[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 함수의 극한 - 함수의 극한

자 우리가 오늘 학습할 단어는 함수의 극한입니다 우리가 함수의 극한이 뭔지 배울 거고요 그 칸을 구하는 방법에 대해 배우도록 하겠습니다

자 일단은요 우리가 제목을 봤더니 처음 보는 기호가 있어요 x가 a로 이렇게 화살표가 그어져 있습니다 요거의 의미를 먼저 알아야 돼요 자 교재 맨 밑에 보면 x는 a로 이렇게 화살표를 표시한 기호의 의미가 뭐냐면요 x의 값이 x는 a의 좌우에서 x축을 따라 a의 하나씩 가까워짐을 뜻한다라고 적혀 있어요 자 그러면 우리가 그래프를 보면 지금 여기 a라는 점이 있는데 이 a라는 점이 왼쪽에서 가까워지고 오른쪽에서 가까워지는이a에 계속 가까워지는 상태를 의미하는 거예요 근데 주의해야 될 점은 a는 아닙니다 a랑 같지는 않아요 하지만 x축을 따라 a에 한없이 가까워짐을 뜻하는 기호입니다 자 그때 우리가 함수의 수렴이라고 적혀 있는데 x가 a로 가까워질 때의 함수의 수렴 그럼 우리가 수렴이 뭔지도 알아야겠죠

자 교재를 쭉 읽어 볼게요 fx에서 x의 값이 a가 아니면서 a야 한없이 가까워질 때 즉 뭐를 의미해요 방금 배운 x가 a로 가까워지는 x가 a로 가까워지는 요런 상태를 의미합니다 그때 fx의 값이 fx의 값이 일정한 값 l의 한없이 가까워지면 자 x는 a로 가요 x는 a로 가는데 요거 1대fx는 l에 가까워지고 있어요 그래프로 보면 x가 a로 가까워질 때 이렇게 함수를 따라서 올라오죠 얘는 함수를 따라 내려옵니다 그때 여기이 점으로 모여요 이렇게 함수 fx가 l이라는 값의 모이고 있으면 일정한 값의 한없이 가까워지고 있으면 우리는 이러한 형태를 우리는 수렴한다고 합니다 그래서 이때 나오는이 l을 함수 fx에 x는 a에서의 극한값 또는 극한이라고 할 거예요 그래서 이거를 기호로 나타내면요 x가 a로 갈 때 fx가 어디로 가는지가 궁금한 거예요 fx가 어디로 가까워지는지 그거를 우리는 l im을 이용해서 리미트라고 읽고요 x는 a로 갈 때의 리미트 fx는 l이라고 씁니다fx가 l에 가까워지고 있으니까 그 가까워지는 값을 l이다라고 하는 거예요 fx는 l에 가까워지고 있는 거고요 리미트를 쓰면 그 값인 l이 나오는 거예요 자 그래서 우리는 특히 상수 함수 fx는 c에 대해서요 모든 실수 x에 대하여 함숫값이 항상 c입으로 fx가 c면 x 값이 변해도 항상 y 값이 c죠 FX 값이 c예요 그래서 x가 a로 하는 fx는요 우리가 그래프로 봤을 때 x가 a에 가까워지면 함수 fx의 값도 어차피 c로 가까워지니까 이렇게 c로 나오는 겁니다 아주 특별한 예시를 하나 들어준 거예요 자 우리가 여기 지금 수렴을 배웠어요 수렴을 배웠고 x가 a로 가까워지는 상태요 의미를 좀 배웠습니다

자 그러면 개념 예제를 볼 건데 fx가 x+1일 때 x가 1로 갈 때리미트 fx의 값을 구하라 그랬어요 그러면 그래프를 그리면요 x+1의 그래프는 우리가 이렇게 그릴 수가 있습니다 fx는 x+1이라고 그때 구하는 거는 x가 1로 갈 때 리미트 fx예요 그러면 지금 x가 1로 가까워지는 중이죠 x가 1로 가까워지는 중이에요 그러면 함수를 따라서 이렇게 되고 이렇게 보이죠 자 어디로 모이고 있어요 x에다 1을 넣었을 때 나오는 함숫값 2로 모이고 있는 거예요 그래서 함숫값과 똑같은 값인 2가 나오는 겁니다 fx가 2로 가까워지고 있으니까 2로 나오는 거예요 우리가 지금은 함숫값과 극한값이 일치를 해요 그런데 우리는 더 다양한 함수를 배울 거고요요거 말고 뒤에 이제 다양한 함수를 배우면서 거기서 이제 극한값과 함숫값이 항상 일치하지 않으니까 우리가이 함수값과 극한값을 구분지어서 극한값의 의미를 명확하게 아셔야 돼요 극한값은 뭐라고요 함수 fx가 가까워지는 값을 의미합니다 넘어가겠습니다 자 이번엔 또 새로운 기호가 나와요 우리가 요렇게 써 있는 기운은 우리가 수학을 배우면서 처음 나오는 기후죠

자 우리가 교재 밑을 보면요 이렇게 되는 거는 일단은 우리가 무한대라고 읽어요 무한대 무한대의 의미는요 수가 한없이 커지는 상태를 의미해요 매우 매우 큰 수라고 우리가 느껴도 됩니다 계속 커지는 거예요 근데 고정된 값은 아닙니다 매우 매우 큰데 계속 커져요 엄청 큰 값이겠죠 자 기호이고 요런 기호이고 하나의 수를 가르치는 것이 아니다라고적혀 있어요 거지는 상태를 나타내는 기호입니다 기호 자 그러면 우리가요 x가 무한대로 갈 때 fx의 극한값이 어떻게 되는지 볼 거예요 자 FX 그래프를 지금 오른쪽에 요렇게 주고 있어요 이렇게 주고 있는데 우리가 요런 이런 이런 선을 우리가 이름을 뭐라 그래요 만나진 않는데 점점 가까워지는 무한히 가까워지는이 선의 이름을 우리는 점근선이라고 합니다 지금 여기가 l이니까 우리는 y는 l이라는 점근선이라고 할 수 있겠네요 자 요런 상황에서 x가 무한대로 가면요 fx가 점근선의 계속 가까워진다고 표현을 하죠 그래서 요거를 우리는 리미트 기호를 이용하면요 x가 무한대로 갈 때 무한대로 갈 때 리미트 fx는 l이다라고 볼 수가 있는 거예요 자 그러면 무한대는 계속 커지는거라고 그랬어요 그럼 - 보안되는 뭘까요 우리가 요거를 구분을 짓기 위해서 무한대는 특히 양의 무한대라고 하고요 양의 무한대라고 하고 이렇게 - 무한대는요 음의 무한대라고 합니다 음의 무한대 그래서 음의 무한대는 음의 방향으로 계속 커지는 거예요 즉 한없이 작아지는 거죠 음수로 계속 작아지는 거예요 그걸 우리는 음의 무한대라고 하고요 암수 그래프가 이번엔 요렇게 생겼어요 이렇게 생겼고 x가 만약에 - 무한대로 가면요 x가 - 무한대로 가면 지금 fx가 여기 있는 점근선 y는 m이라는 점근선의 계속 가까워지고 있죠 계속 가까워지고 있습니다 그래서 요거를 리미트 기호를 이용해서 표현을 해주면 x가 - 무한대로 갈 때 리미트 fx는m이라고 쓸 수가 있는 거예요 자 마찬가지로 지금 m이라는 값이든 l이라는 값이든 어떤 값에 일정하게 가까워지고 있기 때문에 우리는 이거를 수렴한다 수렴한다고 표현할 수 있는 거예요 수렴은 하나로 보이면 수렴이라 그랬죠 이렇게 n 또는 m이 계속 가까워지면서 그 값의 무한히 가까워지니까 이런 상태로 우리는 수렴한다고 표현할 수가 있는 거예요

자 넘어가겠습니다 개념유제 볼 건데요 fx는 x분의 1일 때 x가 무한대로 가는 리미트에서 fx의 값을 그래프를 이용하여 구하라고 했어요 자 x분의 1의 그래프를 그리면요 그래프가 이렇게 생겼죠 이렇게 생겼는데 자 x가 무한대로 가면 x가 무한대로 가면 그래프가 이렇게 쭉 내려와요 어디에 가까워지고 있는 거예요 x축 즉 y는 0에 가까워지고 있는 겁니다y는 0에 가까워지고 있으니까 우리는 x가 무한대로 가는 리미트 fx의 값은 뭐라고 할 수 있는 거예요 0에 가까워지고 있으니까 0이라고 쓸 수 있는 겁니다 자 넘어가겠습니다 자 x가 a로 갈 때의 함수의 발산인데요 우리가 앞에서 배운 내용들을 수렴이에요 수렴이 뭐였어요 한 검으로 모이는 것을 우리는 수렴이라 한다 그랬어요 한 점으로 가까워지는 상태 발사는요 수렴하지 않는 걸 발산이라고 합니다 수렴하지 않는 거 한 점으로 모이지 않는 거 한 점으로 가까워지지 않는 것 우리가 이거를 발산이라고 표현을 해요 자 우리 오른쪽에 있는 그래프를 보면요 이렇게 함수가 생겼어요 자 x가 만약에 a로 가까워지면 x가 a로 가까워지면 지금 fx가 이렇게 쭉 올라가고 있죠 쭉 올라가고 있어요 값이 어떻게 되고 있는 거예요계속 커지고 있는 거예요 y 값이 계속 커지고 있는 거니까 우리가 이거는 어떤 한 값으로 모인다고 할 수 없고요 이거를 발산한다고 하는 겁니다 이런 경우를 우리는 발산한다고 해요 이거를 리미트를 이용해서 표현을 해주면요 x가 a로 갈 때에 리미트 fx는 무한대라고 쓸 수가 있는 겁니다 자 그 중에서 우리가 지금 무한대가 양의 방향으로 계속 커지고 있으니까 위로 계속 커지고 있으니까 양의 무한대라고 양의 무한대로 발산한다 이렇게 표현을 해주면 됩니다 양의 무한대로 발산한다 자 음의 무한대로 발산할 수도 있어요 만약에 그래프가 이렇게 생기면요 이렇게 생겼을 때 x가 a로 가까워져요 x가 a로 가까워지면 지금 fx가 어디로 가요 쭉 아래로 내려가죠 쭉 아래로 내려가요 그럼 값이 계속 작아지고 있는 겁니다그러면 음의 방향으로 계속 작아지고 있는 거니까 우리는 x가 a로 갈 때 리미트 fx는 - 무한대라고 쓸 수가 있는 거예요 음의 무한대로 발산한다라고 표현을 하면 되겠죠 무한대로 발산한다 자 우리가 지금 같이 무한대라고 해서 어떤 값이 존재하는게 아니에요 무한대는 값이 아니라 기호를 나타내는 거고요 그 기온은 한없이 커지고 있는 상태를 의미하는 거예요 그렇기 때문에 무한대라고 썼다고 해서 우리가 수렴한다고 하면 안 되고요 발산이라고 해야 됩니다

자 넘어갈게요 개념 예제 볼 건데요 fx는 절댓값 x분의 1일 때 x가 0으로 가는 리미트에서 fx의 극한을 그래프를 이용하여 조사를 하라 그랬어요 그러면 절댓값 x분의 1의 그래프를 그리면 x가 양수일 때는 x분의 1을그리면 되고 x가 0보다 작으면 -x분의 1의 그래프를 그려주면 되겠죠 지금 x가 0인 경우는 정의역이 아니라서 아닌 경우에서만 그래프를 그려주면 됩니다 자 x가 0보다 클 때 그래프 이렇게 그려주면 되죠 x가 0보다 작은 부분에서 그래프 이렇게 그려주면 됩니다 자 지금 x가 어디로 가요 0으로 가까워지죠 그때 fx가 쭉 올라가고 쭉 올라가고 있으니까 값이 계속 커지고 있는 거예요 그러면 우리는 뭐라고 표현할 수 있어요 양의 무한대로 발산한다 즉요 기호를 이용해서 나타낼 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 x가 무한대로 가고 x가 - 무한대로 갈 때 함수의 발산이라고 적혀 있는데요 자 요런 그래프가 있는 거예요 지금 우리가 쉽게 포물선이라고 부르는 2차 함수죠 이런 이차함수처럼 생긴 그래프가 있으면 x가 만약에 무한대로 가요x가 무한대로 가면 fx가 어떻게 돼요 계속 커지기만 하죠 그러면 우리는 요런 것도 기호로 나타낼 수가 있는 겁니다 x가 무한대로 갈 때 fx는 무한대로 가구요 x가 무한대로 갈 때 fx가 - 무한대로 간다고 써 있네요 요거는 뭐예요 여기 오른쪽에 있는 함수 요렇게 됐을 때 x가 무한대로 갈 때 리미트 fx는 아래로 계속 작아지니까 - 무한대라고 쓸 수가 있는 겁니다 자 x가 - 무한대로 갈 때 fx가 무한대로 간다고 표현하는 경우도 있어요 어떤 경우에요이 경우네요 x가 - 무한대로 갈 때 리미트 fx는 무한대 지금 위로 계속 커지니까 우리는 무한대라고 쓰면 되는 겁니다 자 마지막으로 x가 - 무한대로 갈 때 fx는 - 무한대라고 적혀 있고요 요거는 여기죠 x가 - 무한대로 갈 때 리미트fx는 - 무한대 계속 다 가지고 있어요 우리가 이거를 외우는게 아니고요 당연히 그래프를 그려놓고 x가 무한대로 갈 때 fx가 어떻게 변하나 이거를 눈으로 확인해서 발산이 이제 수렴인지 정하면 됩니다

자 넘어가겠습니다 fx는 x-1의 제곱일 때 x가 - 무한대로 가는 리미트에서 FX 칸을 그래프를 이용하여 조사하라고 했어요 자 x-1의 제곱의 그래프를 그리면요 꼭짓점이 1 0이 2차 함수라 이렇게 그려집니다 이렇게 그려지는데 지금 x가 어디로 가는 거예요 마이너스 무한대로 갑니다 x가 - 무한대로 가면요 fx가 위로 쭉 올라가죠 그러면 어떻게 돼요 계속 커져요 그래서 x가 - 무한대로 갈 때 리미트 fx는 양의 무한대로 발산한다라고 해서요 기호를 이용하여 나타내면 되겠네요 자넘어가겠습니다 자 우극환과 좌극한인데요 우리가 x의 a로 가까워진다는 표현을 계속 쓰고 있었는데 x가 a에 가까워지는 건요 왼쪽에서 가까워지는 경우가 있고 오른쪽에서 가까워지는 경우가 있어요 자 그런데 이거를 지호로 각각 표현하는 방법이 있습니다 자 오른쪽에서 가까워지는 건요 x가 a로 가까워지는데 a보다 큰 쪽에서 가까워진다는 의미로 a+를 써주고요 a보다 작은 쪽에서 가까워진다는 의미로 왼쪽에서 가까워지는 건 x가 a 마이너스로 가까워진다고 이렇게 표현을 해줍니다 자 그런데이 각각 가지는 x가 a의 오른쪽에 가까워지는 경우와 x가 a의 왼쪽에서 가까워지는 경우에 극한값이 다를 수가 있어요 우리가 지금까지는 다 같았는데 요런 함수가 있을 수 있는 겁니다 이렇게 돼서이렇게 생긴 함수가 있을 수 있어요 그러면 얘는 지금 왼쪽에서 가까워지는 극한값이랑 오른쪽에서 가까워지는 극한값이 다릅니다 그래서 우리가 이거에 부르는 명칭을 구분지은 거예요

자 첫 번째로요 우극한이라고 적혀 있는데 우극한은 x가 a의 오른쪽에서 가까워질 때 즉 a보다 큰 쪽에서 가까워질 때요 기호로 나타낸다고 제가 했구요 그 fx가 l의 한없이 가까워지면 우리는 기호로 이제 이렇게 쓸 수 있는 거예요 지금 여기 화살표만 바뀌었죠 여기 화살표만 바뀌었습니다 x가 a로 가는데 a+를 가까워지는 거예요 이때 나오는이 l이라는 값을요 우리는 우극한이라고 해요 극한값 중에서 x가 a보다 큰 쪽에서 가까워질 때 fx가 가까워지는 그 값을우극한이라고 하는 거예요 마찬가지로요 자극하는요 x의 값이 a보다 작은 쪽에서 가까워지고 그거를 기호로 표현하면 요건데 이때 fx가 m으로 가까워지면 우리는 리미티를 이용해서 이렇게 표현을 할 수가 있어요 x가 a 마이너스로 가까워질 때 A -로 가까워질 때 fx가 m으로 가까워진다 이때이 m을 우리는 좌극한이라고 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 근데 우리가 여기서 제일 중요한 내용은요 바로 극한값의 존재입니다 이 극한값이 존재할 때가 있고 안 존재할 때가 있는 거예요 근데 그거를 어떻게 구분 짓냐 바로 우극한과 자극하니 존재하고 그 값이 l로 같아야 우리는 극한값이 존재한다고 합니다 자극함과 우칸이 존재한다는 말은요 수렴한단 얘기에요우극한이 수렴하고 자극하니 수렴하고 그리고 그 값이 l로 같으면 우리는 극한값이 이렇게 존재한다고 표현을 해줍니다 당연히 역도 성립을 하고요 요렇게 기호로 써 있어요 얘가 지금 극한값이 존재한다 l로 존재한다는 기호고 얘는 우극한 얘는 그게 모두 수렴하고 그 값이 l로 같으면 우리는 극한값이 존재한다라고 이해하시면 됩니다

자 넘어가겠습니다 자 개념 예제인데요 함수 와인은 fx의 그래프가 아래 그림과 같을 때 x는 1에서의 우극한과 자극하는 구하라고 했어요 자 우극한은요 x가 1보다 큰 쪽에서 가까워지는 거니까 x가 1 플러스로 갈 때의 리미트예요 그때 fx를 찾아주면 x가 1의 오른쪽에서 가까워지니까 이렇게 가까워지는 거고요 어디로 가까워져요 3으로 가까워지죠 자 이번엔x가 1의 왼쪽에서 가까워지면 1-라고 쓰고요네 리미트 fx의 값을 찾기 위해서 그래프를 보면 1의 왼쪽에서 가까워지면 함수가 이렇게 올라옵니다 그때 1에 가까워지고 있네요 그래서 얘는 1입니다 무극카는 3이고 자극하는 입이죠 그러면 우리는 이거 두 개 합쳐서 뭐라고 부를 수 있어요 극한값이 존재하지 않는다 자극한과 우극한이 다르기 때문에 극한값이 존재하지 않는다라고 할 수도 있는 거예요 자 여기까지 해서요 우리가 극한값 구하는 거 그 전에 극한값의 용어들까지 해서 배웠습니다 우리가 오늘 배운 내용을 가지고 뒤에 있는 미분 적분 내용을 배우게 되니까 오늘 배운 내용들을 꼭 완벽하게 이해하고 다음 강의를 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다