[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 함수의 극대와 극소

자 이번 시간 학습할 내용은 함수의 극대화 극소입니다 우리가 이제 다음 함수를 그래프 그리는 걸 연습을 좀 하게 될 텐데 다음 시간에 그래프 그리는 걸 배울 거예요 그 전에 우리가이 극대화 극소라는 내용을 알아야 그래프를 정확하게 파악을 할 수가 있어요 자 그러면 우리가 극대화 극소를 이번 시간에 배울 거고 그 극대화 극소가 뭔지 한번 먼저 보도록 할게요

자 암소 fx에서 x는 a를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 x에 대하여라고 적혀 있어요 자 어떤 열린 구간입니다 정해진 구간이 아니에요 그냥 어떤 열린 구간 딱 하나만 다음 조건을 만족하면 됩니다 자 fx가 fa보다 작거나 같아요 모든 x에 대해서 그러면 우리는 함수 fx는 x는 a에서 극대라고 말하고요 그지점을 극대값이라고 합니다 그때이 y 값을 극대값이라고 하는 거예요 자 지금 밑에 그래프가 이렇게 있어요 이런 그래프가 있는데 자 일단은 구간을 우리가 어떤 열린 구간을 하나 만들어 줘야 돼요 근데이 어떤 열린 구간은 꼭 뭐 넉넉하게 구간이 길 필요도 없어요 아주 짧아도 됩니다 자 저는 그 구간을 여기서부터 요잇점까지라고 한번 해 볼게요 자 그러면이 구간 사이에서 그래프는 요만큼만 그려지죠 자 이때 가장 위에 있는 지점요 지점 있죠 우리 눈에 가장 위에 있는 지점 자이 위치를 저는 x는 a라고 할게요 x는 a 그러면 x는 a가 지금 어떤 열린 구간에 속하고요 어떤 구간에 속하고 fx는 fa보다 작거나 같아요 모든 x에 대해서 지금 여기에 있는 fa가 제일 크잖아요다른 애들은 다 fa보다 작거나 같죠 우리는이 위치를 극대라고 합니다 x는 a에서 극대라고 말하고 그때의 y값 함숫값 afa를 극대값이라고 표현을 합니다 자 극소값도 비슷하게 정의가 되고요 fx가 fa보다 크거나 같을 때 모든 x에 대해서 크거나 같을 때 우리는 함수의 x는 a에서 극소라고 하고요 이때 함숫값 fa를 극소값이라고 말합니다 자 그래프가 이렇게 그려져요 이렇게 그려지는데 자 여기 지점 있죠요 지점요 지점을 포함하는 저는 구간을 여기서부터 여기까지라고 잡아 볼게요 자 그랬을 때 여기 구간에 있는 모든 x에 대해서 여기를 a라고 하면요 x는 a라고 하면 자 fx가 fe보다 항상 크거나 같죠 fa가 가장 작아요 여기가 지금 제일작습니다 이런 경우에 우리는 x는 a에서 극소라고 하고 fa를 극소값이라고 합니다 우리가 어떤 열린 구간이라는 개념이 조금 헷갈릴 수 있는데 구간은 우리가 잡기 나름이에요 잡기 나름이고 그 지점에서 쭉 올라가는 내려가거나 쭉 내려가다가 올라오면 그 지점에서 각각 극대 극소라고 하고 극대값 극소값을 갖는 겁니다 자 이때 극대값과 극소값을 통틀어 우리는 극값이라고 해요 극대값과 극소값을 통틀어서 극값이라고 합니다 자 요런 그림을 하나 그려 볼게요 이렇게 그래프가 이렇게 생겼습니다 그러면 지금 극대는 어디예요 여기 극대고요 여기도 극대입니다 여기에서 극대값을 가져요 여기에서 극대값을 갖고요

자 극소값 한번 찾아볼게요 여기 극소 여기 극소 여기 흙속 이렇게 3개에서극소값을 가집니다 자 우리 밑에 있는 화살표 첫 번째 볼게요 극대값이 극소값보다 반드시 큰 것은 아니다라고 적혀 있어요 극대값과 극소값은 어떤 열린 구간에서 정의되는 거기 때문에 극대값이 극소값보다 항상 큰게 아니에요 제가 그린 그림에서도요 지금 여기에 있는 극대값이 여기에 있는 극소값보다 작죠 여기가 지금 fa라고 하고 여기를 fb라고 하면 극소값이 지금 더 커요 이럴 수도 있는 겁니다 그때 극소 사이에서는 자 두 번째 보면 하나의 함수에서 극값은 여러 개 존재할 수 있다고 적혀 있고요 제가 그린 그림이나 처음에 이렇게 예시를든 그림들이나 모두 극값은 여러 개 존재할 수가 있습니다 자 상수 함수는 모든 실수 x에서 극대값과 극소값을 갖는다 그랬어요 우리가 극대화 극소의 정의가이 fx는 FA 하기 때문에 fx는 FA 이상이기 때문에 같은것도 우리가 극대 극소로 칠 수가 있습니다 그래서 상수항수는 상수 함수는 모든 실수 x에서 극대값과 극소값을 갖습니다 자 넘어가도록 할게요 자 y는 FX 그래프가 다음 그림과 같을 때 극대값과 극소값을 구하라 그랬어요 자 그럼 극대값 어디에요 여기죠 지금 x는 1에서 x는 1에서 극대라고 표현을 하고요 그때의 함수값이 F1 f1은 3위죠 지금 그거를 바로 극대값이라고 합니다 극대값은 3이에요 자 이번엔 여기를 볼게요 자 x는 3에서는 뭐예요 x는 3에서 극소 x는 3에서 극소고 f3은 -3입니다 이거는 급소값이 극솟값 자 우리가 그래프를 보고 극대값과 극소값을 찾아봤어요 그 자체는 어렵지 않았을 거라고 생각합니다

자 넘어가도록 할게요 자 이번엔 극값과 미분계수인데요 자 미분 가능한 함수 fx가 2분 가능한 함수 fx가 x는 a에서 극값을 가지면 F 프라임에 있는 0이다라고 적혀 있어요 급값을 가지면 극값을 가지면 F 프라임 a가 0이다라고 적혀 있습니다 자 그러면 우리가 요런 그래프를 한번 그려 볼게요 가장 일반적으로 그릴 수 있는 그래프의 개형인데 자 x는 a에서 극값을 갖는다 그랬어요 제가 여기가 지금 x는 a라고 할게요 극대인 지점이죠 자 그때요 지점을 보면 지금 접선의 기울기가 몇이에요 접선 기울기가 0입니다 접선 기울기가 0이에요 그렇기 때문에 우리는 F 프라임a가 0인거를 확인할 수 있어요 자 극소인 지점도 마찬가지죠 자 제가요 지점을x는 b라고 할 건데이 지점에서의 접선 기울기도 마찬가지로 0이에요 즉 F 프라임 p도 0입니다 극대극수 상관없이 그 값인 경우에 우리가 f'a가 0이라는 걸 확인할 수 있어요 그런데 이게 언제만 성립하는 거냐 2분 가능한 함수에서만 성립한 거예요 미분 가능한 함수 자 우리가이 미분 가능하지 않은 경우에 어떻게 되는지 예시를 볼게요 요거 두 번째 먼저 볼 건데요 함수 fx가 x는 a에서 극값을 갖더라도 f프라임 a가 존재하지 않을 수 있어요 자 우리가이 와인은 FX y는 절댓값 x라는 2 그래프를 예시로 들 수가 있는데 지금 그래프가요 지점에서요 극소는 맞아요 우리가 극대 극소의 정의에서 가장 작은 지점 어떤 열린 구간에서 가장 작은 지점을 극소라고 할 수 있는 건데 꼭 미분 가능할 필요는 없는 거예요 극소의 정의는 미분 가능할 필요는 없는 거예요 그래서 우리는요 지점을극소라고 할 수 있는데 지금 여기서 f'a가 존재해요 안 해요 안 합니다 여기서 지금 f'명은 존재하지 않아요 좌 미분계수와 우 미분계수가 다릅니다 그래서 우리는 그 값을 갖더라도 f'a가 존재하지 않은 걸 확인할 수 있고요 그래서 미분 가능한 함수일 때만 이분가능한 함수일 때만 극값 가질 때 도프라임 a가 0이라는 것을 우리가 알 수가 있는 겁니다

자 첫 번째 볼 건데요 요거 위에 역은 성립하지 않는다라고 적혀 있어요 자 위역은 뭐냐면요 F 프라임 a가 0이면 우리가 함수의 fx가 x는 a에서 극값을 갖는다는 말이에요 자 이거의 반례로 이런 걸 들 수 있을 것 같아요 y는 x^3 자이 함수 같은 경우는요 y 프라임을 구해주면 도함수를 구해주면 3x 제곱입니다 자 이때 x에다가 0을 대입하면 y 프라임은 0이죠즉 x는 0에서 접선의 기울기가 0입니다 자 하지만 이런 경우에 그래프가 지금 이렇게 증가하다가 증가하고 있어요 요 지점에서 극대나 극소를 갔나요 그 값을 갖지 않습니다 그래서 꼭 F 프라임 a가 0이라 그래서 우리가 항상 그 값을 갖는 것은 아니라는 것을 우리가 이거를 통해 확인할 수 있어요 자 극값을 가지면 도함수가 0이 되는 겁니다 우리가이 내용만 꼼꼼하게 기억하시면 돼요 자 넘어가도록 할게요 자 미분 가능한 함수의 극대화 극소의 판정인데요 우리가 앞에서 배운 내용을 좀 정리를 하면요 자 미분 가능한 함수 미분 가능한 미분 가능한 함수 fx가 fx가 x는 a에서 급값을 가져요 만약에 그 값을 가지면 뭐가 성립한다 그랬어요f'a가 0이 된다 그랬어요 자 그런데 역은 성립하지 않습니다 역은 성립하지 않는다고 배웠어요 자 우리가 여기에서 배울 내용은이 역을 성립하게 하기 위해 조건을 추가합니다 조건을 추가해서 F 프라임 a가 0일 때 우리가 극값이 갖기 위해서는 어떤 조건이 필요한지 그 내용을 볼 거예요 자 미분 가능한 앞서 fx에 대하여 f'a가 0이고 x는 a의 좌우에서 f'x의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 양에서 음으로 바뀌면 우리는 x는 a에서 극대이고 극대값 fa를 갖는다고 표현을 할 수가 있어요 자이 내용을 좀 정리를 해 볼게요 자 일단은 F 프라임 a가 0이고요 F 프라임 x의 부호가 양수에서 음수로 바뀌어요 자 F 프라임 x의 부호가 양수인 경우는 우리 뭐라 그래요 f가증가한다고 합니다 자 음수인 경우는 f가 감소한다 그러죠 자 그러면 우리가 x는 a를 기준으로요 x는 a를 기준으로 fx를 그리면 자 f가 증가하니까 왼쪽에선 증가하고요 오른쪽에서는 감소합니다 그러면서 x는 a에서는 접선의 기울기가 0이에요 0입니다 그래서요 조건들을 만족하는 그래프를 그리면 이런 식으로 그래프를 그릴 수가 있겠네요 자 그러면 우리가이 지점을 뭐라고 할 수 있는 거예요 노지점을 바로 극대값이라고 할 수 있는 거예요 극대값 이때 함수값이 극대값인 겁니다 즉 x는 a에서 극대인 거죠 자 F 프라임 a가 0이면서요 f'm x의 부호가 도함수의 부호가 양수에서 음수로 바뀌면 우리는이 경우에x는 a에서 그때다 요렇게 표현을 할 수가 있는 겁니다

자 다른 경우도 볼게요 f프라임 x의 부호가 음수에서 양수로 바뀌면 음에서 양으로 바뀌면 x는 a에서 극소이고 극소값을 갖는다라고 할 수가 있어요 자 마찬가지로 한번 따져 볼게요 F 프라임 a가 0이고요 f' 부호가 어떻게 바뀌는 거예요 음수에서 양수로 바뀌는 겁니다 자 음수에서 양수로 바뀌면 f가 감소하다가 f가 감소하다가 f가 증가하게 되죠 그러면 x는 a라는 지점을 기준으로 그래프가 감소하다가 증가하게 됩니다 자 그리고요 지점에서 접선 기울기가 0이죠 자이 상태로 그래프를 그려주면 이렇게 그릴 수가있겠네요 그러면 우리가이 지점을 뭐라고 하는 거예요 이때의 함수값을 극소값이라고 하는 거죠 극소값 그리고 x는 a에서 x는 a에서 극소다 이렇게 표현을 할 수가 있어요 그래서 정리를 하면 f'a가 0이고 f프라임 x의 부호가 음수에서 양수로 바뀌면 음수에서 양수로 바뀌면 우리는 x는 a에서 극소라고 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 결국 어떤 조건이 추가된 거예요 도함수의 부호가 바뀌는 조건이 추가되는 겁니다 도함수의 부호가 양수에서 주로 바뀌면 증가가 감소하니까 극대값이 생기는 거고요 보함수의 부호가 음수에서 양수로 바뀌면 감소하다든가 해서 극소값을 갖게 되는 거예요 자 우리 지금 마지막요 내용 보면요 미분 가능한 함수 fx가 극값을 갖는 x의 값은 f'x가 0 1 x의 값 중에서찾는다라고 적혀 있어요 그 값을 가지면 그 값을 가지면 우리는 f프라임 x가 0이기 때문에 다 그런 건 아니죠 F 프라임 믹스가 0이라고 해서 요게 0이라 그래서 싹 다 그 값을 갖는 건 아니에요 하지만이 중에 요거를 만족하는 x값들 중에 도함수 보호까지 바꾸는 걸 체크해서 극대인지 급소인지 확인을 할 수가 있습니다 자 개념 유저 보겠습니다 FX fx는 x^3 -3x+2의 극대값과 극소값을 구하라고 했고요 F 프라임 x를 먼저 구합니다 3x² -3이고요 이게 0을 만족하는 x값을 먼저 찾아봅시다 그러면 3의 x제곱 마이너스 1이고요 요거를 인수분해하면 x+1의 x-1이에요 이게 0이 되기 위한 x값들은 -1과 1이네요 자 그러면 우리가 f'그래프를 간단하게 그리면 요런 식으로 그래프를 그릴 수가 있어요 여기가 -1이고 여기가 1이죠 자 그러면 -1과 1을 기준으로이 f'x의 부호가 어떻게 바뀌는지 보면 플러스였다가 마이너스였다가 플러스로 바뀌죠 양수에서 음수로 바뀌었다가 양수로 바뀌어요 그러면 지금 여기 x는 - 1에서요 양수에서 음수로 바뀌었네요 이런 경우는 뭐라고 해요 그때라고 하죠 극대 그리고 x는 1에서는 음수에서 양수로 바뀌었으니까 여기서는 극소가 되는 겁니다 그래서 극대값 극대값은 뭐예요 극대값을 구하기 위해서 x에다가 -1을 대입합니다 f-1을 계산을 하면요 -1 + 3 + 2니까 우리가 4라고 계산을 할 수가 있고요 극소값도 계산을 해보겠습니다극소값도 계산을 해주면 f1은요 1 - 3 + 2니까 0이라고 우리가 극소값도 계산을 할 수가 있어요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 극대화 극소에 관한 내용을 학습을 했습니다 그때 극소가 뭔지 그리고 극대 극소를 찾기 위해 어떻게 해야 되는지 실제로 구해도 봤구요 자 오늘 배운 내용 정말 중요하니까요이 내용 가지고 우리가 다음 시간에 다음 함수 그래프 그리는 방법을 연습을 할 거예요 복습 꼭 꼼꼼하게 하고 다음 강의 들으시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다