[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 접선의 방정식

자 이번 시간 학습할 내용은 접선의 방정식입니다 우리가 접선의 방정식 구하는 방법을 배울 건데요 우리가 어떤 접선이란 것도 결국은 직선의 방정식이에요 자 그러면이 직선의 방정식을 나타내기 위해서는 우리가 보통 두 가지 요소가 필요해요 기울기가 필요하고요 그리고 한 점이 필요합니다 자 그런데이 접선이라는 거는 우리가 접하는 점을 가지고 우리가이 접선의 방정식을 찾게 됩니다 접점의 x좌표가 x좌표가 a면요 접점은이 y는 fx라는 곡선과도 만나고 있기 때문에 한 점을 a afa라고 놓으면 되는 거예요 항상 a fa를 지나는 거죠 자 그리고 기울기는 뭐랑 같아요 우리 접선의기울기랑 같은게 뭐죠 바로 미분계수와 같죠 그래서 f' a를 구해주면 됩니다 그래서 결국은 우리가이 접선의 방정식을 찾기 위해서는 뭐가 필요한 거예요 접점이 필요한 겁니다 자 그래서 우리가 만약에 문제에서 접점이 주어져 있으면 그냥 그 접점 가지고 접점의 방정식 구해주면 되고요 접점이 안 주어져 있으면 우리는 무조건 접점을 문자로 잡는 겁니다 a 콤마 fa라고요 문자로 잡고 좁쌀의 방정식을 써주는 거죠 y는 기울기 f'a의 a fa를 지나니까 x - a + fa라고 이렇게 접선의 방정식을 써주면 되겠죠

자 우리가 요거는 직선의 방정식을 배우면서 배운 식입니다 요거 어디서 나온 거예요 y는 기울기 m이고 x - a + b 즉 기울기가 m이고a b를 지나는 직선의 방정식은 이렇게 쓸 수가 있는데 우리가 지금 접선에서는 그 점이 a fa고 기울기가 f'a니까 그 자리에 넣어서 이렇게 바꿔 준 겁니다 요거를 이렇게 바꿔준 거예요 그래서 접점을 문자로 잡아서 이런 접선의 방정식을 써주고 우리는 a 값을 찾아주면 됩니다 자요 내용이 중요한 거예요 접점을 잡아서 직선의 방정식을 만들어 준다 자 그러면 우리가 한번 하나씩 해 볼게요 자 여기는 지금 접점이 주어진 경우라고 나와 있어요 접점이 주어진 경우에 어떻게 하면 된다 그랬어요 그냥 우리는 그 접점 가지고 기울기 구하고 접점 가지고 이렇게 직선의 방정식 써주면 된다 그랬어요요 유형은 어렵지 않아요 한번 볼게요 자 곡선 y는 x²-3 위에 점 1 -2에서의 접선의 방정식을 구하라고 했습니다 그러면 지금 이거 위에 점이니까이 곡선 위에 점이니까 접점이 주어진 거예요

자 그러면 우리가 기울기를 구하기 위해서는요 기울기를 구하기 위해서는 F 프라임 1을 구해야 되고요 우리가 이거를 구하기 위해서이 y를 미분해주면 y 프라임은 2x죠 그래서 aff 프라임을 계산하면 2라고 우리가 계산을 할 수가 있어요 그러면 접선의 방정식은 y는 2의 x-1 - 2라고 써주면 되겠네요 전개해서 정리하면 y는 2x - 4라고 얻을 수 있습니다 그래서 결국은 우리는이 접선의 방정식을 구하기 위해서 자 이 기울기를 알아야 되고요 기울기를 알기 위해서 주어진 함수를 미분을 해주는 겁니다 그래서 우리가 도함수의 활용이라는 단원에서 배우고 있는 거예요 자 기울기가 주어진 경우입니다 자 기울기가 주어진 경우에는요 마찬가지로 우리는 접점을 구해야 되는 거예요 그래서 접점의 좌표를 문자로 잡고요 접점의 좌표로 문자로 잡고 그 기울기랑f'a랑 같은 거니까 여기서 우리는 a 값을 찾아 줄 수가 있습니다 그러면 접점의 좌표를 알면은 접선의 방정식 찾는 것도 어렵지 않게 구할 수 있죠 자 개념 예제 보면요 곡선 y=x² + 2x - 3의 접하고 직선 y는 4x+1의 평행한 직선의 방정식을 구하라고 했네요 자 그러면 지금이 직선 y는 4x+1의 평행하다 그랬으니까 우리는 기울기가 4라는 것을 알 수 있어요 그죠 자 그리고 제가 조금 편의상 여기에 있는요 곡선을 fx라고 할게요 자 그러면 우리가 지금 접점을 알아야 몰라요 접점을 몰라요 그러면 접점 좌표를 우리가 A fa라고 잡아주는 겁니다 접점을 모르면 접점을 문자로 잡아주는 거예요 자 그러면 fa도 구할 수가 있죠 a 제곱 플러스 2A - 3이라고요 자 그때 우리가 지금 기울기가 4라는 걸 알고있는데 얘는 그럼 뭐랑 같은 거예요 f를 미분한 F 프라임의 a를 대입한 값과 같아지는 거예요 왜죠 접점이 x는 a니까 거기서 나오는 미분 계수 f'a가 접선의 기울기랑 같으니까요 그러면 우리가이 fx를 미분하면 F 프라임 x를 2x+2라고 구할 수 있고요 즉 F 프라임 a는 2a+이고 그 값이 4와 같아서 우리는 a값을 1이라고 구할 수가 있는 겁니다 그러면 우리가 접점도 1 대입해서 0이라고 구할 수 있는 거예요 그래서 기울기가 4구요 1 콤마 0을 지나는 직선의 방정식 y는 4의 x-1이라고 써주면 됩니다 y는 4x-4예요

자 넘어갈게요 이번에 곡선 밖에 한 점이 주어진 경우인데요 자 얘도 마찬가지로 지금 접점 좌표를 모르는 거예요이 곡선밖에 한 점이라는거는 곡선이 뭐 예를 들어 이렇게 생겼어요 이렇게 생겼는데 한 점을 밖에다 주는 겁니다 요런 식으로 그러면 여기서 그 접선이 이렇게 생길 수도 있고 이렇게 생길 수도 있어요 자 그때요 점들 있죠 요점에 좌표를 우리가 문자로 잡아주는 겁니다 a fa라고요 이렇게 꼭 잡아 줘야 됩니다 접점을 잡아놓고 얘는 이렇게 접선의 방정식을 세워줘요 아예 그냥 문자로 가지고 접선의 방정식을 세우는 겁니다 자 저는 계속 a로 하고 있는데 여기는 지금 t라고 나왔어요 문자를 뭘로 잡든 무관합니다 자 어쨌든 이렇게 접선의 방정식을 그 문자로 포함한 형태로 그냥 작성을 해주는 거예요 그 다음에 곡선밖에 한 점을 여기다가 대입을 하면요 우리가 그 t값 또는 a값 우리가 접점 x좌표라고 잡아 놨던 문자를 구할 수가 있게 돼요 자 그러면구한까지 값을 가지고 접선의 방정식을 찾아주면 됩니다 자 한번 해보도록 할게요 y는 x제곱 -3x+2의 글은 접선의 방정식을 구하라고 했고요 얘를 fx라고 하겠습니다 그러면 가장 먼저 뭘 해야 된다구요 우리가 접점의 좌표를 문자로 잡는다고요 a a 제곱 마이너스 3a + 2라고요 자 그 다음에 우리가 이걸 가지고 이걸 가지고 접선의 방정식을 세웁니다 자 그러기 위해서 기울기 기울기를 구하기 위해 F 프라임 x를 구하고요 f'3이니까 우리가이 접선의 기울기 f프라임 a는 2A - 3이라고 구할 수가 있어요 그럼 얘네들 가지고 우리가 접선의 방정식을 그냥 문자로 세워요 y는 기울기 ea-3에 x-a + a² - 3a + 2 0 자 그다음 이렇게 세운 접선의 방정식이4 5를 지나는 거예요 그래서 4 5를 대입을 합니다 4 콤마 5를 대입을 해주면요 오늘은 2A - 3 그리고 4 - a 그리고 플러스 a의 제곱 마이너스 3 A + 2입니다 그래서 요거를 싹 전개해 줄 건데요 -2a 제곱 플러스 8a + 3a - 12 + a의 제곱 마이너스 3a + 2예요 그러면 -2 제곱 a² 하면 - a 제곱이고 3a - 3a 사라져서 플러스 8a만 남구요 -12 + 2 -10입니다 다 좌변으로 몰아주면 a의 제곱 마이너스 8a + 15는 0이라고 우리가 2차 방정식으로 정리할 수가 있고요 a 값이 3 또는 5라고 나옵니다

자 그러면a가 3일 때 a가 3일 때 접선의 방정식 대입해서 계산해 주고요 y는 3을 대입하면은 여기다 3을 대입하면은 3의 x - 3 + 9 - 9+2네요 그래서 3x-9+2니까요 얘가 3x - 7이라고 우리가 접선의 방정식을 계산할 수 있고요 자 이번엔 a에다가 5를 대입해서 접선의 방정식을 구하면 y는 7 x - 5 + 25 -15 + 2고요 7x-35 얘가 플러스 10이네요 여기까지 해서 그러면 우리가 7x-20 3이라고 계산을 해 줄 수가 있습니다 자 여기까지 해서요 우리가 접선의 방정식 구하는 방법들을 배워 봤어요 가장 중요한 건 뭐라고요 우리가 접점 좌표가 안 주어져 있으면접점 좌표를 문자로 잡아서 우리가 그 접점의 좌표를 구해주는거다 그것만 할 수 있으면 우리가이 접선의 방정식 구하는 문제들 많이 풀립니다 자요 내용들 우리가 조금 헷갈리는 내용들이니 마찬가지로 복습고 꼼꼼하게 해주시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다