[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 함수의 극한 - 함수의 연속

자 a 이상 b 이하 같은 경우에는 요 양 끝 a와 b를 포함을 하죠 a와 b를 포함하는 경우에는 대괄호를 이용해서 이렇게 a라고 나타낼 수가 있어요 이걸 우리가 구간이라고 합니다 구간 자 그리고 a2와 B 미만처럼 우리가 a와 b를 포함하지 않는 경우는요 대괄호가 아니라 소괄호를 이용해서 이렇게 a 콤마 b라고 표현할 수가 있어요 한쪽만 포함하면요 한쪽에만 대괄호를 써주고 다른 쪽에는 소괄호를 써주면 되겠죠 여기도 마찬가지로 B 이하니까 B 쪽에는 대괄호 반대쪽에는 소괄호 이런 식으로 표현을 할 수가 있습니다

자 이렇게 구간이란 것은 어떤 숫자와 숫자 사이라고 나타낼 수도 있지만 그것뿐만이 아니라 이렇게 x는 a2야 x는 a 미만 x는 a24 x는 a 초과 이런 범위도 우리가 구간으로 나타낼 수가 없어요 자 어떻게 표현을 하냐면 a2야니까 지금 a를 포함하고 있어서 이렇게여기다가는 대괄호를 쳐주면 되고요 반대쪽으로는 우리가 쭉 계속 갈 수 있는 거잖아요 계속 작아질 수 있으니까 마이너스 무한대 - 무한대를 이용해서 우리가 표시를 할 수 있고요이 같은 경우에는 우리가 대괄호가 아니라 소괄호를 이용해서 나타내 줘야 됩니다 a 미만이면 요렇게 마이너스 무한대부터 a까지 둘 다 소괄호로 나타내면 되고요 a 이상인 경우에는 우리가 a를 포함해서 a쪽에는 대괄호 그리고 반대쪽은 계속 커질 수 있으니까 양의 무한대 양의 무한대를 쓰고 소괄호로 닫아주면 됩니다 자 x가 a 초과일 때는 이렇게 a부터 무한대까지 싹 다 소괄호로 나타내주면 되는 거예요 우리가 이름이 조금 있어요 a b의 대괄호가 쳐져 있으면 우리가 a 이상 ber 같은 경우에는 닫힘 구간이라고 합니다 닫힘 구간 그리고 a b 같은 경우 이렇게 소괄호로 표시되는a와 b를 포함하지 않는 경우에는 열린 구간이라고 해요 우리가 만약에 a b를이 대괄호 닫힌 구간을 수직선 위에 표현을 해주면 여기서부터 여기까지죠 우리가 이런 경우에는 a와 b의 색칠을 해줍니다 그래서 요거를 닫힌 구간이라고 하는 거고요 진구간 소괄호 a부터 b까지 이렇게 표시를 하면 a와 b를 포함을 안 하기 때문에 이런 경우에는 열린 구간이라고 합니다 열린 구간 자 그리고 여기에 한쪽만 닫혀 있거나 한쪽만 열려 있는 요런 구간들을 반다 친구관 또는 반열린 구간이라고 할 수도 있어요

자 마지막으로 우리가 실수 전체의 집합도 우리가 하나의 구간으로 우리가 표시를 할 수가 있고요 그런 경우엔 기호 - 무한대부터 무한대까지 이렇게 나타낼 수가 있습니다 자 넘어가 보도록 할게요 함수의 연속과 불연속이에요 우리가함수의 연속을 좀 정의를 할 건데요 우리가 지금 정의할 연속은요 쉽게 말해서 안 끊어지고 이어진 걸 연속이라고 합니다 안 끊어지고 이어진 거 그러면 함수 그래프를 그렸을 때 이렇게 생겼으면 우리가 연속이라고 할 수 있겠네요 자 그런데 지금 정의 내릴 건 딱 한 점에서예요 한 점 어떤 x값 하나에서 여기서 연속인지 아닌지를 따져 줄 겁니다 자이 점에서 연속이려면요 일단은 x에다 a를 집어넣었을 때 함숫값이 존재해야 돼요 fa라는 값이 존재해야 되고요 안 끊어지고 이어지기 위해서 왼쪽에서 가까워지는 값하고 오른쪽에서 가까워지는 값하고 같아야 됩니다 왼쪽에서 가까워지는 값을 뭐라 그래요 자극한 오른쪽에서 가까워지는 값 그래서 자극한과 우극한이 같을 땐 우리는 극한값이 존재한다고 하잖아요 그래서극한값도 존재해야 우리는 연속이라고 할 수가 있는 거예요 그래서 x가 a로 가는 리미트 fx가 존재해야 됩니다 자 그리고 마지막으로 이렇게 가까워지는 값하고 원래 있던이 함수값하고 일치를 해야 우리가 안 끊어지고 이어진 거겠죠 그래서 극한값하고 함숫값까지 같아야 우리는 x는 a에서 연속이라고 하는 겁니다 자 그래서 저는 요식을 쓸 때요 한 번 더 풀어서 씁니다 어떻게 풀어서 쓰냐면 극한값이 존재하기 위해서 좌극한과 우극한이 같아야 되죠 그래서 좌극한과 우극한이 같다는 의미로 x가 a 마이너스로 가까워지는 리미트 FX 값과 x가 a+로 가까워지는 리미트 FX 값이 같고요 이게 FA 값까지 같으면 저는 요식을 통해서 연속임을 확인을 합니다 물론 여기에다가 함숫값 존재하는 것도 확인을 해줘야겠죠 그런데 우리가 함숫값이 존재하지않으면 애초에 우변의 fa를 쓸 수 없기 때문에 저는 요식만 가지고 체크를 해서 x는 a에서의 연속 여부를 확인을 합니다 자 셋 중에 하나라도 만족하지 않으면 우리는이 fx는 연속하는게 아닌 거예요 그 fx는 x는 a에서 연속하는게 아닌겁니다 세계 모두 만족해야 돼요이 식을 만족을 해야 되는 겁니다

자 넘어가서 개념 예제해 볼 건데 다음 함수의 x는 0에서의 연속성을 조사하라 그랬어요 자 1번 먼저 보도록 하겠습니다 자 x가 0으로 가는 리미트 fx를 구해 볼 건데 지금 우극한과 자극하늘 한번 계산을 해 볼게요 그러면 지금 FX 자리에 x를 집어넣으면요 x 그래프는 x축 y축이고 이렇게 생긴 그래프기 때문에 오른쪽에서 가까워지나 왼쪽에서 가까워지나 함수 그래프가 어디로 가까워지고 있어요0으로 가까워지고 있습니다 0이고요 우리가 여기다가 f에다가 0을 대입했을 때에 나오는 함수값 0입니다 즉 함숫값은 0이고요 극한값은 존재하고 그 값은 0이에요 그러면 우리가 이런 경우에는 연속이다라고 할 수가 있는 겁니다 자 근데 2번을 볼게요 gx는 x분의 1인데 x분의 1의 그래프는 이렇게 생겼어요 이렇게 이렇게 그러면 x가 0 +로 가는 gx는 어디로 가요 플러스 무한대로 갑니다 x가 0 -으로 가는 리미트 gx는 어디로 가요 마이너스 무한대로 가죠 그러면 두 개가 지금 수렴하지도 않고요 극한값이 존재하지도 않습니다 극한값이 존재하지 않아요 그러면 우리는 이거를 뭐라고 말하죠 연속일 수 없습니다 x는 0에서 연속이아닙니다라고 해주면 되는 거예요

자 이번엔 연속 함수입니다 제가 아까 정의를 했던 건 x는 a라는 딱 한 점에서 연속인지 연속인지 아닌지 확인을 해준 거예요 근데 여기는 한번 교재를 읽어보도록 할게요 함수 fx가 어떤 열린 구간의 모든 점에서 연속일 때 우리는 그 fx가 열린 구간에서 연속이라고 합니다 그리고 그거를 연속 함수라고 하는 거예요 그러면 제가 요렇게 정리를 할 수가 있어요 어떤 열린 구간 a 콤마 b의 속하는 모든 x에 대해서 fx가 연속이면 그러면 우리는 여기서 요거에서 연속이다 fx는 연속 fx는 연속 함수 이런 식으로 정리를 좀 할 수가 있을것 같아요 그런데 우리가 좀 신경 써야 되는 부분이 뭐가 있냐면 지금 연속 함수라고 정의를 한게 열린 구간이에요 그런데 우리가 이거를 다친 구간에서 정리할 때는 조금 달라지게 됩니다 다 친구가 a 콤마 b에서 같이 닫힌구가 a에서 fx가 연속 함수가 되려면요 왜 정의가 달라지냐면 우리가 양 끝 x는 a와 x는 b에서 어떤 극한값을 정의를 할 수가 없어요 왜냐하면 우리가 구간을 a부터 b까지라고 나왔기 때문에 a라는 점에서는 좌극하니 존재하지 않고요 b라는 위치에서는 우극한이 존재하지 않기 때문에 평소처럼 정의하려면 자극한 우극한이 존재하지 않아서 극한값이 존재하지 않아 불연속이라고 하는 거예요 그래서 우리가 닫힌 구간에서 fx가 연속 함수라고 하려면 우리는 그 양 끝에서 극한값 정의를 다시 해주는 겁니다극한값 정의를 다르게 해주는 거예요 자 일단은 다 친구가 a 콤마 b에서 fx가 연속 함수이려면요 여기 열린 구간 A b에서 연속 함수여야 돼요 일단 그 안에서는 모두 연속 함수여야 되고요 여기에 추가로 fa는 자극한 우극한이 모두 같은게 아니라 존재하는 우극함만 같으면 되는 거예요 x가 a+가 플러스로 가는 리미트 fx만 같아도 우리는 연속 함수다라고 하는 겁니다 뭐랑 fb는 그럼 뭐랑 같겠어요 x가 b의 마이너스로 가는 리미트 fx랑 같기만 하면 굳이 굳이 우극한까지 안 같아도 우리는 이거를 연속 함수라고 정의를 하는 거예요

자 요 부분만 조금 주의해 주시면 될 것 같고 요 내용을 한번 읽어 볼게요 마지막에 어떤 구간에서연속인 함수의 그래프는 그 구간에서 끊임없이 이어져 있다라고 되어 있어요 자 요거는 우리가 그냥 직관적으로 연속 함수면 그래프가 안 끊어지고 이어져 있는 거라고 했어요 처음에 우리가 직관적으로 받아들여서 그래프가 이어져 있으면 연속 함수라고 봐도 됩니다 자 넘어가서요 우리가 여러 가지 함수의 연속성인데요 몇 가지 함수의 연속성을 조금 알려드리자면 다음 함수 같은 경우는요 우리가 모든 실수 전체에서 실수 전체 범위에서 연속이란 것을 우리가 확인할 수 있습니다 우리가 알고 있는 1차 함수 2차 함수 끊어지는 부분이 있었나요 그런 부분은 없습니다 그렇기 때문에 다음 함수는 항상 연속이에요 자 유리함수는요 우리가 다항식 분의 다음 식으로 나타내지는 함수를 유리함수라고 하는데 분모가 0이면 우리가 x 값이 안 되죠 분모가 0인 x값을 대입하면 안 돼요 그렇기 때문에 분모가 0이 되는 x값을 제외하고그거는 나머지에서는 연속이 되는 거예요 분모가 0일 때만 불연속인 겁니다 fx가 0인 x에서 풀연속

자 무리함수는요 우리가 루트 안에 다항식이 들어가 있는 요런 형태를 많이 보게 되는데 우리가 루트 안에 들어가 있는이 fx가 음수면 안 되죠 그래서 fx가 0보다 크거나 같기만 하면 그 범위에서는 모두 연속이라고 할 수가 있습니다 자 개념 예제 보도록 할 건데요 함수 fx는 루트 x-2가 연속인 구간이 이렇게 돼 있대요 자 무리함수네요 무리함수는 연속인 구간이 어디라고요 x-2 요게 양수 또는 0인 구간에서 우리는 연속이라고 했습니다 그래서 x는 2 이상일 때 연속이고요 A 값은 2라고 우리가 쉽게 구할 수가 있습니다 자 마지막으로 연속 함수의 성질인데요 두 함수 FX gx가 x는 a에서연속이면 다음 함수도 x는 a에서 연속이라고 나와 있어요 자 한번 봅시다 우리 지금 f랑 g가 연속인 걸 알고 있어요 그러면 fx에다가 어떤 실수를 곱해도 그 함수는 무조건 연속입니다 그리고 연속 함수와 연속 함수를 더하거나 빼거나 곱해도 연속이고요 요거 마지막 4번은 조금 주의해야 될 부분이 있는데 우리가 나눗셈도 연속은 연속이에요 근데 딱 하나가 빠집니다 어떤 조건에서 빠지냐면 분모가 0이 되면 안 돼요 분모가 0이 되는 x값에서 불연속이 되는 겁니다 마찬가지로 분모가 0이 될 때는 우리가 값이 정의되지 않죠 그래서 분모가 0인 경우에만 빼고 나머지에선 연속입니다

자 마지막으로 우리가 개념 예제의 풀어보고 갈 건데요 자 두함수 fxgx가 x는 a에서 연속이라 그랬어요 그랬을 때 x는 a에서 항상 연속이라고 할 수 없는 함수를 찾으라 그랬어요항상 연속이라 할 수 없는 함수 자 1 2 3 4 5번 쭉 보면요 더한 것도 상관없고요 뺀 것도 상관없어요 제가 여기다 하나 더 붙이자면 우리가 실수배하는 것도 상관없기 때문에 3fx - ogx라고 써도 차와 실수배로 이루어진 새로운 함수라서 얘도 연속이라고 할 수가 있습니다 3번부터 가져갈게요 자 굽도 연속이에요 자 4번하고 5번을 좀 볼 건데 4번도 나눗셈이고 5번도 나눗셈이에요 자 나눗셈일 때는 언제만 안 된다고요 분모가 0일 때만 연속이 안 된다고요 그런데 문제에서 fa가 0이 아니라 그랬어요 그러면음 4번은 분모가 0이 될 일이 없겠네요 그런데 5번에서는 분모에 있는이 gx가 0이 될 수 있기 때문에 항상 연속이라고 할 수는 없는 겁니다 그렇게 해서 답은 5번입니다 자 여기까지 해서요 우리가 연속의 정의를 배웠습니다 연속의 정의에서 제일 중요한 건언제 연속이라고 할 수 있는가예요 자극한 우극한 함숫값까지 갖고 함숫값이 존재해야 우리는 그 함수를 x a에서 연극이라고 할 수 있는 거예요요 내용이 제일 중요하니까이 내용을 꼭 꼼꼼하게 학습하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다