[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 수열 - 등비수열의 일반항

오늘 내용은 등비수열의 일반항입니다 우리가 지난 시간에 등차수열의 일반항을 배웠어요 등차수열이 뭐예요 똑같은 거를 계속 더해서 즉 공차를 계속 더해서 나열한 수요를 등차수열이라고 했습니다 등비수열은 뭘까요

자 한번 보도록 할게요 등비수열이 뭐냐면 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하는 거예요 등차수열은 더하는 거고요 등비수열은 곱하는 겁니다 그거를 등비수열이라고 하고요 그 곱해주는 일정한 수를 공비라고 합니다 그러면 우리가 요렇게 쓸 수 있겠네요 an에다가 그 다음 확인되기 위한 n+1번째 an+1이 되기 위한 어떤 수를 곱해요 공비 우리는 공비는 주로r이라고 씁니다 r을 곱해서 an+1이 되는 거예요 식으로 쓰면 이렇게 되겠네요 a의 n + 1은 r 곱하기 a의 n 그러면 이렇게도 쓸 수 있습니다 an분의 a의 n + 1이 공비다 이렇게 쓸 수가 있어요 자 그리고 우리가 일반적으로 첫째 항이 0이 아니고요 공비가 0이 아닌 것만 다루고 있습니다 왜냐하면 첫째 항이 0이면 똑같은 수를 곱해도 계속 0이죠 그리고 공비가 0이면 곱했을 때 계속 0이 되니까 우리는이 두 가지 경우는 빼고 등비수열이라고 합니다 자 넘어가서 우리가 등비수열인 걸 한번 찾아볼게요 자 등비수열인 걸 찾고 등비수열이면 공비를 구하라고 했는데요 1이 2가 되려면 2를 곱해야 되죠 근데 그 다음으로 갈 때 또 2를 곱했나요 아니죠 그러면 우리가 이거는 등비수열이라고 하지 않습니다 자 2번도 보면요 1인 -1이 되려면-1을 곱해야 되는데 -1이 3이 되기 위해서 -3을 곱해야 돼요 숫자가 변하면 등비수열이 아닙니다 2가 4가 되기 위해선 2를 곱해야 되고요 4가 6이 되기 위해서 2를 곱하면 되나요 안 되죠 자 그리고 우리가 2468을 보면 무슨 소열인 걸 알아요 등차수열이란 거 우리가 지난 시간에 배웠습니다이를 계속 더해주고 있어요 자 4번 볼게요 2 4 8 16 야설 곱했어요 2를 곱했죠 또 2를 곱하고요 또 2를 곱해요 똑같은 수 2를 계속 곱하고 있습니다 얘는 무슨 수열이에요 등비수열이죠 얘가 등비수열이구요 이때 공비는 몇이에요 공비는 2입니다 자 마지막 수열을 보면 2가 3이 되려면 2분의 3을 곱해야 되는데 3이 5가 되기 위해서는 3분의 5를 곱해야 되죠 두 수가 다릅니다 등비수열이 아니네요

자 이렇게 우리가 등비수열까지 찾아봤어요 이번에 등비수열에 일반항인데요 우리가등차수열 구할 때와 조금 비슷하게 일반항을 한번 구해 보도록 할게요 첫째항 두 번째야 세 번째 항네 번째 이렇게 쭉 해서 an이 있다고 합시다 a1이 a2가 되기 위해서는 공비 r을 곱해요 여기도 r을 곱하겠죠 또 R 곱해요 자 그러면 첫 번째 항이 네 번째 항이 되기 위해서는 공비를 몇 번 곱했어요 세 번 곱했죠 요것도 마찬가지로 간격 개수입니다 그래서 a4는 첫째항 곱하기 공비의 3제곱이라고 써요 자 그러면 n번째 항까지 간다고 치면 공비를 몇 번 곱해야 되겠어요 공비를 간격게 쓰인 n-1번 곱하는 겁니다 그래서 an은 A1 곱하기 아래 n - 1 제곱이에요 이게 우리는 바로 등비수열을 구하는 일반항입니다등비수열의 일반항이라고 합니다 자 그러면 개념의 제 풀어 볼게요 첫째 항이 오고 공비가 3인 등비수열의 일반항이에요 그러면이 등비수열을 an이라고 할 때요 첫째항은 오고 공비는 3이고 일반항을 구할 때 공비의 간격 개수만큼 거듭제곱을 해주죠 이렇게 n - 1 제곱을 해주면 됩니다 자 이번엔 등비중앙인데요 0이 아닌 세수 abc가 등비수열을 이뤄요 우리가 요거를 등차수열에서도 비슷한 걸 했었어요 등차 중앙이라고 자 그러면 우리가 abc를 나열을 했을 때 a b c에서 a가 b가 되기 위해서는 r을 곱합니다 b가 c가 되기 위해서 마찬가지로 r을 곱해요 그러면 우리가 r은 a분의 b라고 쓸 수도 있고요 b분의 c라고 쓸 수도 있습니다 이때 양변에 ab를 곱해주면좌변은 b^2 우변은 ac가 돼서요 요런 등차 중앙 공식이 나옵니다 가운데 있는 b를 제곱을 해주면요 a와 c를 곱한 것과 같습니다 자 그러면 등비중앙을 활용하여 개념 예제를 보도록 할 건데요 자 세수 3x27이 등비수열을 이룬다고 했어요 그러면 가운데 있는 x를 제곱하면 3과 27을 곱한 것과 같죠 자 3과 27을 곱하면 81입니다 제곱해서 81 되는 x값은 뭐 있어요 9랑 -9입니다 그래서 x값이 둘 다 되는 거예요 자 x가 9인 경우는요 3하고 9하고 27이니까 공비가 몇인 경우 3인 경우 그리고 -9인 경우는요 3하고 -9하고 27이니까 이때는 공비가 몇인 거예요 마이너스 3인 경우입니다둘 다 성립을 합니다 마이너스를 빼먹지 않도록 주의해야 될 것 같아요

자 여기까지 해서요 우리가 등비수열 학습을 마쳤구요 등차수열하고 비슷한 부분이 많아서 등차수열을 꼼꼼하게 공부했으면 등비수열은 수월하게 이해하셨을 거라고 생각을 합니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다