[수학대왕] 수학 I 개념강의 : 수열 - 수학적 귀납법

오늘 배울 단어는 수학적 귀납법입니다 우리가 수학적 귀납법이라고 명칭을 딱 들었을 때 조금 어렵게 느껴져요 이름이 어렵죠 자 기납이 뭔지 한번 설명을 드릴게요 귀납이 뭐냐면 우리가 개별적인 사실들을 모아서 하나의 결론을내는 걸 진압이라고 합니다 귀납법이라고도 하고요 예를 들어 3학년 1반 학생이 어떤 학생이 남자예요 그리고 그 옆에 있는 학생도 남자입니다 뒤에 있는 학생도 남자고요 그 반에 있는 학생들이 하나하나가 모두 남자라는 사실을 우리가 알고 있어요 그러면 우리는 어떤 결론을 내릴 수 있어요 3학년 1반은 남자 학생만 있다 이런 결론을 내릴 수 있죠 이렇게 개별적인 사실 학생 한 명 한 명이 남자라는 사실을 모아서 3학년 1반 학생이 모두 남자다 그런 결론을 도출하는 방식을 우리는 귀납법이라고 해요

자 이거를 우리가 수열이 좀 적용을 시키는 거예요 수열의 기납적 정의인데요 자 수열의 첫째항 a1의 값이 있고요 이웃하는 두항의 관계식이 이렇게 만약에 주어져 있어요 그러면 자 우리가 이렇게 두항 an과 an+1 사이의 관계식을 주는 거는요 각 두항씩 관계식을 다 준 거예요 그러면 우리는이 사실과이 사실과이 사실과이 사실을 모두 모아서 하나의 수혜를 만들어낼 수 있잖아요 그래서 이렇게 정의를 하는 걸 우리가 수열의 진압적 정의라고 합니다 자 교재를 한번 쭉 읽어 볼게요 n에다 1 2 3을 차례로 대입하면 수열 an의 모든 항을 구할 수 있다 그러면 처음 몇 개의 양과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 우리 수열을 정의하는 것을 수열의 기납적 정의라고 한다라고 적혀 있어요 우리가 사실 이미 배웠던시기 하나 있습니다 어떤식이 있어요 an+1 - a에는 d라는이 식을 우리가등차수열에서 배운 적이 있어요 한과 항 사이가 항에서 하늘 뺐을 때 공차 뒤로 일정하다는 식이고요 그러면 우리가 모든 항 사이에서 차이가 일정하다는 걸 알고 있기 때문에 이런 개별적 사실들을 모아서이 수열은 등차수열을 이루는거다라고 우리는 결론을 내릴 수 있는 겁니다 마찬가지로 우리가 지난 시간에 배운 등차수열에서 배운이 d가 공차라고 배웠으니까 여기도 마찬가지로 공차가 뒤인 등차수열인 거예요 자 그 10분만 아니라 우리는 요런 관계 식도 배웠어요 얘는 뭐예요 등차 중앙이라고 하죠 등차 중앙인 경우에도 우리는 이수열이 등차수열임을 알 수가 있는 겁니다 자 그러면 개념 예제를 한번 볼게요 자 만약에 문제 이렇게 써 있어요 그러면 a의 n + 1 - an이 3이라는 소리죠 그러면 우리는 이거를 보고 어 한과 항 사이의 관계가 뺐을 때 3이 유지되니까 얘는등차수열이구나 이런 결론을 낼 수 있는 겁니다 그래서 우리가 등차수열의 일반항 구하는 공식으로 일반항을 구할 수 있고요 첫째항 1에다가 n-1 곱하기 공차 3 계산해주면 3인 -2가 바로 수열 an의 일반항입니다

자 넘어가겠습니다 이번엔 등비수열의 귀납적 정의고요 마찬가지로 an+1 나누기 a에는요 항상 r로 일정이에요 이건 무슨 수열이에요 공비가 아린 등비수열 이런 관계식이 써 있으면 우리는 얘가 등비수열이구나 공비가 아닌 등비수열이구나 이렇게 생각을 해주시면 되고요 마찬가지로 등비중앙이 주어진 경우에도 우리는 얘가 등비수열이구나라는 거를 알 수가 있습니다 자 개념 예제 보면요 a1은 2고 an+1은 2am이에요 그러면 첫째 항은 2고 공비가 2네요 그러면 수열 a에는 첫째항 곱하기 공비 2의 n - 1제곱이고 정리하면 이게 n제곱이라고 일반항을 구할 수가 있습니다 자 넘어가서 이번엔 여러가지 수열의 귀납적 정의인데요 제가이 내용을 한번 보기 전에 이런 예시를 하나 드려볼게요 1 2 4 7 11 16 이런 수열이 있다고 해봅시다 어떤 규칙성을 갖는지 한번 볼게요 몇을 더 있어요 1을 더 있어요 2를 더했죠 3을 더했습니다 4를 더 있구요 5를 더 있어요 어떤 일정한 수를 더해주는게 아니에요 등차수열이 아닙니다 우리가 이거는 등차수열이라고 할 수가 없어요 자 그래서 이런 숫자들을 이런 수열을 우리가 표현을 하려고 보니까 지금 더하는 숫자가 a1에서 a2로 갈 때 1을 더 있구요 a2에서 a3로 갈 때 2를 더 있어요 자 그러면 만약에 an이 an+1이 되기 위해서는 뭐를 더할까요바로 n을 더하는 겁니다 그래서 이거를 식으로 표현하면 am+1은 an + n이라고 쓸 수 있는 거예요 자 그런데 꼭 n일 필요는 없겠죠 여기에 있는 1 2 3 4 5가 다른 규칙성을 가질 수도 있어요 그래서 그거를 fn으로 표현하면 요렇게 an+1은 an + fn의 꼴로 우리가 표현을 할 수 있는 겁니다 제가든 예시의 경우에는 fn이 바로 n인 거죠 자 그러면 이거를 어떻게 계산하냐 자 오른쪽에 보면 이렇게 하나씩 나열을 했어요 3을 대입한 거 n - 1을 대입한 거 그랬을 때 이거를 싹 다 더하면요 사라지는 것들이 있죠 얘랑 얘랑 소거되고 얘랑 얘랑 소거되고 쭉 소거돼서요 결국 남은 건 좌변에 a인로고요 우변의 A1 이렇게 오고 여기f1부터 F2 f3 FM - 1까지는 모두 남게 됩니다 그래서이 파란색으로 밑줄 친 부분은 시그마로 표현을 해서 얘는 k는 k는 1부터 n - 1까지 fk라고 쓸 수가 있는 거예요 그래서 우리는 이렇게 써 줄 거예요 이런 관계를 보이는 수열을 이런 방법으로 일반항을 구할 겁니다

자 두 번째 볼게요 이번엔 규칙성 있는시기 규칙성을 가진 식을 곱한 꼴이에요 그러면 얘도 쭉 나열할 거고요 이번엔 더 하는게 아니라 한 번에 곱하면요 좌변에는 A2 A3 쭉 곱해서 an까지 있고요 우변에는 a1부터 A2 주가서 am-1까지 있구요 F1 F2 교과서 f-1까지 있습니다 그러면 여기서 a2부터 an - 1까지좌변우변에 똑같이 있으니까 이렇게 지워버릴 수 있겠죠 남은 건 좌변의 A1 그리고 f1부터 FM - 1까지 이렇게 써주면 우리가 이식으로 일반항을 구할 수가 있습니다 자 개념유지로 한번 직접 구해 보도록 할게요 1번 보면 첫째 항이 3이고요 an+1은 an+n이라고 써 있습니다 그러면 우리가 여기 있는 n을 fn이라고 생각을 하고요 아까 배운 식을 써서 a에는 A1 + 시그마 k는 1부터 n - 1까지 fk입니다 그러면 a1은 3이고 지금 아 개인은 1부터 -1까지 k를 써주면 되겠네요 3+1/2에 자 우리가 여기 좀 주의해야 되는게 지금의 n - 1항까지거든요 우리가 원래 시그마 k는 1부터 n까지면 2분의 1의n의 n + 1이라고 배웠어요 근데 만약에 n자리에 n이 아니라 m - 1을 넣었으면 여기도 n - 1을 놓고 여기도 n - 1을 넣어주면 되는 거예요 그래서 n-1 곱하기 n입니다 자 정리해주면 1/2 n제곱 - 2분의 1 N + 3으로 일반항을 구할 수 있고요 우리가 a10을 구하는 거니까 10을 대입해주면 100 - 1/2 * 10 + 3 따라서 50-5+3이니까 48이라고 계산을 할 수가 있습니다

자 이번엔 2번 문제 풀어 볼게요 a1은 2라 그랬고요 a의 n + 1은 n분의 n + 1 곱하기 an이라고 써 있습니다 그러면 우리가 구하는 a10은요 n에다 9를 대입한 거니까 9분의 10 * a9예요근데요 a9를 구하기 위해서 다시이 식에다 요식에다가 n은 8을 대입해요 그러면식이 어떻게 전개돼요 9분의 10 * 1/8 곱하기 A8 이거를 계속 반복을 하면요 10분에 9분의 10 곱하기 7분의 8 쭉 가서 1 대입하는 순간까지 1분의 2 곱하기 a1까지 이렇게 계산을 할 수가 있고요 요렇게 다 약분되죠 약분돼서 남은 건 10a1밖에 없습니다 따라서 a1은 2니까 20으로 계산이 돼요 자 마지막으로 수학적 귀납법 한번 배워보도록 할게요 수학적 기납법은 여러 가지 증명 방법 중에 증명하는 하나의 방법이에요 자 우리가 명제 pn에 대해서 모든 자연수 n에 대하여 성립함을 보일 때 쓰는 건데 우리가 여기서 중요한 건 자연수 n에 대하여 성립하는 걸 보일 때 쓰는 거예요 어떠한 실수나 유리수가아닙니다 자연수를 넣었을 때만 성립하는 걸 보이는 증명 방법이에요 자 어떻게 증명을 하냐면요 일단 n이 1일 때 성립하는 거를 우리가 증명을 해요 그냥이를 대입해서 증명하는 경우가 많습니다 성립한다고 가정을 해요 성립한다고 가정을 하면 그때 우리는 어떤 결론을내어 n이 k+1일 때도 성립한다는 걸 보입니다 그러면요 1일 때 성립하는데 k1대 성립하면 k+1일 때도 성립한대요 그럼 뭐가 성립해요 2일 때도 성립하죠 그러면 3일 때도 성립해요 그러면 쭉 계속 성립하겠죠 그러면 모든 자연수 n에 대하여 성립한다고 우리는 증명이 끝난 겁니다 그래서 두 단계로 나뉘어져 있는 거예요 첫 번째 n이 1일 때에 성립하는 것을 보여주고요 두 번째 k일 때 성립하는 걸 가정하고 k+1일 때 성립하는 걸 보여줍니다

자 우리가 한번 실제로 증명을 한번해 볼게요 우리가 지금 영재 pn이 요거예요 요거를 pn이라고 합시다 이거를 pn이라고 하고요 우리가 수학적 진화법을 이용하여 증명을 할 건데 가장 먼저 n이 1일 때 성립하는 것을 보여 줄 겁니다 좌변은 에너리를 대입하면요 지금 그냥 1만 더 하는 거죠 3까지 갈 수가 없어요 자 우변은요 지금 n의 제곱이니까 1의 제곱입니다 그래서 1이네요 그러면 좌변은 우변과 같으니까 우변이므로 우리가 성립한다 라는 거를 알 수 있습니다 좌변하고 우변이 같으므로 성립한다 자 두 번째 n이 k일 때 성립한다고 가정을 해요 성립한다고 가정하면 적립한다고 가정하면 어떤식이 성립하는 거예요 1+3+5+2K - 1까지 더했을 때 K 제곱이라는 인식이 지금 성립하는 겁니다 얘가 성립해요 얘가 성립한다 자 이때요 우리는 어떤 결론을 얻어내야 되냐면 자 이거는 증명 과정에서 쓰는게 아닙니다 우리 머릿속으로 생각하는 거예요 우리는 여기서 결론이 어떻게 나야 되냐면이라고 3하고 5하고 쭉 더 있을 때 k자리에 k+1을 여기 n의 k+1을 넣은 2K - 1을 넘어서 2k+1까지 더했을 때 k+1의 제곱이 되는 거를 보이고 싶은 거예요 그러면 어떤게 변했어요 좌변에서 2k+1이 생겼죠 그러면 우리는 이걸 만들어 줍니다 양변에 양변에 이 k+1을 더하면 2K + 1을 더하면 1 + 3 + 5 + 쭉 가서요ek-1 + 2K + 1까지 더하고 우변에도 더해야죠 k 제곱 플러스 2K + 1 그러면 k² + 2T + 1이 k+1의 제곱이죠 어 그러면 우리는 좌변 흡연의 똑같은 수를 더했는데 그랬더니 어떤 결론이 났어요 요식이 요식과 같다는 걸 우리가 얻어냈습니다 즉 이게 성립한다고 가정하면 nek일 때 성립한다고 가정하면 우리가 n이 k+1일 때도 성립한다 이거를 볼 수가 있습니다 그러면 우리는 증명을 마무리하면서 뭐라고 쓰면 되냐면 1과 2에서 수학적 귀납법에 의해 수학적 기납법에 의해 수납 수학적 진압법에 의해 자연수 n에 대해 자연수엔에 대하여항상 성립한다 항상 적립한다라고 적으면 증명이 끝납니다

자 우리가 수학적 진화법으로 증명하는 방법이 조금 처음에 어려울 거라고 예상을 했을 거예요 근데 막상 해보면 생각보다 어렵지 않습니다 여러분이 노트 피고요 꼭이 애니1일 때 성립하고 k1대 성립한다고 가정하고 k+1이 성립하는 걸 보여주는이 과정 연습을 꼭 해보시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨습니다 감사합니다