 계산하는 방법을 배워 볼 거예요 자 첫 번째로요 우리가 쌓인 법칙이 뭔지 배워보도록 하겠습니다

자 삼각형 abc와이 abc를 둘러싸는 abc에서 웨더파는 외접원을 그려놨어요 자 이때 저는 점 a를 옮겨 볼 거예요 어디로 옮길 거냐면 선분 bo의 연장선과 이원 외접원이 만나는 요점으로 제가 a를 옮기겠습니다이 프라임이라고 할게요 자 그러면 이렇게 삼각형을 그릴 수가 있습니다 자 이때 요 각 a와 각 b는 같습니다 외가 틀까요 우리가 호흡 bc를 공통으로 하고 있어서 이거는 원주각의 성질에 의해 여기 각도랑 여기 각도랑 같아요 그리고 지금 선분 a 프라임 b가 여기서부터 여기까지가 지름이죠이 알이라는 지름이에요 그래서 얘는 직각삼각형입니다 지름을 빗변으로 하는 삼각형은 우리가 직각삼각형이에요 자 그러면 여기서 사인 a를 구하면요 sin a 프라임은 sin a와 같고요 sin a 프라임을이 삼각형에서 구해주면 er분의 a입니다 따라서 sina는 r분의 a라는 거를 우리가 구할 수가 있어요 이렇게 바꿀 수 있죠이 알은 sin a분의 a라고요 그러면 요거를 저는 지금 a라는 점을 옮겼지만 b라는 점을 옮겨서 같은 결론을 낼 수도 있고 c라는 점을 옮겨서 같은결론을 얻을 수 있습니다 그러면 이렇게 쓸 수 있겠네요 이렇게 쓴게 바로 사인 법칙이에요 사인 법칙 [음악] 그리고 길이는 소문자를 써서 쓰는 경우가 많으니까운동하지 않으시기 바랍니다 자 넘어가서요 우리가 사인 법칙을 한번 적용시켜 보도록 할게요 자 가게에 있는 60도고요 각 b는 45도고 대변 a의 길이가 두어져 있어요 그러면 sine a분의 a의 값을 우리가 구할 수 있죠 그건 뭐예요 그러면 sin 60은 2분의 루트 3이고 여기는 2니까 루트 3분의 4구요 계산해 주면 3분의 4 루트 3입니다 근데 이게 뭐랑 같아요 사인 법칙에서이 r과 같다는게 사인 법칙이죠 얘를이 알이라고 놓으면요 우리가 r값을 구할 수가 있습니다 r은 3분의 2√3 자 이번엔 사인 미분의 b를 이용해서 b의 값을 구해 볼게요 sinb도 마찬가지로 sin a분의 a와 같으니까 sina는 3분의4√3이라고 아까 계산했죠 자 이때 사인 b는 사인 45도구요 b는 이제 구하는 겁니다 그래서 우리 b는 3분의 4 루트 3 곱하기 sin 45구요 3분의 4 루트 3 곱하기 sin 45는 2분의 루트 2예요 그래서 약분해서 3분의 2√6이라고 우리가 계산을 할 수가 있습니다

자 넘어가겠습니다 사인 법칙의 변형인데요 우리가 앞에서 배운게이 r은 a분의 a라고 배웠어요 그럼 양변에 sina를 곱하면 2r 사인 a는 소문자 a 요렇게 나타낼 수가 있죠 그래서 이거를 똑같이 b에서도 하고 c에서도 해서 이렇게 표현을 할 수가 있고요 이거를 er로 나눠주면요 나누기 2r을 해주면sina는 er라고도 변형을 할 수가 있습니다 우리가 굳이 공식을 하나하나 외울 필요는 없고요 앞에서 배웠던 사인 법칙을 이항하고 곱하고 나눠서 이런 공식이 된다 이렇게 변형할 수 있다로 알아두시면 좋겠고 요거는 좀 추가적으로 잘 봤으면 좋겠습니다 3번은 무슨 얘기냐면 우리가 a가 2r 사인 a는요 지금이 알이 왜 저번에 반지름으로 b에서도 똑같은 값을 가져요 c에서도 똑같은 값을 갖죠 그럼 얘네가 똑같으니까 a대 B대 c가 sinad sinb데 sinc로 나올 수 있다는 거 우리가 요거는 한번 좀 눈여겨 봤으면 좋겠습니다 자 넘어가서요 자 지금 공식이 3개가 소개가 되고 있어요 이렇게 3개가 적혀 있는데 다 같은 공식입니다 a를 기준으로 쓴 거 b를 기준으로 쓴 거 c를 기준으로 쓴 거고 자리만 바뀐 거니까 우리가 하나만 외우시면됩니다 하나만 외우시면 돼요

자이 공식은 어떻게 나온 거냐 점 b에서 변 ac에 수직이 되도록 선을 하나 그릴 거예요 그러면 여기가 지금 각 a니까 여기 길이를 c사인 a라고 할 수 있고요 여기를 C 코사인 a라고 할 수 있습니다 그러면 여기 길이가 뭐가 돼요 b - c 코사인 a가 되죠 그러면요 삼각형 요 삼각형에서 피타고라스의 정리를 써 주겠습니다 그러면 a제곱은 c사인 a의 제곱 [음악] [음악] 두 개 더하면 1이죠 그리고 일단뒤에 먼저 쓸게요 코사인 a 자 이때 여기가 1입니다 여기가 1이니까 이렇게 쓰면 되겠죠 c² + b² -2bc 코사인 a 이렇게 쓰시면 됩니다 자 코사인 법칙을 언제 쓰는지가 중요한데요 한 변의 길이를 알고 또 다른 한 변의 길이를 알아요 그때 여기서부터 여기까지 낀 각의 크기도 합니다 요렇게 세 개를 알면요 나머지 한 변의 길이를 알 수 있는게 우리가 코사인 법칙입니다 자요 그림을 잘 기억해 두시기 바랍니다요 변의 길이와요 변의 길이를 알고 여기와 여기 각도를 알면이 별표 더 빨간색 선분의 길이를 알 수가 있습니다 자 개념 예제를 보면요 비의 길이가 2구요 이렇게 쓸게요 b는 2 그리고 C 길이는 3이래요 그리고 각도가 60도니까 이렇게그려주면 되겠네요 c는 3 여기가 60도 a 이때 어디 구하는 거예요 변 a 즉이 빨간색 길이 구하는 겁니다 그러면 제가 방금 그린 그림하고 비슷하죠 자 a²은 b² 4 c제곱 9 - 2 곱하기 2 곱하기 3 곱하기 코사인 60도입니다 그러면 13 - 요게 12죠 코사인 60도는 2분의 1이에요 그럼 6이네요 그래서 13 - 6은 뭐예요 7입니다 따라서 a는 플러스 마이너스 루트 7이지만 우리가 도형의 길이기 때문에 양수만 됩니다 그래서 a는 루트 7이라고 써주시면 됩니다

자 넘어가서요 코사인 법칙의 변형인데요 우리가 코사인 법칙을 a 제곱은 b² +c제곱 마이너스 EBC 코사인 a라고 배웠어요 자 얘를 좌변으로 넘기고 얘를 우변으로 넘길게요 그러면 EBC 코사인 a는 b² + c^2 - a 제곱이고요 코사인 a를 구하면 ebc분의 b² + c^2 - a²입니다 그래서 이렇게 정리를 해주면 공식이 이렇게도 변형될 수 있구나라는 것을 보시면 되고요 밑에 있는 거는 마찬가지로 ABC 자리만 바꿔준 거예요 똑같은 공식들입니다 자 그리고 우리가 아까 어떤 상황에서 코사인 법칙을 쓴다 그랬어요 한 병길이 다른 함정 길이 여기 각도 알면 여기 변 길이 구할 수 있다 그랬어요 근데 우리가 이렇게 코사인 a는 2bc분의 b² + c^2 - a 제곱으로 보면 세변의 길이가 주어졌을 때 하나둘 셋 세 변의 길이가 주어졌을 때 각도 하나에 대해서 여기를 θ라 그러면 코사인 세타의 값을 구할 수가 있습니다 이렇게 두 가지 정도의 활용도가 가장 많이 쓰이니까 이런 그림으로 조금 기억해 두시면 좋겠습니다 자 넘어가서요 이번엔 삼각형의 넓이인데요 우리가 삼각형을 지금까지 밑변 곱하기 높이 나누기 2로 계산을 해왔죠 자 이번에 사인 코사인 배우면서 새로운 삼각형의 넓이 구하는 공식을 배울 거예요 자 점 a에서요 꼭짓점 a에서 bc의 수직이 되도록 이렇게 선을 하나 그립니다 그러면 제가 각 b에 대해서 여기를 c사인 b라고 할 수 있죠 그러면 얘가 밑변 얘가 높이 그러면 삼각형 넓이 s라고 하면 1/2 곱하기 a 곱하기C 사인 b라고 할 수 있죠 그래서 2분의 1 CA 사인 b라고 됩니다 자 똑같이 점 a가 아니라요 b에서도 수직인 선분을 이렇게 그려서 넓이를 구해줄 수도 있고요 c에서도 수직인 선분을 이렇게 만들어서 똑같은 공식을 유도할 수 있습니다 그렇게 세 가지 유도해서 정리한게 이공식이에요 두 변의 길이와 그 사이의 각도를 알면 우리는 삼각형 넓이를 구할 수가 있습니다

자 개념 예제 볼게요 자 각 c가 30도에요 그러면 이렇게 그려 볼게요 이렇게 여기가 30도 그리고 a의 길이가 4 a는 4 여기 b는 3 그랬을 때 삼각형 넓이를 구하라고 했고요 우리가 삼각형 넓이를 구할 때 방금 배운 공식을 써먹으려면 이렇게 두 병 길이와 하나 끼인각을 알면 쓸 수가 있습니다 넓이 s는요2분의 1 4 곱하기 3 곱하기 sin 30도로 넓이를 구할 수가 있어요 1/2 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2분의 1입니다 따라서 넓이는 3이에요 자 넘어가도록 할게요 이번에 사각형의 넓이인데요 우리가 삼각형의 넓이 구하는 공식을 응용해서 유도한 겁니다 자 평행사변형 넓이는 우리가 삼각형 두 개로 쪼갤 수가 있어요 이렇게 빨간 삼각형 하나 넓이는 1/2 AB sin 세타로 구할 수 있죠 자 그런데 우리가 평행사변형이면 여기 길이가 B 여기 길이가 a 그리고 여기 각도가 세타로 같으니까 마찬가지로 여기 파란 사각형의 넓이도 사인 세타입니다 그래서 두 개를 더한 1/2 AB 사인 세타 + 1/2 AB 사인 세타 즉 AB 사인 세타가 저평행사변형의 넓이에요 이렇게 평행사변형이 넓이도 싸인 세타를 이용해서 구할 수 있고요 우리가 평행사변형이나 사다리꼴이 아닌 사각형에서 2분의 AB 사인 세타를 통해서 넓이를 구할 수가 있어요 a와 b는 대각선으로 의미하고요 대각선을 의미하고 sinθ는이 세타 즉 대각선과 대각선이 이루는 각도입니다 대각선이 [음악] 이루는 각도 대각선과 대각선이 이루는 각도 자 얘는 어떻게 공식이 유도된 거냐면 이 사각형에서 평행사변형을 만들어 주는 겁니다요 파란 선분과 평행인 성분을 그려줄 거예요 여기도 그려줄 겁니다 꼭짓점에서 만나는 성분이에요 꼭짓점을 지나는 그리고 평행한 자 이번엔 빨간 대각선과이 빨간 대각선과 평행한 선분을 이렇게 그려 줄 거예요 그러면요렇게 생긴 큰 녹색 사각형 얘는 평행사변형입니다 평행사변형이에요 자 그랬을 때 우리가 a와 b의 길이를 옮겨주면 여기를 a라고 할 수 있고요 여기를 b라고 할 수 있죠 그러면 여기가 θ예요 그래서 큰 사각형의 넓이를 구하면 AB sin 세타인데 안에 있는 사각형은 그거에 절반입니다 얘가 지금 여기 있는 삼각형 넓이랑 여기 있는 삼각형 넓이가 같고요 여기 있는 삼각형 여기 삼각형 여기 삼각형 여기 삼각형 여기 삼각형 여기 삼각형 같아서 넓이가 2분의 1이에요 그래서 1/2 AB 사인 세타가 우리가 구하고 싶은 사각형 넓이입니다

자 여기까지 해서요 우리가 쌓인 코사인 법칙 쓰는 거 배웠고요 그리고 삼각형이 넓이 구하는 거 사각형의 넓이 구하는 것까지 학습을 했습니다 공식들이 계속 많이 나오고 있으니까 공식들 잘 정리하면서학습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다