[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 수열 - 등차수열과 등비수열의 합

자 이번 시간에는 등차수열과 등비수열의 합에 대해 배워보도록 하겠습니다 오늘 등차수열과 등비수열의 합 이렇게 두 가지를 배우도록 할 거예요

자 가장 먼저 등차수열의 합의 어떤 공식으로 계산이 되는지 그거를 볼 건데 교재 내용을 보면 등차수열의 첫째항부터 배낭까지의 합을 sn이라고 한다고 적혀 있어요 요거를 조금 풀어서 쓰면 첫째랑 A1 둘째 아내의 2 해서 n항까지 더한 거를 우리는 sn으로 많이 씁니다 자 여기서 우리는 sn을 계산하는 방법을 배울 거예요 자 혹시 1부터 10까지 더해 본 적이 있나요 1부터 10까지 한번 더 해볼게요 1 + 2 + 3 + 9 + 10 이거를 s라고 하면요 저는 s를 한번 또 쓸 겁니다 또 쓸건데 앞뒤에 순서를 바꿔서 거꾸로 쓸 거예요 그러면 10 + 9 + 8 + 2 + 1까지 그러면 우리가 뭐를 눈으로 확인할 수 있냐면 1과 10을 더하면 몇이에요 11 2와 9를 더해도 10이 3과 8을 더해도 11 여기 있는 9와 2를 더해도 11 10과 1을 더해도 10일입니다 즉 제가이 s와 s를 더해서 2s를 계산을 해주면 11만 있는 거예요 10일이 총 몇 개 있을까요 우리가 1부터 10까지 10개 더 있으니까 11도 10개 있는 거죠 그래서 11 곱하기 12구요 s를 계산을 해주면 55라고 우리가 계산을 할 수 있어요 제가 1부터 10까지 더했는데 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10은 공차가 1인 등차수열이라고 할 수 있어요 그래서 우리는 등차수열의 합 공식을 이와 같은 방법으로 유도를해냅니다 자 sn을 이렇게 쭉 나열을 해 볼게요 A1 A1 + d A1 + 2D 그래서 어디까지 더해요 A1 + m - 2의 d A1 + m - 1의 d까지 다 더하는 거죠 자 마찬가지로 SNL 거꾸로 씁니다 A1 + m - 1의 d부터 쓸 거예요 A1 + m - 2의 d A1 + m - 3의 d 쭉 가서 A1 플러스 d + A1 자 그러면 이렇게 위아래로 두 개씩 더 있을 때 어떤 값이 나와요 2a1 + m - 1이 d가 나옵니다 얘랑 이렇게 더해도 똑같이 나오고요 이렇게 두 개를 더해도 똑같이 나와요 얘도 똑같이 나오고얘도 똑같이 나옵니다 그래서 우리는 두 sn을 더해주면요 좌변은 esn이고 우변은 2a1 + m - 1을 총 몇 개 더하는 거예요 n개 더하는 겁니다 그래서 sn을 우리는 1/2 곱하기 2a1 + n - 1의 b라고 계산을 할 수가 있어요 자 글씨가 조금 보기 힘들어서 다시 썼습니다 자 이렇게 쓸 수가 있어요

자 하나만 더 볼게요 우리가 여기 써 있는 거를 an이라고 할 수 있죠 즉 ea1 플러스 m - 1의 d는 A1 + an이라고 들 수 있어요 그래서 우리가이 공식을 이렇게도 쓸 수 있습니다 2분의 n 곱하기 A1 + an이라고 써도 상관이 없죠이 부분하고이부분하고 같은 거니까 이렇게 공식을 쓸 수도 있습니다 자 두 가지 다 사용을 할 거고요 제가이 공식 유도하는 과정을 보여드린 이유는 우리가 이런 아이디어를 활용해서 문제들을 풀 때가 있어요 그러니까 이렇게 공식을 유도할 수 있구나 그것도 한번 봐 주시면 좋겠습니다 자 개념인쇄 보면서 한번 직접 써보도록 할게요 자 1번 보면요 첫째항이 2라 그랬고 제시판이 20이라 그랬어요 제가 요런 등차수열을 an이라고 하겠습니다 an 자 그랬을 때 첫째 항이 2니까 a1은 2구요 지팡이 20이라서 a12 20입니다 그랬을 때 우리가 구하는 건 a1부터 a10까지 구하는 거구요 우리가 이거를 합을 s10이라고 쓰는 경우가 많아서 저도 s12라고 쓰겠습니다 자 그러면 2분의 10 곱하기 A1 + an이라는 공식이 있죠 10판까지 더하는 거니까 2와 20을 더해주면 되겠네요그러면 2분의 10 곱하기 22구요 이렇게 약분해서 5 곱하기 21을 계산해주면 110이라는 거 우리가 구할 수 있습니다

자 두 번째 문제는요 이번에는 수열을 bn이라고 할게요이 수열을 bn이라고 하면요 첫째 하는 3이래요 첫째 항은 3이고 공차가 1회요 그러면 첫째항 b1부터 B2 어디까지 더해요 20까지 더하는 겁니다 2분의 10 곱하기 자 공식이 어떻게 돼요 공식을 한번 적어 드릴게요이 A1 플러스 m + 1의 d를 써 줘야 됩니다 자 그랬을 때 2a1이니까 여기는 첫째항이 3이어서 2 곱하기 3 n - 1의 d죠 그러면 9 곱하기 d입니다 자 여기 지금 a1이라고 쓴 거랑 여기다 b1을 집어넣은 거는얘는 지금 공식을 쓴 거라서 제가 a1이라고 쓴 것 뿐이에요 왜 a1이고 b1이고 헷갈려 하지 마세요 요거는 공식을 쓴 거예요 공식 자 그러면 요거를 계산을 해주면 이렇게 약분했을 때 5구요 아내가 6+18이니까 24 곱하기 5에서 120으로 계산을 해주면 됩니다 자 넘어가서요 이번엔 등비수열의 합을 볼 거예요 자 첫째항이 a고 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 n항까지 합 sn은요 이렇게 계산한대요 reb 아닐 때 아리일 때 나눠져 있고요 SNL 이렇게 계산합니다 공비가 1이면 만약에 공비가 1이면 우리가 첫째항이 a고 두 번째 항도 a이고 세 번째 항도 a고 계속 a죠 그래서 n개라서 총 n개라서 모두 더했을 때 na가 되는 겁니다 a가 n개니까 na죠 자 그러면우리가 신경 써야 될 건 요거인 거 같아요 공비가 1이 아닐 때 자 s를 한번 쭉 나열을 해 볼게요 첫째랑 a라 그랬고요 두 번째 항 AR 세 번째 항 AR 제곱이죠 그렇게 해서 n번째야 ar의 n - 1 제곱입니다 자 저는 여기다가 공비를 안 하고 팔게요 공비를 하나 곱하면 좌변은 R 곱하기 S 구요 우변은 AR ar제곱 가서요 ar의 n제곱까지 됩니다 자 그러면 이번에 보면 위에 위의 식과 아래 식의 공통인 항들이 있어요 요렇게 그렇죠 그래서 위의 식에서 아래식을 한번 빼볼게요 빼면요 좌변은 s-rs 구요 arar 사라지고 AI 제곱 AI 제곱 사라져요 지금 여기에arm-1²도 있어서 얘까지도 사라집니다 그럼 남는 건 a - ar의 n제곱이고요 좌변을 s로 묶었을 때 1 - 아래 S 우변은 a로 묶었을 때 1 - r의 n제곱 따라서 우리는 s는 1 - r분의 a의 1 - r의 n 제곱입니다 자 그러면 우리가 부모 분자의 -1을 곱하면 a - 1분의 a의 아래 n제곱 마이너스 1이라고도 쓸 수 있는 거예요 그래서 우리는 둘 다 똑같은 식이긴 한데 아리 1보다 클 때는요 분모가 양수가 되는요 공식으로 계산하고요 r1보다 작을 때는 분모가 양수가 되는이 공식을 활용해서 우리는 계산을 해줍니다 자이 과정도요 우리가 문제를 풀 때 여기서 아이디어를 얻어서 푸는 경우가 있으니까 합에다가 공비를 한번 더 곱해서 합에다가 공비를 한번 더 곱해서 우리가 똑같은 항을 소거시켜합을 구하는 방법이 있다는 걸 알아두시면 좋겠습니다

자 넘어가도록 할게요 자 공식을 활용해서 우리는 등비수열의 합을 구해 볼 거고요 sn을 한번 써드릴게요 공비 마이너스 1분의 첫째항 곱하기 공비의 n제곱 마이너스 1입니다 자 첫 항부터 제시판까지 합을 구하는 거고요 s10은 공비는 2라 그랬네요 2-1분의 첫째 항 1 곱하기 2의 10 제곱 마이너스 1입니다 그러면 분모는 1이고 1은 없는 거니까 2의 10제곱 마이너스 1과 같고요 2의 10 제곱은 1024고 계산을 해주면 1020 3입니다 자 여기까지 해서 우리가 등차수열과 등비수열의 합을 계산을 해봤습니다 자 이번엔 수열의 합 sm과 일반항 an 사이의 관계인데요 우리가 sn을 쭉 나열하면 이렇게 쓸 수 있어요 A1 A2 A3쭉 가서 am-1 a의 n까지요 자 s의 합이니까 A1 A2 그대로 더하고요 어디까지만 더하는 거예요 a의 n-1까지만 더하는 겁니다 그러면 위의 식에서 아래 식을 빼면요 좌변은 sn-s-1이고 우변은 여기에 있는 항들이 많이 사라져요 얘네들이 다 사라지죠 그리고 뭐만 남아요 an만 남습니다 즉 a에는 SN - sm-1로 계산을 할 수가 있어요 우리는 일반항을 가지고 합을 계산할 수도 있지만 합을 가지고 일반항을 찾아낼 수도 있는 겁니다 뭐를 통해서 바로 이식을 통해서 그냥s에다가 1 대입하면 1항까지 합이니까 a1하고 s1하고 같아서 이거를 통해서 우리는 A1 첫째 항을 구할 수 있는 겁니다

자 그러면 우리가 이거를 잘 구분해서 문제를 풀어 줘야 되는데 한번 개념 예제 보도록 할게요 자 1번 먼저 볼게요 1번 먼저 보면 지금 sn이 주어져 있어요 sn이 n제곱 플러스 2n + 3이라고 주어져 있습니다 이걸 가지고 an을 구할 수 있고요 sn-s-1이라는 [음악] 식으로 계산을 해 줄 거예요 sn은 n제곱 플러스 2n + 3이고요 s의 n - 1은 n - 1의 제곱 플러스 2의 n-1 + 3입니다 자 그러면 n제곱 플러스 2n + 3 - n제곱 마이너스 2n + 1 + 2n - 2 + 3입니다 그러면 -2n+2는 사라지고+ 1 -2 + 3 해주면 플러스 2예요 그래서 n제곱 플러스 2n + 3 - n제곱 -2라서 정리해주면 2n + 1만 남습니다 자 그런데 주의해야 될 점은 뭐라고요 이거는 n값이 2 이상일 때만 성립하는 식이라고요 우리가 a1일 때는 인식을 가지고 계산을 못합니다 그럼 a1은 어디서 구한다고요 따로 s1과 같다는이 조건으로 s1을 계산을 하면 1 + 2 + 3이랑 6이니까 우리는 a1이 6이구나 요거를 따로 생각을 해 줘야 돼요 자 그래서 문제에서 구하는 A1 + a5를 계산을 해주면요 6 + a5는 11이죠 그래서 17입니다 자 2번도 풀어볼게요 같은 방식으로 풀 거예요 a1을 계산을 해 줄 거고요sn-s-1을 가지고 계산을 해 줄 겁니다 sn은 3의 n제곱 플러스 1 sm- 이거는 3의 n - 1² + 1 자 그랬을 때 3의 n제곱 플러스 1 - 3 -1² -1 -1 사라져서 3의 n - 1로 묶었을 때 3 - 1이에요 그래서 다음에 n - 1 제곱 곱하기 2가 우리가 구하고 싶은 an입니다 마찬가지로 n이 2이 이상일 때만 성립하는 식이고요 a1을 따로 s1과 같다는 조건으로 계산을 해주면 4라고 나오네요 그러면 우리가 구하는 A1 + a4는요 a1은 4 a4는 3의 3제곱 곱하기 2 즉 4 + 54라서 최종적으로 58이라고 답이 나옵니다

자 여기까지 해서요 우리가등차수열과 등비수열의 합을 구하는 공식 배웠고요 마지막에 우리가 합을 가지고 일반항을 찾아내는 방법 그때이 주의점까지 우리가 학습을 모두 마쳤습니다 공식을 당연히 모두 외워서 진행을 해야 되고요 뒤에 우리가 새로운 내용을 배우는데 조금 복잡한 기호가 나와요 근데 그걸 할 때도 우리가 여기서 배운 내용을 써서 계산을 해주니까 오늘 배운 내용 꼭 꼼꼼하게 복습하고 뒤에 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨습니다 감사합니다