[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 미분계수

자 이번 시간에 배울 단어는 미분계수입니다 우리가 이제 본격적으로 미분이 어떤 건지 배워 볼 건데요 그런 걸 배우기에 앞서서 평균 배낭률이라는 내용을 먼저 좀 학습을 하도록 할게요 자 평균 변화율인데요 평균 변화율은 뭐냐면 평균 변화율은 구간 A 다친 구간이죠 요거에서 변화율을 의미합니다 구간에서의 변화율을 평균 변화율이라고 해요

자 그러면 평균 변화율이 어떻게 계산되는지 볼 건데 맨 밑에 보면이 델타 x에 관한 내용이 조금 있어요 우리가 요거는 델타라고 읽어요 제가 방금 델타라고 읽었죠 삼각형은 델타라고 읽고요 의미가 차 차를 뜻하고변화량을 의미해요 변화량 자 그래서 우리가이 델타를 이용해서 평균 변화율이의 평균 변화율을 구하는 시그란 번 찾아보도록 할 거예요 자 함수 y는 fx에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때 자 함수가 지금 그래프가 이렇게 있어요 여기서 x 값이 이렇게 변할 때 뭐라고 되어 있어요 평균 변화율은 x 값이 변할 때 y 값이 얼마나 변하냐에요 자 x값이 이만큼 변하면 함수 좌표가 p에서 q로 오면서 y좌표는 이만큼 변했어요 그러면 여기에 길이를 델타 x라고 할 수 있고요 여기 세로에 있는이 길이를 델타 y라고 할 수가 있습니다 그래서 평균 변화율은 델타 x분의 델타 y라는 식으로 계산을 할 수가 있어요 델타 x는 우리가 뒤에 있는 x좌표 b에서a를 빼주면 되고요 그러면 여기 델타 x의 길이가 나오죠 fb에서 fa를 빼주면 데이터 y가 나옵니다 자 그리고 우리가이 변한 양을 델타 x라고 했으면 a에서 델타 x만큼 변했으니까 여기 좌표 b를 뭐라고도 표현할 수 있는 거예요 a+ 델타 x라고도 쓸 수가 있는 겁니다 그래서 b자리에 a+ 델타 x를 넣어서 이렇게 식을 변형시킬 수도 있는 겁니다 비자리에 a+ 델타 x가 왔죠 b에다 델타 x + a a + 델타 x를 넣으면 델타 x만 남게 됩니다 자 이렇게 우리가 평균 변화율을 구할 수 있는 식을 배웠어요 자 요거를 우리가 좌표 평면 위의 표현했을 때 어떤 의미가 있냐면 델타 x분의 델타 y는요 선분 pq pq를 쭉 연장했을 때 나오는이 직선 바로이 직선 pq의기울기와 같습니다 우리가 기울기를 구할 때 x값 증가량 분의 y 값 증가량으로 우리가 기울기를 구할 수 있는데 마찬가지로 평균 변화율도 x값 증가량부터 y 값 증가량이라서 우리가이 점 p와 점 q를 잇는이 직선의 기울기가 바로 평균 변화율이에요 자 그러면 우리가 개념 예정 보면서 평균 변화율 한번 직접 구해 보도록 할게요 함수 fx가 x 제곱 플러스 1이라고 주어져 있고요 x의 값이 1에서 3까지 변한다 그랬어요 그러면 우리가 평균 변화율은요 델타 x분의 델타 y를 구하고요 우리가 x값이 1에서 3까지 변하니까 3 - 1분의 f3 - f1로 평균 변화율을 구할 수가 있습니다 자 3에서 1을 빼면 2구요 f3에서 f2를 빼는데 f3은 10이고 f1은 2니까 2분의 8이어서 평균자율을 4라고 계산할 수가 있습니다

자 그런데 우리가 오늘 배우려고 하는 건평균 변화율이 아니에요 평균 변화율을 가지고 미분계수에 관한 내용을 좀 배울 겁니다 자 미분기수가 뭐냐면요 우리가 평균 변화율은 다 친구가 a 콤마 b에서의 변화율이었어요 근데 미분계수는 x는 a라는 한 점에서의 변화율입니다 한 점에서의 변화율 그러면 제가 이렇게 함수 와인인 fx를 좀 하나 그려보도록 할게요 이렇게 와 있는 fx를 그리겠습니다 그러면 평균 변화율은 x는 a라는 점에서 이렇게 여기를 a+ 델타입스라고 할게요요 구간 내에서의 변화율을 의미했고요 x값 증가량분의 y 값 증가량이어서 우리가 시각적으로 봤을 때 좌표 평면 위에서 봤을 때이 직선의 기울기를 우리가 평균변화율이라고 했습니다 그런데 지금 하고 싶은 건 지금 딱 점 x는 a라는이 점에서의 변화율을 알고 싶은 거예요 자 a부터 a+ 델타 x까지는요이 길이가 델타 x예요 그런데 내가 알고 싶은 건 x는 a에서의 변화율이 알고 싶은 거니까이 델타 x의 길이를 줄일 거예요 계속 줄여서 최대한 0으로 만들 겁니다 자 평균 변화율은 델타 x분의 델타 y를 구했어요 평균 변화율 평균 변화야 그런데 지금 배울 미분계수는 뭐라고요 지금 배울 미분 계수는 여기 나오는이 델타 x의 길이를 최대한 0에 가깝게 해서 최대한 0에 가깝게 해서이 x는 a에서의 변화율을 구하겠다고요 자 0의 최대한 가까워지는 거 어디서 배웠어요 우리 함수의 극한에서 리미트라는 개념으로 배웠습니다 즉 델타 x가0에 가까워지는 리미트에서 델타 x분의 델타 y가 바로이 점 a에서의 순간 변화율인 겁니다 그러면 요거를 요렇게 쓸 수도 있겠죠 델타 x가 0으로 갈 때요 델타 x분의 델타 y는 f 의 a+ 델타 x - FA 이렇게 우리가 미분 개수라는 식을 정할 수가 있어요 자 우리 교재 한번 읽어 보도록 할게요 자 함수 y는 fx에서요 x의 값이 a에서 a+ 델타 x까지 변할 때 평균 변화율에서 델타이트가 0에 한없이 가까워지는 것을 우리가 미분계수라고 정한 거고요 그거를 계산식으로 나타내면 요런식이 되는 거예요 자 우리가 이식을 뭐라 그러냐면 2분 계수라고 했어요 요거를 미분계수라고 하고요다른 말로 우리가 아까 평균 변화율이었지만 얘는 한 점에서의 변화율이어서 순간 변화율이라는 용어를 씁니다 순간 변화율 순간 변화율이라는 용어를 사용할 수가 있어요 그리고 요거를 이렇게도 표현할 수 있습니다 f의 변화율인데 a에서의 변화율이고 이렇게 타임이라는 이런 막대기를 하나 위에 살짝 달아줍니다 자 요렇게 되는게 우리가 모두 미분계수와 평균 변화율을 의미하는 식이고요 다 같은 식이니까 보고서 다 같은 식이란 걸 알고 문제를 풀거나 공부를 할 때 같은 내용이라는 것을 아시기 바랍니다

자 요거를 함수 y는 fx의 x는 a에서의 순간 변화율 또는 미분계수라고 하고요 기호로 f'a와 같이 나타낸다고 적혀 있습니다 자 그러면 요거를 요렇게도 나타낼 수 있는거예요 자 a+ 델타 x를 x라고 한답니다 즉 여기 나오는 a+ 델타 x를요 x라고 놓는 거예요 그러면 아까요 점을 지금 a라는 순간 변화를 찾기 위해서 쭉 가져와서 구간의 길이를 줄이는 거잖아요 그리고 계속 줄여서 요정까지 보내는 겁니다 즉 x가 어디로 가까워지는 거예요 a로 가까워지는 거죠 그래서 x가 a로 가는 리미트를 취하면 요렇게 x-a분의 FX - fa라고도 우리가 중간 변화율 그리고 미분계수를 구할 수가 있습니다 자 넘어가세요 자 우리가 몇 가지 알고 넘어가야 될 포인트들이 있는데요 자 일단은요 우리가 앞에서 배운 내용을 조금 요약을 하자면 F 프라임 a는 x는 a에서 미분계수를 나타내는 기호구요 그거를 계산하기 위해서는 델타 x가 0으로 가는리미트의 델타 x분의 f의 a+ 델타 x - f의 a라고 쓰면 우리가 f' a를 구할 수 있다 그랬어요 자 첫 번째 포인트 보면요 x는 a에서 미분계수를 나타낼 때 델타 x 대신에 간단히 h를 사용할 수 있다고 적혀 있어요 자 우리가 여기 지금 델타 x가 0으로 가고 분모의 델타 x가 있고 분자에도 f한테 델타이스가 있어요 굳이 델타 x로 쓰지 않고요 우리가 같은 문자로 쓰기만 하면 상관이 없습니다 그래서 교재에 나와 있는 내용은 우리가 h를 사용하여 나타낼 수 있다고 하고 있고요 이렇게 벨트 x자리 h가 들어간시기 적혀 있죠 우리가 꼭 h가 아니라 t나 B 같은 문자들도 가능해요 가능한데 h를 주로 많이 써서 이렇게 h로 적혀 있습니다 자 두 번째 내용을 설명드리기 전에요 제가 조금 하나를 덧붙여서 설명드리고 갈게요자 우리가 평균 변화율이요 평균 변화율이 좌표평면 위에서 어떤 의미를 가졌어요 만약에 이렇게 x축이 있고요 함수가 이렇게 생겼는데 이전부터 요점까지의 평균 변화율을 구했어요 요점을 a라고 하고 무덤을 b라고 합시다 그럼 평균 변화율의 의미는 바로이 ab를 연장한 직선 ab의 직선 ab의 기울기가 평균 변화율이었죠 순간 변화율은요 우리가이 구간의 길이를 줄여서 여기서부터 여기까지 했던이 구간의 길이를 영어로 보내서 이렇게 한 점으로 만들고 구한 값이에요 얘는 좌표평면 위에서 어떤 의미를 가지냐면 구간을 줄이다 보면 우리가 계속 평균변화율이 생기다가 이렇게 구간이 0이 되면 바로점 a에서요 점 a에서 접선의 기울기가 나옵니다 점 a에서 접선의 기울기가 나와요 그게 뭐라고요 이게 순간 변화율입니다 순간 변화에요 순간 변화율 그러면 우리가 이거는 뭐랑 같다고 배웠어요 제가 요점에 a라고 났을 때 f' a라고 놀 수 있다 그랬죠 그래서 평균 변화율은 직선 ab의 기울기였다면 순간 변화율은 점 a에서의 접선 기울기라고 우리가 알 수가 있습니다

자 두 번째 포인트 보도록 할게요 교재에 나와 있는 두 번째 포인트 보도록 하겠습니다 자 어떤 내용이냐면요 우리가 함수 y = fx에 대해서 극한값 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 fa+h-fa가 존재하면 y = fx는 x는 a에서 미분 가능하다고 적혀 있어요 우리가이내용을 조금 꼼꼼하게 살펴볼 필요가 있어요 이 내용을 조금 밑에다이어서 써보도록 하겠습니다 적혀 있는 내용을 요약하면 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 a+ h 마이너스 fa가 존재한데요 얘가 존재하면 우리는 x는 a에서 미분 가능하답니다 미분 가능 미분 가능 자 그러면 우리가 지금 요게 존재한다는 말은 어떤 의미로 해석을 할 수가 있을까요 우리 리미트 극한값이 존재하려면 자극하는 거 좌극한과 우극한이 같아야 돼요 자극한과 우극한이 각각 존재하고 그 값이 같은 경우에 우리는 극한값이 존재한다고 표현을 합니다 여기 미분계수를 구하는이 식에서도 마찬가지로이 좌극한과 아극한이 각각존재하고 그 값이 같아야 여기 써 있는이 미분기의 값이 존재한다고 할 수 있는 거고요 여기서는 특별하게 요렇게 좌극한을 좌 미분계수라고 부릅니다 좌비 분께서 오른쪽에 있는 애를 뭐라고 부를까요 우 미분계수라고 불러요 우 미분 계수 그래서 좌 미분개수와 우 미분계수가 각각 존재하고 그 값이 같을 때 우리는 미분이 가능하다고 합니다 이분이 그럴 때 가능하다고 하는 거예요

자 그러면 이 내용을 조금 예시를 들면서 하나 설명을 해 볼 건데 만약에 함수가 일어 함수가 있어요 그리고 x는 a가 여기 있습니다 그러면 잠이 분께서는 구간을 왼쪽에서 잡아 준 거예요 구간을 왼쪽에서 잡고서이 길이를 0으로 보냅니다 그러면 마찬가지로 접선의 기울기가 이렇게 나올 거예요 우미분 계수는요구간을 오른쪽에서 잡고요 오른쪽에서 잡고이 구간을 0으로 보내서 쭉 둘이다 보면 똑같은 접선이 나오죠 그러면 우리가 시각적으로 봤을 때 좌표 평면 상에서 봤을 때 접선의 기울기가 같으니까 접선의 기울기가 같다는 말은 미분개수 값이 같다는 소리고 잠이 분계수와 우미분계수가 같은 겁니다 그런데 이런 함수가 있을 수 있어요 이렇게 가다가 이렇게 꺾여요 x는 a라는 지점에서 함수가 나뉘는 겁니다 자 왼쪽에서 구간을 잡았을 때 왼쪽에서 구간을 잡았을 때 구간을 줄이면 접선 이유기가 이렇게 생깁니다 자 오른쪽에서 구간을 잡고서 오른쪽에서 구간을 잡고서 구간의 길이를 0으로 보내면 접선이 이렇게 생겨요 이렇게 그러면 두 접선이 일치해요 일치하지 않죠 그러면 기울기도 다른 것이고 기울기가 다르기 때문에 우리는 잠입은 계수와 우미분계수가 일치하지않아서 이런 경우에 미분이 불가능하다라고 하는 겁니다 미분이 불가능하다 x는 a에서 미분이 불가능하다 우리가 a라는 점에서만 따졌죠 자 그러면이어서 세 번째 포인트 보도록 할 건데 함수 fx가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에 대하여 미분 가능하면 어떤 구간에 속하는 모든 x입니다 자 그러면 함수 fx는 그 구간에서 미분 가능하다고 하고라고 적혀 있어요 우리가 지금까지 따졌던 건 x는 a라는 한 점에서 미분이 가능한지 불가능한지를 따졌던 거예요 그런데 어떤 구간에 속하는 모든 x값에 대하여 다 미분이 가능하다면 우리는 그 구간에서 미분 가능하다고 할 수가 있는 겁니다 자 함수 fx가 정의역의 모든 x에서 미분 가능하다면 우리는 fx가 미분 가능한 함수라고 표현을 합니다

자 넘어가도록하겠습니다 우리가 미분계수를 직접 구해 보도록 할 거예요 함수 fx가 주어져 있고요 x는 1에서의 미분계수를 구하라고 했습니다 그러면 F 프라임 1을 구하라는 거고요 그거를 구하기 위해서 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 1+h-fe를 계산해 주면 돼요 그러면 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 fa+h는요 1 + h의 제곱 플러스 2의 1 + h 여기다가 대입을 해준 거죠 - f1은요 1 + 2입니다 그러면 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 분자를 전개해주면 h 제곱 플러스 2h+1 + 2h+2 - 3이고요 이렇게 상수항은 모두 사라지고 정리했을 때분자를 정리했을 때에 h 제곱 플러스 4h / h여서 h가 0으로 가는 리미트의 h+4입니다 그러면 0을 대입해서 4라고 계산을 할 수가 있어요 우리가 이렇게 미분계수를 구할 때는요 재수의 정의를 이용해서 우리가 구할 수가 있어요 계산을 해서 리미트 값 계산해주면 4라고 나오죠 자 넘어가겠습니다 미분계수의 기하적 의미인데요 우리가 앞에서 했던 내용입니다 한번 다시 설명드릴게요 자 어떤 함수가 이렇게 있어요 그런데 x는 a에서 x는 a에서의 미분계수가 좌표평면 위에서 어떻게 표현된다고요이 점에서 생기는 접선의 이점에서 생기는 접선의 기울기가 접선의 기울기가 바로 우리 미분계수와 같습니다 즉 f' a죠 자 이걸 가지고 개념 예제를 볼건데요 y는 x-1의 제곱 위에 점 2에서의 접선의 기울기를 구하라고 했어요 그러면 x는 2에서의 접선의 기울기구요 x는 2에서의 미분계수 구하라는 말하고 똑같은 말인 거예요 그래서 f'2를 구해주면 되고요 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 2+h-f2고요 h가 0으로 가는 리미트 h분의 fa+h는 1+h의 제곱이고 2를 대입하면 - f2는 1입니다 그래서 h가 0으로 가는 리미트 h분의 h²+2h+1 - 1이고요 우리가 h를 약분해주면 h가 0으로 가는 리미트에서 h+2입니다 그럼 h가 0으로 가니까 값은 2가 나와요즉 f'2는 2구역 x는 2에서 미분계수가 2라는 소리고요 2에서 접선의 기울기가 2라는 얘기입니다

자 우리가 뒤에서 이 미분의 활용을 배우면서 접선의 관한 내용이 하나가 또 있어요 그때 좀 더 자세하게 다뤄보도록 할테니까 오늘은 일단 미분계수는 접선의 기울기다 그 정도만 이해하고 가시면 됩니다 자 마지막으로 미분 가능성과 연속성인데요 우리가 x는 a에서 미분 가능하면 x는 a에서 연속입니다 자 미분이 가능하면 미분이 가능하면 연속이에요 그런데 거꾸로는 성립하지 않습니다 연속이라 그래서 미분이 가능한 건 아니에요 미분이 가능한 거는 아닙니다 가능할 수도 있고 불가능할 수도 있는 거예요 자 이렇게 맨 밑에 보면 요런 발레가 이렇게 적혀 있는데요그러면요 우리가 요걸 한번 그려 볼게요 fx는 절댓값 x라는 그래프를 그리면요 그래프가 이렇게 그려집니다 x가 양수일 때는 y가 x고 x가 음수일 때는 y가 -x죠 그러면 0에서 접선의 기울기를 따져야 되는데 우미분계수를 따지면요 오른쪽 함수에서 접선의 기울기를 그어주면 이렇게 생겨요 그런데 잠입은 계수 즉 왼쪽 구간에서 접선의 기울기를 찾아주면 요런 접선이 생겨요 두 접선의 기울기가 다르죠 자 y는 절댓값 x라는 그래프는 그래프가 안 끊어지고 이어져 있어서 연속이에요 연속이지만 접선의 기울기는 다릅니다 그래서 연속이지 마 미분 불가능한 함수의 예시입니다 자 여기 포인트 첫 번째 보면요 주어진 명제 대우가 참이므로 우리가 어떤 명제가 참이면 대우명제도 참이라고 배웠죠그러면 우리 미분 가능할 때 연속이라는 명제의 대우명제는요 이명제의 대우명제는 연속이 아니면 미분이 불가능하다라는 명제가 나와요 그러면 불연속이면 우리가 f'a의 값이 존재하지 않습니다 존재하지 않기 때문에 우리는 주어진 명제 미분 가능할 때 연속이라는이 명제가 참인거를 우리가 대운 명제를 통해 확인도 할 수가 있어요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 미분 계속 구하는 방법까지 배워 봤구요 미분 가능성 그리고 미분 가능성과 연속성의 관계 우리가요 내용까지 학습을 마쳤습니다 우리가 이제 이거를 열심히 활용을 하면서 뒤에 진도를 나가기 때문에 오늘 배운 미분 계수의 정의 미분계수가 뭔지 미분계수의 의미가 뭔지 꼭 꼼꼼하게 복습하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다