[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 함수의 극한 - 함수의 극한의 응용

자 오늘 학습할 단어는 함수의 극한의 응용입니다 우리가 함수에 극한을 활용해서 몇 가지 성질을 배워볼 거고요 관련한 문제도 풀어보는 시간 갖도록 할게요

자 일단요 미정계수의 결정 1번이에요 미전계수가 뭐예요 우리가 값을 모르는 계수를 말해요 그거를 찾는 방법을 배울 겁니다 자 두함수 FX gx에 대하여 x가 a로 가는 리미트에서 gx분의 fx가 l이라는 극한값을 가지면 l이라는 극한값을 가지면 아래 두 개의 성질이 성립을 합니다 자 첫 번째 성질은요 분모가 0으로가 자 x가 a로 갈 때 리미트 gx가 0으로 가면 분자도 0으로 갑니다 분자도 리미트를 취했을 때 0으로 가는 거예요 자 두 번째는x가 a로 가는 리미트 fx가 0으로 가면 즉 분자가 0으로 가면 분모가 0으로 간다는 내용인데 여기는 조건이 하나 붙어요 극한값이 0이면 안 돼요 자 왜냐면 만약에 극한값이 0이면 x가 a로 가는 리미트 gx분의 fx가 0이에요 만약에 fx가 0이면 우리가 꼭 분모도 0이고 분자도 0인 경우에만 0이 되는게 아니라 분모는 무한대고 분모는 무한대로 가고 분자는 0으로 가면 그것도 우리는 리미트 즉 극한값이 영어로 간다고 할 수가 있죠 그래서 우리가 극한값이 0이 아니고 극한값이 0이 아니고 분자가 0으로 갈 때만 분모도 0으로 간다는 내용을 쓸 수가 있는 겁니다 자 여기까지 되셨나요 자 그러면 이걸 활용해서 개념예제 보도록 할 건데요 지금 x가 2로 가는리미트 x-1/2 + a예요 자 x가 2로 가는 리미트 x-2는 뭐예요 0이죠 분모가 지금 0으로 가요 그러면 분자도 0으로 갈 수가 있습니다 x² + a도 0으로 가야 돼요 그래서 4 + a가 0이고요 우리가 a값을 -4라고 구할 수 있습니다 b는요 여기서 극한값을 의미하니까 a는 - 4를 대입해서 극한값을 직접 구해 보도록 할게요 x가 2로 가는 리미트에서 x - 2분의 x² - 4구요 x가 2로 가는 리미트에서 x-2분의 x-2x+2로 인수분해가 돼서 x - 1을 약분할 수가 있습니다 그러면 x가 2로 가니까 2를 대입해서 4가 되네요 그래서 a는 -4b는 4라고 9해서a+b의 값을 0이라고 우리가 계산할 수가 있습니다

자 넘어가서 미정계수의 결정 2번인데요 자 이번에 다항함수 FX gx에 대해서요 다항함수 FX gx에 대해서 x가 무한대로 가는 리미트 gx분의 fx가 le라는 극한값을 가져요 다음 함수분의 다음 함수 요게 극한값 l을 가집니다 자 근데 그 큰 값이 0이면 안 돼요 극한값이 0이 아닌 극한값을 가지면 우리는 분자의 차수와 분모의 차수가 같다는 거를 알 수가 있습니다 자 만약에 분모 차수가 크면 어떻게 돼요 만약에 분모 차수가 크면 음모 차수가 군대 차수보다 크면 우리가 극한값이 x가 무한대로 가는 리미트 gx분의 fx에 극한값이 0으로 간다는 걸 우리가 지난 시간에 배웠고요 만약에 분자 차수가 분모 타수보다 크면이 경우에는 어떻게된다고 배웠어요 리미트 gx분의 fx가 요거는 양위원대로 발산한다 또는 음의 무한대로 발산할 수도 있고요 그거는 계수에 따라 다릅니다 어쨌든 무한대 또는 - 무한대 이렇게 발산을 하게 됩니다 그래서 극한값이 0이 아니고 다음 함수분해 다음 함수면 요거는 차수가 같다라고 우리가 결론을 내릴 수가 있는 거예요 자 이때 극한값 l은 이렇게 써 있네요 분자의 최고차항 계수 나누기 분모의 최고차항 기술하고 적혀 있어요 자 이거 왜 그런지 한번 볼게요 x가 무한대로 가는 리미트에서 gx의 최고차항 계수를 제가 a라고 하겠습니다 그래서 ax의 n제곱 = d에 또 낮은 차수들의 항이 있을 거예요 자 분자는요 재고차항 계수가 b라고 하겠습니다 그러면 차수가 같으면 bx의 n제곱이어야 되고요 뒤에 나머지 항들이 있어요 그러면 우리는 분모 분자를 최고차항으로 나누기때문에 x의 n제곱으로 분모분자를 나눠주면 a+x^n 이렇게 나머지 함대 b+ x^n 근데이 나머지 양들은 분모에 있는 x n제곱보다 차수가 모두 낮기 때문에 x가 무한대로 가면요 부분이 다 0이 되는 거예요 그러면 남은게 뭐예요 a분의 b죠 그래서 우리가 극한값 a를 a분의 b라고 계산할 수가 있어요

자 다음 문제 한번 개념 예제 보도록 할게요 x가 무한대로 갈 때요 x+1분의 ax² + bx + 3이에요 자 분모는 몇 차예요 1차입니다 우리가 지금 분자는 눈에 보이기에는이 차예요 그런데 계산했더니 영이 아닌 o라는 극한값이 나온다 그랬어요 그러면 차수가 같아야 됩니다 그러면 분자도 1차여야 되니까 a가 0이어서 이창이 사라져야 되는 거예요자 그다음 극한값이 5가 나와야 되는데 분모 최고차한계수 1 분자 최고차 한 개수 B 그래서 1분의 b가 5와 같아서 우리가 b는 5라고 계산을 할 수가 있습니다 자 a+b의 값은 따라서 5예요 자 넘어갈게요 자 이번엔 함수의 극한의 대소관계인데요 우리가 두 함수 fx와 gx에 대하여 fx에 극한값이 l이고 gx의 극한값이 m일 때 자 fx가 gx보다 작거나 같대요 그러면 우리가 극한값도 동일하게 대소관계가 적용된다는 내용입니다 자 fx가 gx보다 작거나 같다는 말은 f가 어떤 g보다 r이 있다는 소리예요 그러면 우리가 어떤 x는 a라는 값에서 가까워지는 거기 때문에 극한값은 가까워지는 값이기 때문에 똑같이 대소관계가 적용이 되는 거예요 그래서 이렇게쓸 수가 있고요 두 번째 법칙을 한번 볼 건데 지금 fx가 hx보다 작거나 같고요 hx는 gx보다 작거나 같다 그랬어요 자 그랬을 때 우리가 지금 극한을 취하면요 x가 a로 가는 리미트 fx는 l이라고 했고 gx는 x는 a로 가는 리미트에서 gx도 m과 l이 같다 그랬으니까 얘를 l이라고 쓸 거예요 자 그러면 hx는 f와 g 사이에 있는데 fx에도 hx에도 hx에도 리미트를 취하면 x가 a로 가는 리미트 hx입니다 자 그런데 f와 h 사이의 관계식이 이런 부등호였어요 f가 h보다 작거나 같다 그러면이 x가 a로 가는 리미트 hx는 L 이상이다라고 우리가 쓸 수 있죠 첫 번째에서 배운 내용이니까 자 그리고 오른쪽에서도 hx랑 gx에 대해서 관계가 이렇게되어 있으니까 리미트를 취한 x가 a로 가는 리미트 gx의 값이 l이니까 얘가 a보다 작거나 같다라고 쓸 수 있어요 그러면 가운데 있는 x가 a로 가는 리미트 hx는 l보다 크거나 같으면서 a보다 작거나 같아야 됩니다 그 값은 뭐 밖에 없어요 l밖에 없죠 그래서 요거에 극한값이 l이고 요거에 극한값이 l이면 hx의 극한값도 l이라는게 우리 두 번째 내용입니다

자 우리가 좀 더 주의해야 될 점이 하나 있는데 우리가 FX gx의 관계가 꼭 등호가 들어가 있지 않아도 극한값이라는 거는 무한히 가까워지는 거기 때문에 우리가 등호가 생깁니다 등호가 존재하지 않아도 이렇게 등호가 생겨요 fxhx gx에서도 두 번째 법칙에서도 l과 이미 같고 이렇게 되면 우리가 지금 f와 g와 h 사이에 대소관계가 부등호가 분명히작다였어요 작거나 같다가 아니라 하지만 우리가 리미트를 취하면 규모가 생기기 때문에 얘가 L 얘가 L 그래서 리미트 h도 l이라는 요런 결론이 나오게 되는 겁니다

자 다음 문제 우리 한번 풀어보도록 할게요 자 fx가 모든 실수 x에 대해서요 관계를 만족한다고 했습니다 자 그랬을 때 x가 1로 가는 리미트 fx의 값을 구하는 거고요 우리가 FX 함수를 직접 모르니까 요거에 극한값과 요거에 극한값을 한번 구해보는 거예요 요거에 식을 제가 px라고 할 거고요 여기 있는 식을 qx라고 할 겁니다 그러면 x가 1로 가는 리미트 px는 x가 1로 가는 리미트 마이너스 x² + 2x - 2니까 2를 대입해서 -1이라고 계산이 되고요 x가 1로 가는 리미트 gx는 qx는x가 1로 가는 리미트 x² - 2x니까 -1이라고 계산이 됩니다 따라서 x가 1로 가는 리미트 fx도 마찬가지로 -1이라는 값을 가진다는 걸 우리가 확인을 할 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리가 극한의 성질을 활용해서 여러가지 문제를 풀어 봤고요 각 법칙들이 우리가 문제를 풀 때 정말 많이 나오는 성질들이에요 꼭 복습하면서 적용하는 연습 같이 하시기 바랍니다 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다