[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 함수의 극한 - 최대·최소 정리와 사잇값의 정리

자 이번 시간 학습할 내용은 최대 최소 정리와 사잇값의 정리입니다 자 우리가 최대 최소의 정리를 먼저 배워 볼 건데요 최대 최소의 정리가 뭐냐면 함수 fx가 다친 구간 a 콤마 b에서 연속이면 fx는이 구간 내에서 반드시 최대값과 최소값을 갖는다는 내용이 최대 최소 정리입니다 우리가 이거는 증명을 우리가 할 수는 없어요 증명을 지금 배울 수는 없고이 내용이 정확하게 언제 성립하고 어떤 내용이 성립하는지를 중점을 맞춰서 학습을 하시면 됩니다

자 일단은요 다친 구간 a 콤마 b에서 연속이어야 돼요 다 친구관입니다 열린 구간이면 안 돼요 자 열린 구간이면 어떻게 되겠어요 만약에 그래프가 이렇게 그려져요 열린구간이면 이렇게 그러면 우리 눈에 최소값은 여기에서 존재합니다 그런데 최대값은 여기 근방에서 존재해야 되는데 우리가 대입할 수 있는 x값이 없는 거예요 그래서 열린 구간이면 우리가 최대 최소의 정리가 성립하지 않습니다 자칭 구간에서 연속이면 자 연속이라 그랬어요 연속이 아닌 남수면요 만약에 함수가 이번엔 이렇게 생겼다고 해봅시다 이렇게 자 지금 여기가 불연속인 지점이 생겨요 그러면 최댓값이 지금요 근방에서 생겨야 되는데 마찬가지로 우리가 어떤 x값을 대입하지 못하는 거예요 그래서 조건이 두 개인 겁니다 다친 구간이어야 되고 연속이어야 되고 그러면 최댓값과 최소값이 존재한다는게 최대 최소의 정리입니다 자 그러면 이거를 활용해서 우리 지금 함수 fx는 x+1이 다 친구가 0부터 2까지 해서 최대값과 최소값을가짐을 최대 최소 정리를 이용하여 보이락을 했어요 그러면 우리가 요렇게 써 주면 돼요 자 함수 fx는 유리함수죠 유리함수이므로 x는 -1을 제외한 -1을 제외한 실수 전체에서 연속이다 실수 전체에서 연속이고 그러면 우리가 다 친구가 0 콤마 2에서 연속인 걸 알 수가 있죠 -1을 제외한 실수 전체에서 연속이라면 다 친구가 0부터 2까지 해서 연속일 거예요 연속이므로 최대 최소 성리가 성립하고요 최대 최소 정리가 성립하고 따라서 최대 최소 정리에 의해서 최대값과 최소값이 존재한다 이렇게 설명을 해주면 됩니다우리가 사실 이렇게 내용을 설명하는 거는 조금 생소할 수 있어요 하지만 최대 최소 정리가 정확하게 언제 성립하는지만 알고 있으면 우리가 쉽게 문제를 해결할 수가 있습니다

자 넘어가도록 하겠습니다 자 이번엔 4의 값의 정리인데요 우리가 교재를 읽기 전에 한번요 내용을 한번 제가 보도록 할게요 만약에 x는 a일 때 fa에요 자 이렇게 있습니다 x가 b일 때 fb에요 도함수 값이 다릅니다 근데 f가 여기서 연속이래요 자 친구가 a b에서 만약에 연속이면요 지금 그래프를 끊어지지 않게 그려 줘야 되는데 끊어지지 않게 그릴 건데 여기에 있는이 y는 k라는이 선을 안 만나면서 안 만나면서 fav 테이프 b까지 그릴 수가 있나요그리는게 불가능합니다 우리가 fe에서 fb까지 끊어지지 않고 이으려면이 y는 k라는 직선과 교점이 하나 무조건 생기게 돼 있어요 그래서 우리는 요거를 c라고 하고요이 사잇값 정리가이 c가 무조건 하나 존재한다는게 사잇값 정리입니다 자 교재란만 읽어보도록 할게요 함수 fx가 다친 구간 a 콤마 b에서 연속이고요 fa라 fb가 다를 때 fa와 fb 사이에 있는 임의의 값 k에 대하여 fc는 k를 만족하는 c가 열린 구간에 적어도 하나 존재한다는게 사잇값 정리라고 적혀 있습니다 자 우리가 a와 B 사이에 a와 B 사이에 c가 적어도 하나 존재하는 거 ec는 무슨 c예요 fa와 fb 사이에 있는이 y=k와 만나는 교점 교점이 하나 무조건 존재한다는 내용이 4위값 정리입니다물론 꼭 하나가 아니라 여러 점에서 만날 수도 있어요 예를 들어 그래프가 이렇게 생길 수도 있죠 그러면 c가 3개 있는 겁니다 하지만 안 만날 수는 없다 연기일 수는 없다가 우리가 사잇값 정리해서 말하고 있는 내용이에요 그러면 우리가 이걸 활용을 해서 어떤 내용을 써먹을 수 있냐면요 근의 유무를 파악할 수가 있어요 자 근의 유무를 파악할 수가 있는데 x축이 만약에 여기 있구요 x가 a일 때 fa가 여기에요 자 x가 b일 때 fb가 0입니다 그러면 fa부터 fb까지 2일 때요 x축하고 x축하고 만나지 않으면서 fa에서 fb로 갈 수 있나요 fx가 연속이라면 우리가 무조건 x축하고 만날 수밖에 없는 거예요 그러면 우리가 이렇게 x축과 만나는 점을 뭐라 그래요 fx는 0을 만족하는 x값을 우리는 fx는0이라는 방정식의 근이라고 합니다 근

자 교재 한번 읽어 볼게요 함수 fx가 다친 구간 a 콤마 b에서 연속이고 fa와 fb의 부호가 서로 다르면 fa와 fba를 곱했을 때 0보다 작겠죠 부호가 다르면 곱해서 음수입니다 그거면 fx는 0은 fx는 0은 열린 구간 A b에서 적어도 하나의 실근을 갖는다라고 적혀 있어요 자 교재 적혀 있는 교재 그려져 있는 그림으로 한번 다시 설명을 드릴게요 여기 fe가 있어요 여기 fb가 있습니다 그러면 우리는 여기서 여기까지 이을 때 무조건 뭐를 만날 수밖에 없다고요 x축을 만날 수밖에 없다고요 그러면은 제가요 점을 c라고 하면요 fx는 0을 만족하는 x는 c라는 근이 무조건 하나는 존재하는 걸 확인을 할 수가 있습니다 자 이걸 활용해서 개념메일을 보도록 할게요 자방정식의 x^3 + 2x² - 2는 0이 열린 구간 0 콤마 1에서 적어도 하나의 실금을 실근을 가짐을 보이라고 했어요 자 그러면 일단 여기 써 있는 x^3 + 2x² - 2를 제가 fx라고 두겠습니다 그러면 fx는 다 친구가 0 1에서 연속이죠 다항함수기 때문에 연속입니다 연속이고요 f0을 계산하면 -2고 f1을 계산하면 1이에요 그러면 f0 보다는 크고 f1보다는 작은 K 값을 갖는 fx가 k를 만족하는 x가 4의 값 정리에 의해서 4의 값 정리에 의해서사잇값 정리에 의해 적어도 하나 존재합니다 정리에 의해 x가 적어도 하나 존재해요 그러면 마찬가지로 k가 0일 때도 성립하므로 d가 0일 때 fx는 0을 만족하는 x가 적어도 한게 존재하므로 우리는 그 fx는 영을 만족하는 X3 제곱 플러스 2x²-2는 0을 만족하는 실근이 존재합니다 따라서 요거의 실근이 적어도 한게 존재한다 이렇게 작성하면 됩니다 자 여기까지 해서요 우리가 최대 최소의 정리와 사잇값 정리까지 학습을 마쳤습니다 상당히 개념적인 내용이고요 우리가 증명을 하지 못하지만 정확하게이 정리들이 언제 쓸 수 있는지 그리고 어떻게 활용될 수 있는지이 내용들을 좀 꼼꼼하게 학습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다