[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 함수의 증가와 감소

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 학습할 내용은 함수의 증가와 감소입니다 우리가 오늘 이제 증가와 감소를 먼저 배우고 언제 증가하고 언제 감소인지 그리고 어떻게 판별할 수 있는지 이런 내용을 좀 배워보도록 할 거예요 자 일단은 우리가 증가가 뭐고 감소가 뭔지 좀 더 명확하게 좀 구분 짓도록 하겠습니다 우리가 대충 올라가면 증가한 걸 알고 내려오면 감소지는 알아요 그런데 정확하게 우리가 수학적으로 정의가 되어 있는 증가와 감소가 뭐냐면 자 x1이 x2보다 작을 때 자 x2가 더 큰 거예요 그러면 그에 따라서 함수값도 더 커지면 함숫값도 더 커지면 우리는 그거를 증가한다고 합니다 자 x1하고 x2에서 마찬가지로 x2가 더 큰데요 이번에 오히려 fx2가 더 작죠 함숫값이 작아진 겁니다x값이 오른쪽으로 갔는데 함숫값이 내려온 거예요 그런 경우에는 우리는 감소한다고 합니다 그림으로도 한번 확인을 해 볼게요 자 x1이 여기 있고 x2가 여기 있습니다 자 x1에서 x2로 갈 때요 함수가 이렇게 올라가고 있어요 함수가 올라간다는 말은 우리가 지금 y좌표가 여기에서 여기로 쭉 올라간다는 얘기에요 그래서 우리가 이런 경우 증가한다 증가한다라고 하고요 감소는 마찬가지로 x1과 x2에서요 지금 x1에서 x2로 갈 때 함수가 이렇게 내려오고 있어요 내려왔더니 감수값이 어떻게 되고 있어요요 점에서 요렇게요 점으로 내려왔죠 이렇게 내려온 거 뭐예요 감소하는 겁니다 감속 자 우리가 이렇게 정확하게 증가와 감소가 뭔지 알아야겠죠 자 개념메즈 한번 보도록 할게요 fx는 x 제곱이 구간0부터 양이 무한대에서 증가함을 보이라 그랬어요 자 그러면 x1이 x2보다 작다고 하겠습니다 요거일 때 이거일 때 f의 x2 - fx1을 한번 빼볼게요 자 빼면요 x2 제곱 -x1 제곱이고 합차 공식으로 x2 - X1 x2+x1으로 우리가 인수분해를 할 수가 있어요 그런데 우리가 지금 구하고 있는 구간은 0부터 무한대죠 0 이상 쭉 가니까 우리가 x1의 범위를 이렇게 정할 수가 있는 거예요 0 이상이다 그러면 여기 써 있는 X1 + x2는요 둘 다 x1은 0 이상이고요 x2는 양수니까 두 개를 더해서 무조건 양수가 나오게 됩니다 자 x2 - x1은 x2가 더 크기 때문에 양수가 나오죠 그러면 양수와 양수를 곱하면 뭐예요 양수죠따라서 우리는 f의 x2가 f의 x1보다 크다는 결론을 내릴 수가 있습니다 그러면 우리는 뭘 할 수 있는 거예요 함수 fx는 함수 fx는 구간 0부터 양이 무한대까지 해서 증가한다라고 결론을 내릴 수가 있는 겁니다 자 여기까지 되셨나요 자 넘어가겠습니다 자 함수의 증가와 감소의 판정인데요 일단 교재를 한번 좀 읽어 볼게요 함수 fx가 어떤 열린 구간에서 미분 가능할 때 그 구간의 모든 x에 대해서 f'가 0보다 크면요 f'x가 0보다 크면 fx는 그 구간에서 증가한다라고 적혀있어요 자 반대로 그 구간의 모든 x에 대해서 F 프라임 x가 0보다 작으면 fx는 극구간에서 감소한다라고 하는 거예요 자 여기서 f프라임 x가 0보다 크다라고 하는거는 접선 기울기가 접선 기울기가 양수인 거죠 자 F 프라임 x가 0보다 작은 건 접선 기울기가 어떻게 되는 거예요 접선 기울기가 음수다라고 하는 겁니다 자 그러면 함수 그래프가 만약에 이렇게 생겼어요 이렇게 생겼다고 해봅시다 그러면 지금 여기서 접선 기울기가 양수죠 여기서도 접선 기울기가 양수에요 여기서도 접선 기울기가 양수죠 자요 점까지 자 제가이 점을 x는 1이라고 하면요 지금 여기서 접선 기울기는 뭐예요 여기서 접선 기울기는 0입니다 그래서 요거 되기 전까지 여기서부터 여기까지 해서는요 접선 기울기가 모두 양수에요 자 그랬더니 그래프가 지금 어떻게 생겼어요 x값이 증가할 때 y 값이 커졌죠 x값이 증가할 때 y 값이 커졌어요계속 커집니다 요기 되기 전까지요 그래서 우리는 접선 기울기가 양수면 그 구간에서 우리는 fx가 증가한다 그 구간에서 증가한다라고 할 수 있는 겁니다 그래서 이렇게 쓸 수 있겠네요 x가 1보다 작은 구간에서 요거에서 증가한다 증가한다라고 할 수 있는 겁니다 자 만약에 조금 더 가서요요 점에서 접점을 기울기가 지금 음수죠 여기서도 음수입니다 여기서도 음수고 자 어디까지요 점까지 자 여기서도 지금 접선 기울기가 0입니다 제가 여기 x좌표를 3이라고 할게요 여기 x좌표를 3이라 그러면 1하고 3 사이에서는 1부터 3 사이에서는 지금 접선 기울기들이 모두 음수예요 모든 수구요 그래프가 어떻게 생겼는지 봤더니 x 값이 증가할 때 y 값이 감소하고 있습니다 그래서 이렇게 쓸 수 있습니다1보다는 크고 3보다는 작은 범위에서 감소한다라고 할 수 있는 겁니다 자 다음이 여기서는요 지금 기울기가 다시 양수가 됐어요 양수가 됐죠 그래서 x가 3보다 큰 구간에서는 x가 3보다 크면요 요거에서는 함수 그래프가 다시 접선 기울기가 양수가 됐으니까 이렇게 증가하고 있죠 함수가 증가한다 라고 할 수 있습니다 자 그런데 우리가 여기서 조금 헷갈린게 하나 있어요 그게 뭐냐면 만약에 fx가 그 다친 구간에서 다친 구간에서 연속이에요 여기서 다친 구간이 어떤 구간을 말하는 거냐면 여기 열린 구간이 만약에 이렇게 a부터 b까지면 여기 다 친구가는 a2상 B 이하를 말합니다 자 이거에서 연속이면요 우리는 이렇게표현할 수 있어요 지금 x가 1 이하에서 증가한다 등호가 생기는 겁니다 얘도 마찬가지로 이상 3 이하에서 감소한다 요거는 3 이상 x가 3 이상해서 증가한다 자 이게 왜 될까요 자 우리가 x는 1이라는 점을 보면 자 요즘은 접선 기울기가 0입니다 접선 기울기가 0이지만 여기서부터 여기까지는 분명히 증가했어요 x가 1인 순간까지 증가했다고 할 수 있는 겁니다 y값이 더 크니까요 그래서 우리가 연속이라면 이렇게 끝이 경계를 포함해서 이렇게 범위를 설정을 할 수가 있는 겁니다 x는이 미아에서 증가 1이상 3 이하에서 감소 3 이상에서 증가 이렇게 표현을 해 주시면 됩니다 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 개념 예제 볼 건데요 fx는 x^3- 3x² -9x+4 요거의 증가마 감소를 조사하라 그랬어요 자 F 프라임 x를 계산을 해 줄 거고요 3x 제곱 마이너스 6x-9고 3으로 묶었을 때 x의 제곱 마이너스 2x -3입니다 인수분해되죠 인수분해해주면 x-3 x + 1이에요 그래서이 F 프라임 x 그래프를 그려주면 이렇게 주가의 요점이 -1과 3인 이런 그래프를 그릴 수 있겠네요 자 여기서는요 제가 지금 표시하고 있는 여기에서는 f프라임 x가 양수죠 자 범위로 치면 x가 -1보다 작고 x가 3보다 큰 범위에요 그럼 요거에서 fx는 뭐라고 할 수 있는 거예요 증가 도함수가 f'x가 양수니까 fx는 증가한다라고 할 수 있는거고요 지금 x축 아래에 있는요 범위 -1보다는 크고 3보다는 작은 범위에서는 뭐라고 할 수 있어요 f'm x가 음수니까 fx는 감소라고 할 수 있는 겁니다 자 그런데 지금 fx가 다음 함수죠 우리가 다항함수는요 다항 함수는 항상 연속이고 미분 가능합니다 그러면 우리가 연속이면 어떻게 하면 된다 그랬어요이 범위에다가 등호를 포함시켜도 된다 그랬죠 포함시켜 줘야 됩니다 이렇게 이렇게 그래서 답을 이렇게 써주시면 됩니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 함수가 증가 또는 감소하기 조건인데 자 우리가 이거는 방금 배운 내용하고 조금 비교하면서 이해할 필요가 있어요 자 fx는 x^3이 있다고 해봅시다 그러면F 프라임 x는 3x제곱이죠 자 그러면 우리가 f' 0은 0이 나와요 즉 x는 0에서 접선 기울기가 0입니다 그래서 이렇게 x좌표가 0이면 접선 기울기가 0이고요 그거에 따라서 그래프를 그려주면 요런 그래프가 나와요 이렇게 된 그래프가 얘가 y는 fx의 그래프입니다 자 그럼 우리가이 그래프를 봤을 때 증가하고 있나요 증가하고 있습니다 계속 증가하고 있어요 모든 구간에서 x좌표를 요렇게 요렇게 잡아도 y 좌표가 커졌고요 이렇게 이렇게 잡아도 y 좌표가 커졌고 0을 포함해도 뭐 커졌고 계속 커지고 있어요음 얘는 증가함수에요 얘네 증가하고 있어요 그러면 우리가 요렇게 말할 수 있는 거예요 함수가 증가한다 증가하는 함수면 우리가 그 그래프는 f'x가0보다 크거나 같다라고 할 수가 있는 겁니다 자 그런데 우리가 아까 배운 내용은 뭐예요 F 프라임 x가 양수면 증가한다 그랬어요 자 얘도 성립하는 거고 얘도 성립하는 애고 얘도 성립하는 애예요 자 그런데 뭐가 이상해요 어디에는 등호가 들어가 있고 어디에는 등호가 들어가 있지 않아요 자 F 프라임 x가 0보다 크거나 같을 때 증가하는 거는 왜 성립하지 않을까요 성립하지 않습니다 성립했으면 우리가 처음 배울 때 여기 등호를 포함해서 배웠겠죠 하지만 얘는 성립하지 않아요 왜냐하면 f프라임 x가 0 이상이면 이런 그래프가 나올 수가 있습니다 접선 기울기가 계속 0인 이런 지점이 나올 수가 있는 거예요 그러면 여기서 X1 x2를 잡으면 지금 함수가 증가해요 증가 안 해요 증가하고 있지 않아요 그래서 F 프라임 x가 0보다 크거나 같으면0이 될 수 있으면 이렇게 함숫값이 똑같이 진행되는 부분이 생길 수 있으므로 얘는 항상 증가하는게 아닌겁니다 그래서 우리가 요거를 조금 신경써서 구분 짓기 바래요 자 그리고 우리가 어쨌든 어떤 함수가 증가한다 증가한다라는 말이 있으면 우린 도함수가 0보다 크거나 같구나 함수가 증가하지만 여기에 있는 접선 기울기가 0이 될 수 있구나 접속 유효기가 0이 될 수 있구나요 내용까지 이해를 하시면 됩니다 자 밑에 내용은요 우리 fx가 감소하면 자 f'가 0보다 작거나 같다 요것도 마찬가지로 성립을 하겠죠 자 개념 예제 볼 건데요 함수 fx가 x 3 제곱 - 3x 되고 플러스 ax라고 주어져 있습니다 얘가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 한대요 그러면 F 프라임 x를 구해주면 3x² -6x+ a입니다 자 실수 전체집합에서 증가하기 위해서는요 우리가이 도함수가 0보다 크거나 같아야 되죠 우리가 방금 요걸 배운 겁니다 자 그러면 우리 지금 2차시기 항상 0보다 크거나 같대요 이거는 뭐를 만족해야 돼요 판별식 d가 0보다 작거나 같아야 됩니다 그래서 우리가 판별시티를 계산을 해주면 4분의 뒤로 계산을 할게요 9-3a고요 얘가 0보다 작거나 같아서 a는 3 이상이라는 답이 나옵니다 따라서 a의 최소값은 a의 최소값은 3이에요 자 여기까지 해서 우리가 증가 감소에 관한 내용을 배웠고요 증가 감소를 판별하기 위한 식들도 같이 배웠습니다 우리 중간에 헷갈리는 내용이 좀 있었어요 그 내용에 대해 조금 꼼꼼하게 복습을 해보시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]