[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 도함수

자 오늘 배울 내용은 도함수입니다 우리가 지난 시간에 미분계수를 배웠는데 미분개수는 어떤 걸 의미했어요 어떤 x값에서 딱 x 한 점에서 생기는 접선의 기울기를 의미한다 그랬어요

자 오늘 배울 도함수는요 자 fx는 x 제곱이라는 요런 함수가 좀 있다고 합시다 자 그랬을 때 f'2를 계산하면 h가 0으로 갈 때 리미트 h분의 f의 1 플러스 h - f1을 계산하면 나오는게 2분 계수예요 즉 x는 1에서 접선의 기울기죠 한번 계산을 해 볼게요 h가 0으로 가는 리미트에서 1+h의 제곱 마이너스 1의 제곱이고요 요거를 전개해서h가 0으로 가는 리미트에서 1+2h+ h 제곱 마이너스 1 나누기 h고 이렇게 사라지고 h로 약분을 해주면 h가 0으로 가는 리미트의 2+h여서 h0을 넣으면 2라는 값이 나와요 F 프라임 1은 2라고 값이 나오죠 하나만 더 해봅시다 f'2를 한번 계산해 볼게요 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 2 + h - f의 2구요 h가 0으로 가는 리미트에서 4+4h+ h 제곱 - 4 / h여서 지워주고 약분해주면 이렇게 리미트 안에 지금 4+h가 들어가서 4가 나와요 그런데 또 구하고 싶어요 f'3을 근데 우리가 1을 넣었을 때 2가 나왔고요 2를 넣었을 때4가 나왔어요 그러면 혹시 3을 넣었을 때 6이 나오지 않을까요 자 6이 나오는지 한번 봅시다 h가 0으로 가는 리미트에서 f에 3 + h - f3 나누기 h 구요 우리가 리미트 안에 지금 분자인은 9+6h+ h 제곱 마이너스 9 나누기 h고 9 사라지고 약분해서 h를 영어로 보내면 6이 나와요 어 예상했던 대로 6이 나왔네요 우리가 어떻게 찾은 거예요 어떤 x 값에 대해 두 배가 미분계수 값으로 계속 나오고 있어요 그러면 우리가이 관계를 이렇게 쓸 수 있지 않나요 우리가 이렇게 미분기에서 값을 항상 매번 구하는게 아니라 어떤 함수를 구할 수가 있어요 우리가 fx는 x제곱이라고 쓴 거를 원래 함수다 그래서 원함수라 그러고요원함수라 그러고 우리가 이렇게 어떤 규칙성을 보고 지금 찾아냈어요 유도했다 그래서 도함수를 합니다 그래서 우리는 오늘이 도함수를 구하는 방법을 먼저 배워보도록 할 거예요 이렇게 우리가 하나씩 규칙성을 찾아서 도함수를 찾아주는 것은 아니고요 미분계수를 구하는 방법과 똑같습니다

자 교재를 보면 미분 가능한 함수 y는 fx에 정의역의 각원 소 x의 미분계수 f'x를 대응시키면 우리가 새로운 함수 f 프라임 x를 얻어낼 수 있는 거예요 자이 F 프라임 x는 어떻게 구할 수 있다고 써 있어요 델타x가 0으로 가는 리미트에서 델타 x분의 자 분자를 잘 보면 미분계수랑 비슷하게 생겼어요 f의 x+ 델타 x - FX 자 우리가 x는 a에서 미분계수를 구했으면 F 프라임 a는 f'a는 어떻게 찾아줬어요h가 0으로 가는 리미트에 h분의 f의 유니플러스 h - fa로 구했습니다 여기에 a를 집어넣었죠 여기 a를 집어넣고 여기 a를 집어넣고 우리가 f'x를 구할 때는요 여기에다가 a가 아닌 그냥 x를 그대로 냅두고 x에 관한 식을 전개하는데 델타 x를 0으로 보내서 델타 x를 0으로 보내서 우리가 도함수를 구할 수 있습니다 마찬가지로 우리가 델타 x가 아니라 여기를 어떤 똑같은 문자 h 뭐 t 이렇게 똑같은 문자로 집어넣어서 구할 수도 있습니다 꼭 델타 x의 필요는 없는 거예요 그래서 우리는 도함수를 나타내는 기호로는 f'x y 프라임 요거를 많이 사용을 하고요 우리가 미분을 영어로 하면 d로 시작하는 이런 드라이베이티브라는 용어가 있어요 자 여기서 d자를 따서요 우리가 미분식을 이렇게 쓸 수 있습니다DX FX 무슨 의미냐면 fx를 fx를 x에 관해 미분했다는 의미예요 근데 우리가 알고 있는 그 분수랑은 조금 달라요 그래서 기획수분해 d라고 읽지 않고요 ddx라고 읽는 분자부터 있습니다 분자 자리에 있는 거 먼저 읽는 거예요 위에서부터 읽어서 ddx라고 있습니다 ddxfx 자 요거 하나의 디오라고 보시면 되고요 분수처럼 생긴 이유는 분수랑 비슷한 성질들이 조금 있어요 그래서 그거는 조금 나중에 배워보기로 하고 일단 오늘은 얘가 x로 미분했다는 기호다 이렇게만 조금 이해하고 넘어가시면 될 것 같아요 자 그리고 fx를 y로 바꿔서 by DX 이렇게도 표현을 할 수가 있습니다 그럼 표현들까지 지금 여기 써 있는 거예요 자 우리가 그래서 y는 fx에서 도함수 f'x를 구하는 과정을요 우리는 x에 대하여미분한다고 말합니다 x에 대하여 미분한다 이렇게 바꿔주는 거를 미분한다 그래요 자 그리고 그렇게 계산하는 방법을 미분법이라고 합니다 오늘 배울 내용 중 가장 중요한 내용이라고 할 수 있어요 미분법 우리가 이렇게 도함수의 정의도 알아야 되고요 도함수의 정의로 계산할 수도 있어야 되고 미분법을 활용하여서 미분을 할 수도 있어야 됩니다 자 밑에 있는 내용들을 우리가 한번 다 짚었던 내용인데 그래도 한번 쭉 볼게요 자 dydx는 dy를 dx로 나온다는 뜻이 아니에요 분수가 아닙니다 y를 x에 대하여 미분한다는 것을 나타내며 DY dx라고 읽습니다 대입한 거와 같아요

자 이거를 한번 설명을 해주면요 우리가 F 프라임 3을 구하고 싶어요 F 프라임 3을 구하고 싶으면 여기다 안 쓰고 밑에다 쓸게요 자 F 프라임 사물 구하고 싶으면 우리가지난 시간에 배웠던 미분계수의 정의를 이용하여서 이렇게 h분의 f의 3 + h 마이너스 f의 3 요걸로 계산을 할 수도 있고요 오늘 배운 F 프라임 x를 먼저 구하고 거기다가 x는 3을 대입해서도 우리가 미분 계수 값을 구할 수 있는 겁니다 두 가지 방법이 존재하는 거예요 자 세 번째 함수 fx의 도함수 f 프라이맥스를 구할 때 자 델타 x 대신에 h를 사용하여 나타낼 수 있다고 적혀 있네요 h뿐만 아니라 다른 문자도 가능합니다 넘어가도록 할게요 자 fx는 x제곱의 도함수를 도함수의 정의를 이용해서 구해 보라고 했어요 자 어떻게 구해요 F 프라임 x는 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 f의 x + h - fx로 구할 수가 있습니다 h가 0으로 가는리미트 h분의 FX + h는 x+h의 제곱 fx는 x 제곱이고요 분자를 싹 계산을 해주면 x 되고 플러스 2hx+h제곱 - x 제곱 /h입니다 그다음에 x 제곱 사라지고 h로 약분해주면 h가 0으로 가는 리미트에서 이 x + h구요 h가 0으로 가니까 2x예요 따라서 f'x를 우리가 ex라고 구할 수 있습니다 그러면 우리가 이걸 하나 구하면 어떤 f'3은 6이고요 f' 루트 3은 2루트 3입니다 도함수를 한번 구하면 미분계수값을 구하기가 정말 쉬워지죠 우리가 이렇게구할 수 있구나라는 것까지 확인하면 좋을 것 같아요 넘어가겠습니다 이번엔 함수 y는 x의 n제곱과 상수함수의 도함수라고 적혀 있네요 우리가 수학 2에서 배우는 미분 적분은 다항함수에 관한 미분 적분이에요 그래서 우리가 일단 다항함수를 본격적으로 미분하기 전에이 fx는 x n제곱 미분하는 방법을 알아야 됩니다 자 요거를 미분할 건데 이거를 미분하면 nax의 n - 1 제곱이 돼요 자 여기에 조금 유도하는 과정이 조금 어려워 보일 수 있는데 제가 그래도 한번 보여 드리도록 할게요 F 프라임의 x는요 마찬가지로 우리가이 도함수의 정의를 이용해서 구한 거예요 h분의 f의 x+h-fx를 계산해서 유도를 한 겁니다 자 근데 지금 fx가 x의 n제곱이니까 이렇게 쓸 수가 있겠죠x+hn 제곱 -x의 n제곱 그러면 h가 0으로 가는 리미트에서 분자를 전개를 해 줄 건데요 자 x+hn 제곱을 전개하면요 얘가 지금 x+h가 n개 있는 거예요 자 x+h가 n개 있는데요 요거를 전개했을 때 x^n이 있고요 x의 n - 1 제곱 계수를 찾아 줄 건데 x의 m - 1 되고 계수를 찾아 줄 건데 여기에는 뭐가 나오냐면 자 여기서 x를 뽑아요 여기서 x를 뽑고요 다 x를 뽑고 xx 뽑고 딱 하나에서만 h를 뽑아야 되는 거예요 그래서 여기 앞에는 h가 오는데 이런 애들이 몇 종류 있는 거예요 n개 있는 겁니다 왜냐 h 선택하는 것을 여기서 선택할 수도 있고요 여기서 선택할 수도 있고 자각각 다 h를 선택하는 경우가 있겠죠 여기가 총 n개인데 그래서 h를 선택할 수 있는 경우가 n개입니다 그래서 n까지 곱해줘서 nhx의 자 그 뒤에는요 우리가 요렇게 쓸 수 있을 것 같아요 플러스 뭐 어떤 n이 n에 관한 숫자가 있고요 h 제곱이 들어올 거예요 x의 n - 2제곱 h 두 번 뽑았으면 x는 n-2번 뽑아야 되죠 그렇게 쭉 갈 겁니다 맨 마지막은 h의 n제곱이 되겠네요 그럼 우리가 여기서 지금 -xn제곱을 했어요 -x²을 하면 얘네들이 사라집니다 자 그러면이 내용을 지금 분자에다 써주면 nhxm-1이 되고 + 1 n에 관한 계수가 하나 있고요 xh0 x의 N - 2 되고 쭉 가서요 h n제곱까지 나옵니다

자 그러면h로 나누면요 이렇게 돼요 nx의 n - 1 되고 + 뭔가 계수가 있고 hxm-2제곱 쭉 가서요 근데 우리가 지금 h가 0으로 가고 있기 때문에 h로 하나라도 가지면 0이 되는 거예요 그래서 여기 뒷부분이 다 0이 됩니다 그래서 제가 계수를 따로 계산하지 않은 거예요 왜죠 어차피 0이 되는 부분입니까 우리가 계수가 중요하지 않아요 여기부터는 계수가 중요하지 않습니다 그래서 남은게 뭐가 나와요 nx의 n - 1 제곱이야 자 제가 이 과정을 꼭 알아야 된다고 생각해서 설명을 드린게 아니라요 우리가이 공식이 도함수의 정의를 이용해서 구했다는 것을 보여 드리려고 이렇게 설명을 드린 거예요 얘가 이렇게 되는 과정이 어 갑자기 이공식이 뭐야 하지 마시고 도함수의 정의를 이용했구나 우리가 배운 내용 가지고 유도를 한 거구나 그렇게 알고 계시면 될 것 같아요 자 우리가 그래서이 fx는 x^n을 미분해서 F 프라임 x는 n의 xm-1²이 된다는이 내용을 가지고 계속 미분을 해 줄 겁니다

자 1번은 제가 별표를 하나 달아두도록 할게요 자 2번은 fx는 x를 미분하면 자 1번 공식을 그대로 쓰는 거예요 지금 x의 1제곱이죠 그러면 지수에 있는 1이 앞으로 오구요 그리고 x의 0 제곱이 돼요 자 x의 0 제곱은 뭐예요 1이죠 그래서 그냥 1이 됩니다 자 3번은 fx는 상수항일 때인데요 요렇게 상수항만 있을 때는 미분하면 0이 됩니다 자이 내용 가지고 우리가 미분을 계속 한다 그랬어요 자 여기서는 두 함수 fxgx가 미분 가능할 때 성립하는 성질들을 볼 건데요 cfx면 어떤 함수 fx에 숫자 c를 곱해 놓은 거예요 실수 c를 곱해놓으면 c는 그대로 냅두고 fx만 미분해서F 프라임 x라고 써주면 되고요 FX + gx를 미분하면 우리가 f'x와 g프라임 x를 더해주면 됩니다 각각 미분해서 더해주면 된다는 얘기예요 자 FX - gx를 미분하면요 f'x랑 g프라임 x를 빼주면 돼요 각각 미분해서 빼주면 되죠 자 그래서 우리가 이거를 지금 연습을 해 볼 건데 X5 되고 플러스 x를 미분할 겁니다 자 그러면 우리가 앞에서 x의 n제곱을 미분하면 n의 x의 n - 1 제곱이 된다고 배웠어요 지수에서 숫자 하나를 빼서 n-1이 되는 겁니다 자 그러면 X5 제곱을 미분하면 뭐가 되는지 우리는 알아요 지수에 있는 5를 계수로 써주고 x의 지수에서 1을 뺀 4가 돼요 자 x를 미분하면 우리가 그냥 1이 되는 걸 알고 있어요지수가 1이기 때문에 지수1이 앞으로 오고요 x의 0 제곱이니까 x 0 제곱이 사라져서 1만 남습니다 자 그러면 X5 제곱 플러스 x를 미분하면 각각 미분한 걸 더해준 거랑 같은 거예요 우리가 요거를 배우고 있는 겁니다 자 그럼 만약에 X1 제곱 앞에 계수가 3이에요 그러면 여기다가 그냥 3을 곱해주면 되죠 실수배는 똑같이 유지되니까 자 그럼 여기에 만약 2가 있었어요 그럼 여기도 그냥 이렇게 2를 곱해서 최종적으로 GX 내재고 플러스 3이라고 계산을 해주면 되는 겁니다 자 하나만 더 해볼게요 fx가 ex의 제곱 마이너스 5X + 1이에요 자 이거를 미분한 F 프라임 x를 계산을 하면 우리가 x의 제곱이니까 미분하면 x²은 2x가 되고요 -5 곱하기 x를 미분하면 1입니다 + 1은 상수항이라 사라져요 그래서4x - 5가 f'x로 우리가 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 개념 예제 풀어보도록 할게요 fx가 x^3 플러스 4x-2x+1로 주어져 있고요 이거에 도함수를 구하라고 했습니다 그러면 F 프라임 x를 바로 계산을 해보면 x^3이니까 지수 3이 계수로 오고요 3x 제곱입니다 + 4 곱하기 x 제곱을 미분하면 2X -2 곱하기 x를 미분하면 1 그리고 뒤에 있는 플러스 1은 사라져요 그래서 3x² + 8x -2라고 우리가 계산을 해주면 됩니다

자 여기서 하나만 더 해보고 갈게요 우리가 이렇게 F 프라임 x를 구하면요 미분계수 값을 구하기가 정말 쉬운 거예요 F 프라임 이름 뭐예요 그냥 여기다가 대입을 하면 되는 거죠 3+8 -29 자 그럼 AF 프라임 0은 뭐예요 0을 대입했을 때 나오는 0 + 0 - 2 -2죠 f'를 제곱하면 4 + 8 * - 2 - 2니까 12 - 16 -2죠 그럼 몇이에요 -6입니다 자 이렇게 우리가 도함수를 구하면요 그거에 따른 미분 계수를 구하기도 정말 쉬워지는 겁니다 이러기 위해 우리가 도함수를 구해주는 거예요 일일이 미분계수를 구하는게 아니라 도함수를 구하고 대입해서 미분 계수를 구하는게 훨씬 쉽습니다 자 그래서 우리는 앞에서 어떤 전개된 다항함수를 미분하는 방법을 배운 거예요 그런데 우리가 만약에 전개되어 있지 않고 어떤 곱으로 표현되어 있는 그런 함수를 미분하는 방법을 배워 볼 건데 이렇게 fx와 gx를 미분하면요 f'+ FX 지프라임 x를 더해주면 됩니다 자 우리가 이것도 유도를 하기 위해선 도함수의 정의를 이용해서 공식을 유도할 수 있는데 한번 직접 해보시기 바랍니다 우리가 이번 시간에 하지는 않을게요 자 FX gx를 미분하면 f를 미분한 거와 g는 그대로 유지를 하고요 또 애플을 그대로 쓴 거와 이번에 gx를 미분합니다 요거를 더해주는 거예요 만약에 세기를 미분하면요 번갈아가면서 하나씩 미분을 하는 겁니다 f만 미분한 거 나머지 그대로 쥐만 미분한 거 나머지 그대로 h만 미분한 거 나머지 그대로 자 그러면 우리가 개념인쇄 풀면서 한번 연습해 보도록 할게요 자 fx는 x² + 1의 2x - 3이라고 나와 있습니다 그러면 우리가 지금 어떤 x² + 1과 2x - 3으로 곱해져 있는데 자 제가 얘를 동그라미라고 해놓고 얘를 세모라고 써볼게요 그러면 우리가 F 프라임 x를미분하면요 번갈아가며 미분을 해주는 겁니다 동그란 거 미분해주고 세모는 그대로 동그란 거 냅두고 새 몸이 분하고 이렇게 번갈아가며 미분해 주면 되는 거예요 자 그러면 x² + 1을 미분하면 2x 뒤에 있는 ex-3은 그대로 자 여기는 x² + 1이고 뒤에는 EX -3을 미분하면 2입니다 그래서 싹 전개를 해주고요 4x² -6x + 2x^2 + 2입니다 그러면 6x의 제곱 마이너스 6x + 2가 우리가 구할 수가 있는 거예요 물론 이렇게 미분 안 하고 주어진 x 제곱 플러스 1의 2x - 3을 전개해서 미분해도 상관은 없습니다 하지만 이렇게도 미분할 수 있는 방법을 꼭 알아두시기 바랍니다

자 오늘 강의에서 배운 내용들이 많아요 되게 중요한 내용들이고요 우리가 다항 함수를 미분하는 방법을 배웠어요그래서 어떤 x는 3 X5 이런 한 점에서 미분하는 미분 계수값을 구하는 방법이 아닌 fx를 통째로 미분하는 방법을 배웠습니다 그래서 그렇게 나온 결과를 뭐라 그래요 도함수라고 하죠 우리가이 도함수를 구하는 방법을 배웠고요 자 우리가 배운 내용을 꼭 복습하면서 개념 예제에서 적용하는 연습도 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다