[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 수열 - 시그마와 여러가지 수열의 합

자 오늘은요 시그마와 여러가지 수혈의 합을 배워보도록 할 거예요 자 여기 처음 보는 기호가 하나 등장합니다 이렇게 처음 보는 기호가 하나 등장하는데 제가 이거를 시그마라고 읽었어요 이렇게이 기호는 우리가 시그마라고 읽고요 우리가이 기호가 어떤 걸 의미하는지 먼저 볼게요

자 a1부터 an까지 이렇게 싹 더할 거예요 수열 an을 제1항부터 제 n항까지 더할 겁니다 그러면 우리는 그거를 기호로 요렇게 시그마를 쓰고요 수열 an을 더하는데 자 an을 첫 탕 a1부터 제 n항 an까지 더해요 즉이 자리 이 자리에 오는 숫자가 1부터 n까지죠자 그런데 우리가 이거를 저 네모를 뭐라고 쓰냐면 보통 k라고 씁니다 게이는 1부터 n까지 ak를 판다 이렇게 표현을 해 주는 거예요 그래서 기호로 이렇게 적혀 있네요 우리가이 기호를 풀어서 이렇게 나열할 수도 있어야 되고요 수열이 나열되어 있는 거를이 기호로 이렇게 나타낼 수도 있어야 됩니다 자 그래서 지금 여기 보면 첫째랑 내남 그리고 여기다리에 오는 ak가 일반항이다 이렇게 설명이 되고 있어요 자 우리가 그 다음 교재를 쭉 읽어 보도록 할게요 수열 ak에 1부터 n까지 차례로 대입하여 A1 A2 an의 합을 뜻한다고 적혀 있어요 제가 방금 설명한 내용이죠 자 두 번째 내용 보면 꼭 k자리에 K 대신 i나 j를 사용해서 나타낼 수 있다고 적혀 있어요 우리가 여기 지금k가 1부터니까 여기에 k가 들어와 있죠 근데 k가 아니라 i를 넣으면 일반항에도 아이를 넣어주면 되고요 j부터면 여기다 j를 넣어주면 됩니다 ok라고 쓸 필요는 없는 거예요 제일 많이 쓰는 건 케이이기는 합니다 자 마지막 3번까지 보고 넘어갈 건데요 menei 때 m항부터 n항까지의 합을 기호로 이렇게 표현할 수 있다고 써 있어요 자 a1부터 a5까지 더하면요 A1 A2 A3 A4 a5를 더하면 시그마 k는 1부터 5까지 ak라고 쓸 수가 있어요 자 근데 우리가 꼭 1항부터 더할 필요는 없는 거예요 만약에 A3 A4 a5를 더하면 시그마 3항부터 시작이니까 k는 3부터 5까지 AK 이렇게 표현해도 무방한 겁니다

자 다음으로 넘어갈게요 자 개념 예제 볼 건데요 1 +4 + 7 + 쪽 더해서 28까지도 한 걸 시그마를 이용해서 나타내라고 했네요 제가 이거를 a1 A2 A3 얘를 an이라고 하겠습니다 그러면 우리는 수열 a에는 어떤 수열이란 걸 확인할 수가 있어요 등차수열이라는 것을 확인을 할 수가 있습니다 자 그래서 an을 일반항을 구해주면 적재량 1 + 2 n - 1에다가 공차를 곱해주죠 공차는 지금 몇 시예요 30 더하는 등차수열입니다 그래서 공차는 3 요거를 계산해 주면 3n - 2라고 우리가 계산을 할 수가 있어요 자 그러면 우리가 시그마 키는 1부터 n까지 ak골로 표현을 해주는데요 시그마 k는 1부터 ak가 지금 우리 구했더니 일반항이 3k - 2라고 쓰면 되는 겁니다 an이 3의 마이너스 2니까an이 3n - 2니까 ak는 3k - 2라고 써주면 돼요 자 근데 어디까지 합이에요 28까지 합이죠 28이 그러면 우리는 몇 번째 항인지를 찾아야 되는 거예요 즉 3n-2는 28에서 얘는 10이니까 항이 총 10개인 겁니다 그래서 k는 1부터 10까지 이렇게 기호로 표현을 해주면 우리가 시그마를 이용해서 올바르게 표현을 한 겁니다 우리가 시그마로 표현하기 위해서는 결국 뭐를 구해줘야 돼요 바로 일반항을 구해줘야 돼요 그리고 한 개수도 찾아 줘야 됩니다

자 넘어가겠습니다 시그마의 기본 성질인데요 우리가 시그마는 맨 처음 단원 이름 메인 처음 제목 이름이 뭐였냐면 합의 기호라고 써 있어요 합의 기호 시그마 자 그러면 1번을 한번 풀어서 써 볼게요 여기 앞에 있는 k1부터 n까지AK + bk를 풀어서 써보면 A1 플러스 b1 그다음 a2+b2 그다음 A3 B3 이렇게 해서 쭉 더 하는 거죠 어디까지 더해요 an+bn까지 더합니다 자 이랬을 때 우리는 괄호를 없애고요 A1 a2끼리 묶어서 이렇게 쓸 수 있어요 A1 A2 am b1b2 b3를 싹 묶어서 비원 B2 B3 어디까지 가요 bm까지 우리가 이렇게 순서를 바꿔서 표현을 해 줄 수가 있어요 그러면 여기서부터 여기까지 a1부터 an까지만 시그마로 표현을 해주면 시그마 개인은 1부터 n까지 AK 뒤에 있는 b1b2b3 bn도 시그마로 표현을 해주면 개인은 1부터 n까지BK 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 bk죠 제가 bn이라고 썼네요 k라고 써야 됩니다 자 이렇게 표현이 되는 거예요 그래서 우리가 합의 기호기 때문에이 시그마 안에 있는 플러스를 쪼개서 이렇게 표현을 해 줄 수가 있는 겁니다 자 2번도 같은 방법으로 우리가 확인할 수 있고요 우리가 여기 부어만 지금 -로 바뀐 거죠 부호가 마이너스로 바뀐 거예요 그래서 여기는 그대로 유지되고 여기가 다 마이너스로 묶이죠 이렇게 그러면 어떻게 쓸 수 있어요 그 경우에는 시그마 k는 1부터 n까지 at - 시그마 개인은 1부터 n까지 BK 즉 마이너스도 이렇게 시그마를 쪼개서 쓸 수가 있습니다 자 세 번째 것도 한번 쭉 전개해 볼게요 자 시그마 k는 1부터 n까지 cak이구요 여기서 c는 어떤 실수배 숫자를 말합니다그러면 쭉 전개하면 ca1 ca2 ca3 어디까지 가요 쭉 가서 n번째야 can까지 옵니다 그럼 c로 묶었을 때 A1 + A2 + an까지 가고요 우리가 여기 있는 a1부터 an까지를 시그마로 표현해 줄 수가 있겠죠 개인의 1부터 n까지 ak로요 그래서 이렇게 실수배를 한 거는 밖으로 빼낼 수가 있습니다 그렇게 공식을 활용해 주시면 돼요 자 4번은 시그마 안에 그냥 숫자만 덩그러니 있는 거예요 자 근데 우리가 k에다가 1을 넣고 2를 넣고 해서 쭉 전기를 하는데 그런 k 값에 따라 변하는게 없는 거예요 그래서 c만 계속 더합니다 근데 c를 몇 번 더 한 거예요 엠버도 한 거죠 그래서 C 곱하기 n 즉 cn이 되는 겁니다 이렇게 계산을 해주면 돼요 우리가 주의해야될 점은 시그마는 합의 기호입니다 그래서 어떤 곱셈으로 쪼개거나 이렇게 곱셈을 쪼개거나 제곱도 곱셈이죠 똑같은 걸 두 번 곱한 거니까 그거를 바깥으로 보낼 수도 없고요 이렇게 나눗셈도 우리가 할 수가 없습니다 그래서 곱셈과 나눗셈은 이렇게 항이 있을 때는 안 되고 실수를 곱한 것만 우리가 이렇게 밖으로 보낼 수가 있구나 그렇게 공식을 한번 쭉 봐주시면 될 것 같습니다

자 넘어가서 우리가 개념 예제 보도록 할 거고요 우리가 이렇게 주어져 있어요 시그마 a에는 2 시그마 b에는 3 모두 10판까지 더한 거예요 그러면 우리가 요거를 구하는 거구요 요거를 이렇게 쓸 수 있겠죠 시그마 n은 1부터 10까지 2an - 시그마 n은 1부터 10까지 BM 그러면 2 곱하기 시그마에는 1부터 10까지 an- 시그마에는 1부터 10까지 BN 그래서 2 곱하기 2 - 3으로 계산해 주면 되고요 4-3이니까 1이라고 계산이 됩니다 자 넘어가서 자연수의 거듭제곱의 합인데요 우리가 시그마 안에 k가 있을 때 k^2이 있을 때 k^3이 있을 때 각각 구하는 공식입니다 k가 있으면 1+2+2에서 n까지 더하는 거죠 요거는 1/2 + 1입니다 자 K 제곱을 더할 때는요 1의 제곱 2의 제곱 3의 제곱 n제곱을 더한 거고 6분의 n의 n + 1의 2n + 1이에요 3제곱을 더할 때는요 쭉 더해서 2분의 n에 제곱입니다 제가 이거는 따로 공식 유도를 해드리지 않을 거예요 우리가 공식 유도가 과정이 조금 복잡하고 굳이 알 필요 없는 내용이라 공식을 유도하는 과정을 생략을 하고요이 3개를 꼭 암기를 해줘야 됩니다 이거를 암기해야 우리가 시그마 계산을 할 수가 있어요

자 그러면 어떻게 활용하는지 한번 개념 예제를 보도록 할게요 자 이렇게 시그마 안에 k의 k+1인데요 이거를 우리가 이렇게 바꿀 수 있어요 시그마 k는 1부터 10까지 k 제곱 + k라고요 자 그러면 시그마 성질을 이용해서 시그마 k는 1부터 10까지 k의 제곱 플러스 시그마 k는 1부터 10까지 키입니다 자 그러면 제가 아까 외우라고 했던 공식을 한번 써 드릴게요 지금 아 k는 1부터 n까지 K 제곱은 6분의 1 n의 N + 1의 2n+1 이고요 시그마 k는 1부터 n까지 k는 1/2 + 1입니다 그러면 그거를 활용하는 건데 지금 n자리에 12 들어가 있는 거예요 그래서 이거를 공식을 쓰면 어떻게 되냐6분의 1 곱하기 10 곱하기 n + 11 곱하기 2n+1입니다 플러스 자 시그마 k는 1/2 곱하기 n의 n + 1이죠 그래서 10 곱하기 11이에요 우리가 약분해서요 5 7 5 곱하기 11 곱하기 7이고요 요거는 이렇게 약분해서 55입니다 5 곱하기 11 곱하기 7을 해주면 385가 나오고요 여기다가 55를 더하면 우리가 답이 440이 되는 거 확인을 할 수가 있습니다 그래서 공식을 꼭 외워야만 우리가 여기 써 있는 이런 공식들을 외워야만 우리가 이렇게 시그마를 계산을 할 수가 있는 거예요 이렇게 넘어올 수가 있겠죠 공식을 외워야 그래서 공식은 꼭 외우고 문제 풀면서 연습하시기 바랍니다 자 넘어가서 분수꼴과 무리식이 포함된수열의 합인데요 우리가 이거는 시그마 안에 k나 K 제곱이나 K3 제곱이 아니고 어떤 분수꼴 또는 무리식이 들어가 있는 걸 말해요 자 분수가 들어가 있으면요 분수가 들어가 있으면 우리는 부분분수로 변형을 해요이 공식을 활용을 하는 거죠 이거를 활용해서 변형을 해요 이거 수학 하에서 배운 건데 벌써 까먹지 않았을 거라 생각합니다 까먹으시면 안 돼요 자 이거를 활용해서 부분 분수로 변형을 하고요 자연수를 차례대로 대입을 한대요 시그마를 쓰지 않고 자연수를 차례대로 대입을 한다는 걸 쉽게 말해서 그냥 나열하는 거예요 하나씩 대입해서 나열을 하면 자연스럽게 소거되는 항들이 생깁니다 그렇게 해서 계산을 할 거고요 무리식도 비슷하게 우리가 유리화를 하고 나서요 지금 알을 쓰지 않고 자연수를 차례대로 대입을 할 거예요 즉 요것도 나열해서 우리가 소거되는 항을 찾아 줄 거예요

자 무슨 말인지개념 예정 바로 볼게요 자 1번 문제 보면 지금 분수꼴이에요 그래서 시그마 안에서 부분 분수 변형을 통해서 우리는 게이 플러스 1 - k 그리고 k/2 - K + 1입니다 그러면 얘가 kk 사라져서 그냥 1이에요 그럼 이렇게 쓸 수 있겠네요 지금 아케이는 1부터 10까지 k분의 1 - k+1 그러면 우리가 k에다 1을 대입해서 쓰면 1 - 1/2이에요 자 그 다음에 2를 대입하면요 2분의 1 - 3분의 1이고요 그 다음에는 3을 대입하겠죠 그렇게 해서 어디까지 대입하는 거예요 10을 넣은 것까지 대입을 하는 겁니다 그러면 1/10 - 11분의 1이죠 그러면 우리가 -1/2라고 2분의 1이 사라지고 -1/3라고1/3이 또 사라지겠죠 그러다 어디까지 사라져요 10분의 1까지 사라져요 그래서 남녀는 1과 - 11분의 1이고요 11분의 10으로 우리가 계산을 할 수가 있습니다 자 2번 보면 지금 무리수가 들어가 있어요 무리식 무리수가 아니라 무리식이죠 자 무리식이 들어가 있고 이렇게 무리식이 들어가 있을 때는 유리화를 시켜줍니다 루트 k+1 + 루트 k분의 1이라고 써 있는데에다가 분모분자의 뭐를 곱해주는게 좋겠어요 루트 k+1 - 루트 키 분자에도 루트 k+1 - 루트 킥 그러면 시그마 안에서 어떻게 변형이 돼요 지금 아케이는 1부터 8까지 분모는 k+1 - k이고요 분단은 루트 k+1 - 루트 k입니다kk 사라져서 남는 건 지금 앞 기능 1부터 8까지 루트 k+1 - 루트 k예요 그러면 요것도 마찬가지로 k에다가 1부터 넣어서 나열을 합니다 자 그러면 1을 넣었을 때는 루트 2 - 루트 1이니까 그냥 1이죠 자 2를 넣었을 때는 루트 3 - 루트 2입니다 3을 넣으면 루트 4 - 루트 3 쭉 넣어서요 우리가 루트 9 - 루트 8까지 넣을 거예요 자 그럼 소거되는게 보이나요 루트 2 - 루트 루트 3 - 루트 3 루트 4 - 루트 4 여기도 다 사라지겠죠 그래서 남는 건 루트 9 -1이고요 계산해주면 2라고 우리가 계산할 수 있습니다

자 여기까지 해서 우리가 이번 단원 학습은 모두 마쳤고요 우리가 시그마라는 개념 자체가 되게 복잡하게 느껴질 수 있어요 기호가 조금 문자가 많이 들어가 있기 때문에복잡하게 느껴질 수가 있는데 그 시그마를 표현하는 연습도 많이 하시고요 지금 알을 다시 나열해서 계산하는 방법도 우리가 있으니까 그런 것도 충분하게 연습을 하시기 바랍니다 그리고 우리가 꼭 외워야 될 거 시그마 k 시그마 k^2 얘네들은 꼭 외워두셔야 돼요 안 외우고 문제풀이 하면 안 됩니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]