[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 평균값 정리

자 이번 시간에 배울 내용은 평균값 정리입니다 우리가 평균값 정리를 배우기 전에 평균값 정리 중에서 딱 특수한 케이스가 하나 있어요 그게 롤의 정리라는 것인데 그래서 롤의 정리를 먼저 배우고요 그 다음에 현금값 정리를 배우도록 하겠습니다

자 롤의 정리가 뭐냐면요 롤의 정리가 성립하기 위한 조건이 일단 있어요 첫 번째 다친 구간에서 연속이어야 돼요 다 친구가 a 콤마 b에서 연속이어야 되고 열린 구간 a콤마 b에서 미분 가능해야 됩니다 그리고 fa랑 fb랑 같아야 돼요 자 첫 번째 조건 뭐라고요 두 번째는 열린 구간에서 미분 가능하고 세 번째는 fayp의 값이 같아야 됩니다 그러면 그래프를 이렇게 그릴 수 있겠죠 fa와 fb가 같은 끝점을이렇게 찍고 아무 그래프나 하나 그려 볼게요 이렇게 그러면 롤의 정리가 뭐냐면 우리가 저 세 가지 조건들이 성립을 하면요 세 조건들이 성립을 하면 f'c가 0이 되는 즉 접선 기울기가 0이 되는 접선 기울기가 0이 되는 어떤 x는 c라는 값이 꼭 열린 구간에 하나는 존재한다는 적어도 하나 존재한다는 내용이 노래 정리입니다 자 그림에서 보면 그 지점이 어디일까요 접점 기울기가 0이 되는 요기죠 우리가 요런 애들을 존재한다고 얘기하고 있는게 바로 롤의 정리입니다 여기에도 존재해요 적어도 하나 존재하는 것이고요 두 개 존재할 수도 있고 세계 존재할 수도 있는 거예요 제가 함수 그래프를 하나 더 그려 볼게요 만약에 함수 그래프가 x는 a에서 x는 a에서 요렇게fe라는 점을 찍고요 그리고 fb도 같으니까 fb라는 점도 이렇게 쭉 가서 여기다가 b를 찍을게요 그러면 함수의 끝이 요점과 요점을 지나고 여기를 이렇게 이어 볼게요 그러면 접선 기울기가 0이 되는 지점이 적어도 하나 생겨야 되는데 그게 어디예요 여기 생기는 거죠 여기 여기가 c가 되는 겁니다 자 이렇게 다친 구간 연속이고요 열린 구간에서 미분 가능하고 fefb가 같아요 이럴 때 접선 기울기가 0이 되는 그 열린 구간 AB 사이에 c가 적어도 하나 존재한다는게 롤의 정리입니다 우리가이 내용을 꼭 숙지를 하셔야 돼요 의미를 한번 쭉 읽어 볼게요 제가 계속 설명드린 내용과 똑같은데요 함수 fx가 이렇게 연속이고 열린 구간에서 미분 가능하고 fa랑 fb가 같으면 여기 뭐라고 써 있어요 열린 구간 a에 기울기가 0인 곡선 y=fx의 접선이 적어도 하나 존재하는 것을의미한다라고 적혀 있어요 접선 기울기가 0인 지점이 하나 존재한다 이게 롤의 정리예요

자 그러면 개념 예제 한번 볼게요 fx는 x 제곱 플러스 4에 대하여 다친 구간 -2에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 c의 값을 구하라고 했어요 그러면 우리가 x에다가 -2를 대입했을 때 f-2의 값은 8이죠 자 x에다가 2를 대입하면요 f에다가 2를 넣는 거니까 똑같이 8이 나와요 그래프를 그렸을 때 우리가 y=x² + 4라는 그래프는 우리가 그릴 수 있죠 마이너스 2 8을 지나고 2 8을 지나고 그리고 그래프를 이렇게 그려주면 될 것 같아요 이렇게 그려주면 되는데 롤의 정리에 의하면요 우리가 지금 일단 연속이에요 다 친구가 a에서 연속이에요 다항함수니까 연속이고 열린 구간 a에서 미분 가능합니다 이것도 마찬가지로다항함수이기 때문에 미분이 가능해요 미분 가능하고 또 fa랑 fb랑 같죠 자 제가 여기서 a b라고 써 놓은 것은요 -2와 2 - 2와 2 f-2는 F2 이렇게 -2와 2일 때 우리가 롤의 정리가 성립하기 위한 세 가지 조건들을 지금 모두 만족을 하고 있어요 그러면 롤의 정리가 성립하는데 롤의 정리가 지금 접선 기울기가 0인 지점이 하나 존재한다는 거죠

자 그러면 어떻게 구하면 돼요 접전 기울기가 0인 거니까 F 프라임 x가 2x인데 그 값이 그 값이 0이 되는 x는 0이라는 위치에서 이렇게 x는 0이라는 위치에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 C 값이 여기 존재하는 겁니다 c는 0이죠 그러면 자 여기까지 됐나요 넘어가도록 하겠습니다자 이번엔 평균값 정리를 보도록 할 건데 우리가 롤의 정리하고 좀 비교를 할 거거든요 그래서 롤의 정리 내용을 먼저 줘 정리를 하고 가도록 하겠습니다 자 롤의 정리가 성립하기 위한 세 가지 조건이 있었어요 첫 번째 뭐예요 다친 구간 a 콤마 b에서 연속이어야 되고요 두 번째 열린 구간 a콤마 b에서 미분이 가능해야 됩니다 미분이 가능해야 되고 세 번째 fa랑 fb랑 같아야 돼요 그럼 뭐가 성립해요 F 프라임 씨가 0이 되는 이거인 c가 열린 구간 ab에 적어도 하나 존재해야 되죠 존재라고만 쓰겠습니다 적어도 하나 존재해야 돼요 자 그럼 이번엔 평균값 정리를 볼 건데 교재를 보면 자 다친 구간에서 연속이고 열린 구간에서 미분 가능한 건 똑같습니다 자 평균값 정리는요 제가 파란색으로적을게요 정균값 정리가 정리해서도 첫 번째 다 친구가 a b에서 연속인 것 똑같아요 그리고 열린 구간 a 콤마 b에서 미분 가능한 것도 똑같습니다 미분 가능한 것도 똑같은데 자 얘는 세 번째 조건은 없어요 그랬을 때 뭐가 성립하는지 보면 b-a분의 fb-fa가 f'c를 만족한데요 자 d-a분의 F 프라임 c가 B - 1/2 fb - FA 2인 c가 열린 구간 a 콤마 b에 마찬가지로 적어도 하나 존재한다는게 지금 평균값 정리예요 시가 열린 구간에 적어도 하나 존재한다 자 그러면 자 얘가 어떤 걸 의미해요 d-a분의 fb-fa는 우리가 평균 변화율이라고 배웠어요평균 변화율 자 평균 변화율은 기하학적으로 어떤 의미를 가지고 있어요 a fa와 b 콤마 fb를 이은이 직선의 기울기죠이 직선의 기울기입니다 이 기울기랑 같은이 기울기랑 같은 F 프라임 c인 이식을 만족하는 c가 적어도 하나 존재한다는 거예요 접선 기울기죠 접선 기울기에요 그러면 우리가이 평균값 정리에 의해서이 [음악] 평균 변화율이 나타내는 기울기이 기울기와 같은 접선 기울기를 가지는이 x 좌표 c가 존재한다는 겁니다 적어도 하나 자 다시요 우리가 afa부터 B 콤마 fb까지 이은 직선의 기울기가 있어요 이 직선의 기울기가 있는데 평균값 정리가 뭐냐면이 기울기랑 똑같은기울기를 가지는 접선이 접선이이 열린 구간 사이에 적어도 하나 존재한다는게 평균값 정리예요 자 이 그림에서는요 여기도 하나 존재하고 여기도 하나 존재하죠 자 적어도 하나 존재한다는 말은 두 개 존재할 수도 있다는 말이에요 자 요게 평균값 정리고요 우리가 롤의 정리는 평균값 정리 아주 특수한 경우라고 했는데요 그게 언제냐면 평균값 정리에 fa는 fb라는 조건을 추가해주면 fa랑 fb가 같다는 조건을 추가해주면 우리가이 F 프라임 c는 요거가이 값이 0이 되어서 왼쪽에 있는 롤의 정리가 그대로 나오게 되는 겁니다

자 우리가 이거를 그림에서 확인을 할 수 있듯이 식으로도 계산을 할 수가 있어야 돼요 자 계산해 보도록 하겠습니다 자 fx는 x 제곱에 대하여 다친 구간 2에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 c의 값을 구하라고 했어요 그럼 일단 저 fx는x²이라는 그래프를 그려보도록 할게요 이렇게 그릴 수 있고요 x는 2라는 좌표를 여기다가 표시를 할 거고 4라는 좌표를 여기다가 표시를 하겠습니다 그랬을 때 자 일단 y 좌표를 구하면요 2 콤마 4구요 여기는 46이에요 평균값 정리가 뭐예요 요점과요 점을 이은이 직선이 직선의 기울기이 직선의 기울기 몇이죠 4-2분의 16 - 4 즉 2분의 10이니까 기울기가 6이네요이 기울기가 6이 되는 접선이 기울기가 6이 되는 접선이 구간 열린 구간 2랑 4 사이에 여기에 적어도 하나 존재한다는 겁니다 자 보면 여기 지금 이렇게 기울기가 같은 직선을 하나 그릴 수 있겠네요 어떻게 찾으면 돼요 우리가 fx는x²이니까 f'를 구하면 2x입니다 그래서이 ex가 기울기를 나타내는데 그 기울기가 6이 되는 x값을 계산해주면 3이죠 따라서요 접점요 접점에 좌표는 3이에요 그래서 답은 3이라고 우리가 구할 수가 있습니다

자 우리가 여기까지 해서 롤의 정리와 평균값 정리 배워봤고요이 정리들은 언제 성립하는지 꼭 알아야 되고 이게 좌표 평면 상에서 어떻게 그려지는지 어떻게 표현되는지 알아야 되고 우리가 개념 예제에서 풀어봤듯이 그 표현되는 c값들 찾아내는 방법까지 숙지하시면 되겠습니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다