[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 수열 - 등차수열의 일반항

오늘 학습할 단어는 등차수열의 일반항입니다 우리가 수혈 단원을 이제 처음 배우는 날이죠 그래서 일단 등차수열을 배우기 전에 수열이 뭔지 먼저 한번 배워보도록 할게요 수혈이 뭐냐면 2 4 6 8과 같이 차례로 나열된 수의 열을 수열이라고 합니다 숫자가 나열되어 있는 것을 수열이라고 해요 그리고 나열된 각 수를 그 수열의 항이라고 합니다 예를 들어 2도이 수열의 항이구요 6도항이고 4도 항이고요 8도 항입니다 이렇게 하나하나를 항이라고 부를 거예요 자 그러면 요렇게 2 4 6 8 이렇게 쭉 나열되어 있어요 숫자가 그런데 우리는 첫 번째 오는 숫자를 첫째항이라고 합니다 첫 번째 오는 거를 첫째 두 번째 오는 거를 둘째 항이라고 하겠죠 둘째 항 이렇게 이름을 붙이고요 또 다른 이름은 제 1항 제2항 이런 식으로도 이름을 부를 수가 있습니다 기호로는 어떻게 표현할 수 있냐면 얘를 a에 1이라고 쓰고요 얘는 a의 2 얘는 세 번째 항이니까 3이라고 쓰고요네 번째 항이라 a4라고 씁니다 여기서 a는요 꼭 a라고 쓸 필요는 없어요 우리가 집합에 AB 이름을 붙이듯이 수열에도 이름을 붙인 겁니다 b로 표현을 해도 되고요 x로 표현을 해도 상관이 없습니다

자 그러면 우리가 요렇게 수요를 나타낼 수 있는데 얘네들을 모두 합쳐서 이렇게 나열된 수열들을 합쳐서 이렇게 중괄호를 쓰고요 a의 n 이렇게 쓸 수 있습니다 그래서 애니에다가 1을 넣으면 첫번째 항 2를 넣으면 두 번째야 요렇게 되는 겁니다 그리고 우리가 이제 수열에서 제일 중요한 건 일반항이라는 걸 구하는 건데요 n 번째 항 즉 an을 일반항이라고 하고요 이거를 구하는 연습을 할 겁니다 자 넘어가겠습니다 등차수열의 뜻인데요 우리가 이제이 수열 중에서 가장 먼저 배우는 수열이 등차수열이에요 등차수열 자 여기 지금 예시가 하나 있는데요 1 4 7 10 자 한번 숫자를 볼게요 1 4 7 10 자 숫자들이 어떤 규칙을 가지고 있어요 3을 더 하고요 3을 더하고 3을 더하고 계속 3을 더하는 거예요 이렇게 똑같은 숫자를 계속 더해서 그 숫자들을 나열하는 수열을 우리는 등차수열이라고 합니다 자 교재를볼게요 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만들어지는 수열을 등차수열이라고 한다고 적혀 있어요 자 그리고 우리가 등차수열이 꼭 3일 더하는 건 아니겠죠 꼭 3을 더하는 건 아니고요 이렇게 똑같은 수 더해지는이 똑같은 수를 우리는 공차라고 합니다 공차

자 그러면 제가 요거를 이렇게 써 볼게요 첫째랑 A1 두 번째 양 a2 세 번째 양 A3 이렇게 쭉 가서 n번째 항이 있을 거예요 그리고 그 다음 항도 있어요 n + 1이라고 쓸 수 있겠죠 자 얘네들이 계속 공차 길을 더하는 겁니다 공차를 뒤로 하면 d를 계속 더해요 얘도 d를 더하겠죠 그러면 우리는 여기서 이런 관계를 쓸 수가 있어요 a의 n + 1은 a의 n + d 그리고 a의 n + 1 -a에는 d라고도 쓸 수 있겠죠 d를 이항해 준 겁니다 그러면 요렇게 써 있으면 우리가 등타수열이라는 것을 알 수가 있습니다 자 이때요 수열은 n에다가 자연수만 넣을 수 있어요 자연수만 첫 번째 항 두 번째 항 요런 숫자들을 의미하기 때문에 자연수만 가능합니다 자 넘어가서요요 수열을 보면 -20246의 공차를 구하라고 했어요 자 몇을 더했어요 2를 더했죠 2를 더 있구요 계속 일을 더합니다 그래서이 수열은 공차가 2인 등차수열입니다 여기까지는 쉽습니다 자 그래서 여기가 이제 등차수열의 일반항이라고 해서 우리가 일반항 구하는 연습을 할 거예요 자 제가 수열의 예시를 하나 적겠습니다 17 이런 수열이 있다고 합시다 쭉 갈 거예요자 그랬을 때 만약에이 10일 즉네 번째 항을 구하기 위해서는요 첫째 항 2에다가 여기서 일로 갈 때 공차 3을 더 있죠 여기서 일로 갈 때도 공차 3을 더 있어요 여기서 일로 갈 때도 공짜 3을 더 있죠 그러면 수열의네 번째 항이 되기 위해서는 첫째항 2에다가 공차를 몇 번 더 해야 돼요 세 번 더 하고 11이 되죠 즉 첫째 항 2에다가 공차를 세 번 더해서 11이 되었습니다 5번째 항을 볼게요 5번째 항 a5는요 첫째 항 2에다가 공차를 몇 번 더 했어요 네 번 더 있습니다 이렇게 쭉 4번 더 하고 14가 된 거예요 이렇게 쓸 수 있겠네요 a5는 2+3 곱하기4 즉 15라구요 그럼 만약에 n 번째 항이면요 공차를 몇 번 더 있을까요 우리가 요렇게 a사와 a5에서 알 수 있듯이 공차는 간격이라서 항의 개수가 아니라 간격 개수라서 항의 개수보다 하나 적습니다 그래서 an을 구하려면 첫째 항 2에다가 공차를 몇 번 더 해요 간격 개수 n - 1개를 더하는 겁니다 즉 3n -1이라고 쓸 수 있죠 우리가 이렇게 an을 구하는 과정을 일반항을 구한다고 표현을 해요 우리가이 일반항을 구하는게 제일 중요하고요 만약에 첫째 항이 a고 공차가 뒤인 등차수열이면 a에는 a+m-1의 d라고 표현을 할 수가 있습니다 이렇게 우리는 일반항을 구할 거예요 n에다가는 1 2 3 자연수만집어넣을 수 있는 것도 확인할 수 있죠

자 그러면 직접 일반항을 구해 보도록 하겠습니다 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열의 일반항을 구하는 거고요 우리가이 수열을 an이라고 하면 3 + 간격 m - 1개에다가 공차 4 이렇게 써줄 수가 있습니다 그래서 3+4n - 4구요 4n - 1을 우리가 일반항으로 구할 수 있는 겁니다 자 이번엔 등차 중앙인데요 세수 abc가 등차수열을 이룬데요 그러면 우리가 a가 있어요 얘가 b가 되기 위해서는 공차 d를 더해 줘야 되죠 그리고 또 공차 d를 더해야 c가 됩니다 그러면 이런 식을 쓸 수가 있어요 공차 d는 b-a 이렇게도 쓸 수 있겠네요 d는 c-b 그러면 b-a는 c-b에서b를 좌변으로 보내주고 a를 우변으로 보내주면 이렇게 쓸 수 있어요 그래서 b는 2분의 a+c라는식이 유도가 되는 겁니다 이렇게 가운데 있는 항은 가운데 있는 항은 a와 c를 더해서 반으로 나눠주면 b를 구할 수 있는 거예요 우리가이 관계식을 등차 중앙이라고 합니다 요거를 활용해서 개념 예제를 풀어 볼 건데요 자 가운데 있는게 2x+1이에요 그러면이 x+1은이 x와 8을 더해서 2로 나눠준 거와 같은 거죠 왜냐하면이 순서대로 등차수열을 이루고 있으니까요 자 그래서 양변에 2를 곱해주면 4x+2는 x+8이고 3x는 6이니까 x는 2라고 우리가 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 등차수열에 관한 내용을 모두 학습을 했습니다다음 시간에는 또 다른 수열인 등비수열을 배울 거예요 그래서 등차수열과 조금 헷갈릴 수 있으니까 등차수열 내용을 꼭 꼼꼼하게 복습을 하고 다음 강의를 듣도록 하는게 좋을 것 같습니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생하셨습니다 감사합니다