[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 함수의 극한 - 함수의 극한에 대한 성질

자 오늘 학습할 단어는 함수의 극한에 대한 성질입니다 우리가 오늘 함수의 극한에 대한 성질을 배울 거고요 그 성질을 활용해서 극한값 계산하는 방법을 몇 가지 배워보도록 하겠습니다

자 가장 먼저 함수의 극한에 대한 성질인데요 두 함수 fx와 gx에서 x가 i로 가는 리미트 fx는 l이고요 x가 a로 가는 리미트 gx는 m이라고 적혀있고 이거 일대라고 적혀있네요 자 얘네들은 지금 무슨 말이에요 얘네들은 극한값이 존재한다는 말입니다 극한값이 존재한다는 말인데 자 극한값이 존재할 때만 여기 아래에 있는 5가지 성질이 성립하는 거예요 극한값이 존재할 때만 성립하는 겁니다 자 그렇게 하고 우리가 지금 5가지 성질을 배울 건데 우리가이 5가지 성질은 어떻게 따로 증명하는 방법을배우지는 않습니다 우리가 고등학교 수학에서 배우는 내용으로는 증명이 좀 어렵기 때문에 우리가 증명을 배우지는 않고요 극한값이 존재할 때이 성질들이 성립한다는 내용만 알고 있으면 되고이 성질들을 활용할 수만 있으면 됩니다

자 그러면 1번부터 볼 건데 자 x가 a로 가는 리미트 kfx는 자 k가 실수배죠 어떤 실수 k를 곱한 거예요 이렇게 바깥으로 빼서 kl이라고 계산할 수가 있습니다 자 두 번째는 x가 a로 가는 리미트에서 FX + gx는 이렇게 리미트랙 팩스 플러스 리미트 gx로 되어 있네요 이렇게 쪼개서 풀 수가 있습니다 그래서 l+m으로 계산하면 되고요 4도 마찬가지로 이렇게 l-m으로 계산하면 되고 곱은 뭐예요 곱도 쪼갤 수 있습니다 곱도 쪼갤 수 있어서 a 곱하기 M 자 gx분의 fx도 마찬가지로 리미트를 쪼개서 리미트 gx분의리미트 fx라고 할 수가 있고요 얘는 n분의 l로 계산하면 됩니다 자 여기서 지금 분모가 m이기 때문에 m이 0인 경우는 제외하고 성립을 하는 거예요 자 지금 x가 a로 가는 리미트에서만 설명을 드렸는데 그것뿐만 아니라 x가 a의 오른쪽에서 가까워져도 x가 2의 왼쪽에서 가까워져도 x가 무한대로 가도 x가 음의 무한대로 가도 모두 성립을 합니다 수렴하기 만 하면 극한값이 존재하기만 하면 성립을 하는 거예요 자 그러면 예제를 하나 제가 드려볼게요 x가 1로 갈 때 리미트 fx는 2구역 x가 1로 갈 때 동일하게 1로 갈 때 리미트 gx가 만약에 3입니다 그랬을 때 x가 1로 가는 리미트 2fx + gx의 값을 계산할 거예요 자 요거는 어떻게 계산하냐면요 우리가 안에 있는 fx와 gx의극한값이 존재한다는 걸 알고 있어요 그러면 가운데 덧셈을 쪼개서 x가 1로 가는 리미트 2f의 X + x가 1로 가야 될 리미트 gx라고 쓸 수 있고요 여기 있는 2를 바깥으로 옮길 수도 있겠죠 이렇게 옮겨 적을 수 있습니다 그래서 2 곱하기 자 리미트 fx는 몇이에요 2입니다 이렇게 적구요 리미트 gx는 3이니까 플러스 3 해주면 되겠네요 계산해주면 7입니다

자 여기까지 되셨나요 넘어가겠습니다 자 0분의 연골의 극한인데요 우리가 지금 유리식과 무리식으로 나누어 적혀 있는데 유리식 같은 경우는 인수분해하여 약분하여 극한값을 구한다고 적혀 있고 무리식은 루트가 있는 쪽을 유리화하여 약분한다고 적혀 있네요 자 우리가이 내용을 보면 어떤 내용을 말하는 건지 이야기가 조금 어려우니까 개념 예제를 보면서 제가 좀 더 설명을 드리도록 할게요자 지금 x가 3으로 가는 리미트에서 x - 3분의 x제곱 마이너스 9의 그러면 x가 3으로 가고 있는데 x가 3으로 갈 때 x-3은 어디로 가요 얘는 0으로 가죠 자 x² - 9는 어디로 가요 x가 3으로 갈 때 얘는 0으로 갑니다 자 우리가 단원에서 배웠듯이 어떤 다항함수 다항함수 fx가 있으면요 다음 함수 fx가 x가 a로 가는 리미트 안에 들어가면 그냥 fa와 같아집니다 우리가 요거는 뒤에서 다시 한번 배울 건데 일단은 오늘은이 내용을 조금 활용해서 극한값을 좀 구하도록 할게요 자 x가 3으로 갈 때 분모도 0으로 가고요 분자도 0으로 가요 그러면 우리가 요거는 어떤 정리를 통해서정리를 통해서 재산을 해줘야 됩니다 자 그 정리가 뭐냐면 지금 x가 3으로 가고 있죠 x가 3으로 갈 때 0으로 가는 건 뭐예요 x-3은 0으로 가죠 그래서 우리는 x-3을 찾아서 약분해 주는게 x-3을 찾아서 약분해 주는게 우리 정리의 목표입니다 정리는 x-3을 정리하고 싶은 거예요 그러면 분자를 인수분해 하면요 자 리미트 X - 3분의 X - 3 x+3이고요 x-3이 이제 약분이 되죠 이렇게 x-3을 찾아내서 약분시키는 겁니다 그러면 리미트 x+3 밖에 없죠 그래서 답은 6입니다 우리가 이런 식으로 0을 만들어내는 어떤 방식을약분해서 우리가 극한값을 계산해 줄 거예요 자 루트가 들어간 꿀 자 루트가 들어간 꿀도 제가 한번 예제를 하나 드려볼게요 자 x가 1로 가는 리미트에서요 x-1 루트 x - 1이에요 그러면 지금 x가 1로 가면 분모도 0으로 가고 분자도 0으로 가요 자 그럴 때는 루트가 있는 쪽을 유리합니다 우리가 분모의 유리화하고 조금 비슷해요 근데 분모에만 곱하던 걸 분자 기준으로 곱해 줄 수도 있는 겁니다 자 루트 X - 1이 유리수가 되기 위해선 뭐를 곱해줘요 루트 x+1을 곱해줍니다 루트 x + 1을 곱해줘요 그러면 분모는 x가 1로 갈 때 x - 1의 루트 x + 1 그대로 있고요 분자는 x-1이죠 그러면x-1이 약분됩니다 그러고 남은게 뭐밖에 안 남아요 x가 1로 갈 때 루트 x + 1분의 1 밖에 안 남는 거예요 그래서 이때는이를 대입해도 전혀 문제가 없죠 그래서 1 + 1분의 1이어서 2분의 1이라고 계산을 해주면 됩니다

자 넘어가도록 하겠습니다 이번엔 무한대본의 무한대 꼴에 극한이라고 적혀 있어요 우리가 여기서 다룰 내용은 어떤 다항식 분의 4항식 다항식 분의 다항식에 리미트를 취한 꼴을 계산하는 방법을 배울 거예요 자 얘는 우리가 어떻게 처리할 거냐면요 최고차항으로 나눠줄 거예요 재고차항으로 나누기 재고차항으로 나누면 우리가 계산할 수 있는 꼴이 돼요 자 1번 2번 3번 케이스가 나누어져 있는데이 각 케이스들을 우리가 개념 예제와 제가 준비한 예제들을 통해서 학습을 해볼 거고요 그 전에 일단 요거를 한번짚고 갈게요 x가 무한대로 가는 리미트에서요 x분의 c입니다 자 그러면 우리가 x분의 c라는 그래프는 어떻게 생겼어요 이렇게 생겼죠 x가 무한대로 가면 x가 무한대로 가면 함수가 쭉 가까워집니다 그 값이 뭐예요 0이에요 그래서 x분의 C 여기서 c는 상수입니다 c는 상수예요 x분의 C 꼴에서 x가 무한대로 가면 항상 그 값은 0인 거예요 자 그러면 x가 무한대로 갈 때요 리미트 x는 뭘까요 얘는 항상 무한대죠 그냥 x 그 자체니까 항상 무한대요 x의 자연수 제곱을 해줘도 자연수 n 제곱을 해줘도 똑같이 무한대로 가는 겁니다

자 우리가요 내용을 활용해서 뒤에서 문제를 좀 풀어 보도록 할게요 다항식이면 우리가 뭐를 하자 그랬어요최고차항으로 나누자 그랬어요 분모도 1차고 분자도일 차니까 최고창 1차로 나누겠습니다 그러면 1 + x분의 5고요 분자는 2 + x분의 3이에요 그러면 이때 여기 써 있는 x분의 5랑 x분의 3이 뭐가 되는 거예요 x가 무한대로 가니까 0이 돼 버리는 겁니다 그래서 1 + 0분의 2 + 0이어서 답이 2로 나와요 자 그러면 차수가 부모분다 차수가 다를 때도 한번 해보도록 할게요 자 요거는 제가 준비한 예제인데요 x가 무한대로 가는 리미트에서 2x 제곱 플러스 1분의 x + 1을 계산해 봅시다 자 최고차항은 몇 차예요 부모분자에 있는 차수 중 가장 높은 차수는 2차입니다 그래서 분모 분자를 2차항으로 나눠주면이 플러스 x 제곱 분의 1 분의 x분의 1 플러스x 제곱 분의 1이에요 그러면 어떻게 돼요 x가 무한대로 가니까 얘도 0 얘도 0 얘도 0 그래서 2분의 0이네요 그래서 계산하면 0입니다 이래서 분모 차수가 더 클 때는요 극한값을 계산하면 0이 나오는 거예요 요번엔 x가 무한대로 갈 때의 분자 차수가 큰 경우를 한번 볼게요 x+1 x²-1이면요 가장 높은 차수 2차라서 2차로 나눠주면요 x가 무한대로 가는 리미트의 x분의 1 플러스 x²이고요 지금 x가 무한대로 가면 얘네들이 다 0입니다 그러면 우리가 리미트 안에서 분모는 0이고 분자는 2예요 자 분모는 0에 계속 가까워지는 거예요 x가 무한대로 가는 거니까분모는 0에 가까워지는데 분자하는 2입니다 그러면 값이 어떻게 될까요 분모는 계속 작아지니까 얘는 무한대로 양의 무한대로 발산하는 겁니다 자 이렇게 계산해 주시면 됩니다

자 넘어가도록 할게요 자 이번에 무한대 마이너스 무한대 꼴의 극한인데요 자 다항식은 최고차항으로 묶는다고 적혀 있고 무리식은 유리화한다고 적혀 있네요 자 요것도 마찬가지로 우리가 기념 예제로 풀어볼게요 자 루트 x+1 - 루트 x의 값을 구하라고 했고요 우리가 지금 x가 무한대로 간을 리미트에서 루트 x+1 - 루트 x인데 x가 무한대로 가면 루트 x + 1도 무한대로 가겠죠 루트 x도 무한대로 가요 그러면 무한대 - 무한대니까 우리가 어떤 계산이 아직 안 돼요 그래서 얘를 분모가 1이 있다고 생각을 하고요 뭐가 1이 있다고 생각하고 루트 x + 1 플러스 루트 x를분모분자의 곱해줍니다 자 x가 무한대로 가는 리미트에서 루트 x+1 - 루트x 그리고 분모 분자의 루트 x+1 + 루트 x 루트 x+1 + 루트 x고요 분자를 계산해주면 x가 무한대로 갈 때 리미트에 1 나누기 루트 x + 1 플러스 루트 x입니다 자 여기까지 됐나요 그러면 예를 계산하면요 x가 무한대로 갈 때에 여기도 무한대고 여기도 무한대니까 분모는 무한대네요 무한대랑 무한대를 더하면 무한대입니다 그래서 무한대 분의 1이니까 우리가요 값은 0이 가까워지는 걸 알 수 있고 극한값은 0입니다 자 제가 준비한 예제가 하나 더 있는데요 다항식 다항식인 경우도 우리가 한번 따져봐야겠죠 x가 무한대로 갈 때요 리미트x3²-2x²을 한번 계산해 볼 거예요 그러면 최고차항으로 묶으라 그랬어요 아까 재고창으로 묶어야 되니까 재고창 x^3으로 묶으면 1-x2입니다 그러면 x가 무한대로 가면 x분의 2는 0으로 가까워지고요 여기 있는 x^3은 무한대죠 그래서 여기 1 - 0은 그냥 1이니까 무한대 곱하기 1과 같아서 무한대가 되는 거예요 자 우리가 여기까지 해서 무한대의 마이너스 무한대 올해 극한까지 학습을 했습니다

자 넘어가서요 이번엔 무한대 곱하기 0골의 극한입니다 분모 또는 분자의 다항식이 있는 경우 요거는 통분하거나 인수분해 한다고 적혀있고요 분모 또는 분자의 루트가 있는 경우 루트가 있는 쪽을 요리한다고 적혀 있어요 우리가 요거는 앞에서 배운 0분의 0 골하고 조금 유사한 부분이 있습니다 우리가 정리를하는데 어떤 걸 목표로 정리를 한다 그랬어요 0을 만드는 0을 만드는 인수를 약분하기 위해 약분하기 위해 정리를 해주는 거예요 자 그러면 한번 개념에서 볼게요 자 x가 0으로 갈 때요 x가 0으로 갈 때 리미트 x분의 1의 X + 1/2 x² - 2 + 1입니다 자 그러면 x가 0으로 가면 x분의 1은 무한대로 가요 요거는 우리가 지금 계산을 했을 때 0이 돼 버립니다 그래서 무한대와 0을 곱해놓은 꼴이라 우리가 그냥은 계산이 안 되고 정리가 필요한 거예요 그래서 오른쪽에 있는 x가 0으로 가는 리미트의 x + 2분의 x 제곱 마이너스 2 + x + 2로 계산을 할 수가 있고요 -2 +2 사라져서 우리가 여기 있는 x 제곱 플러스 x를x로 묶으면 x + 1이 됩니다 자 그럼 나머지는 그대로 써 줄게요 자 그래서 뭐가 생겼어요 x가 0으로 가면 지금 x 그 자체가 0이 돼 버리는데 분모에 있는 x와 분자에 있는 x가 0으로 가는 애들이 약분이 되는 거예요 그래서 남은 건 x가 0으로 갈 때 리미트 X + 2분의 X + 1이고요 0을 대입하면 우리가 1/2이라고 극한값을 계산을 할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 극한값 계산하는 내용까지 모두 학습을 마쳤구요 우리가 각 케이스별로 문제를 푸는 방법이 있어요 푸는 방법이 있으니까 몇 번 연습을 통해서 문제를 풀면서 그 요령에 조금 익숙해지고 내용을 줘서 꼼꼼하게 학습하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다