[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 함수의 그래프와 최대·최소

자 이번 시간 학습할 내용은 함수의 그래프와 최대 최소입니다 우리가 그래프의 최대값과 최소값을 구하는 방법을 배울 거고요 그 방법에 앞서서 그래프 그리는 방법을 배워보도록 할 거예요 자 첫 번째로 함수의 그래프라는 내용이 있어요 자 한번 읽어보면 일반적으로 미분 가능한 함수 y는 fx의 그래프의 개형은 다음과 같은 과정으로 그릴 수 있다라고 적혀 있어요 여기 지금 미분 가능한 함수는 아래 방법으로 그릴 수 있다고 했는데 자 우리가 수학 토과목에서는 다항함수의 그래프 그리는 방법만 연습을 합니다 다음 함수 그래프 그리는 방법만 연습을 할 거예요

자 하나씩 보도록 할게요 함수 fx의 도함수 f'를 구하고요 f 프라임 x는 0을 만족시키는 x의 값을 구한다라고 적혀 있어요 저는요거를 합쳐서 첫 번째 단계로 첫 번째 단계로 F 프라임 x 그래프 그리기라고 할게요 그래프 그리기 그런데 우리가이 그래프를 그릴 때는요 다 그릴 필요는 없구요 그래프를 그릴 때 x축과의 관계만 그립니다 x축과의 교점만 표시해요 x축과의 교점만 표시 자 이렇게 해서 첫 번째 단계가 도함수를 구해서 그리프를 그리는 겁니다 자 그다음 요런 내용이 적혀 있어요 FX 증가와 감소를 표로 나타내고 극값을 구한다라고 적혀 있네요 그러면 두 번째 단계는 두 번째 단계는 이렇게 쓰면 되겠네요 두 번째 단계는 우리가 증감표를 작성하는 거예요 자 증감표가 뭔지도 이따 배워보도록 할게요 증감표를 작성하고 그 값을 구합니다 극값을 구해요 세 번째 우리가 세번째는 뭐냐면 x축 및 y축의 교점의 좌표를 구한다라고 적혀 있어요 자 축과의 교점이죠 주가의 교점을 표시합니다 축과의 교점 자 x에다가 0을 대입하거나 y에다가 0을 대입해서 구할 수가 있죠 기과의 교점은 x에다가 0을 대입하거나 y에다가 0을 대입합니다 자 그런데 우리가 주가의 교점은 생략을 해도 돼요 우리가 종종 구하기 힘든 경우가 있습니다 그런 경우에는 생략을 할 수가 있어요

자 마지막으로 우리가 그 y는 FX 그래프의 개형을이어서 표현을 해주면 됩니다 자 우리가요 과정대로 그래프를 그려 볼 건데요 한번 개념 예제 한번 먼저 풀어볼게요 fx가 지금 3차 함수로 주어져 있고요 일단 첫 번째 단계는 뭐예요 첫 번째 단계는 f' x축의 교점을 구하는 겁니다x축과의 교점을 신경 써야 돼요 x축과의 교점 자 그러면 우리가 FX 가지고 F 프라이맥스를 구해주면 3x의 제곱 마이너스 12x + 9예요 그러면 얘가 0이 되는 x 값들을 찾아 줄 거고요 3으로 묶었을 때 x 제곱 마이너스 4x + 3은 0이니까 요거를 만족하는 x값 1하고 3이 나옵니다 그러면 f'x 그래프를 간단하게 그려주는 거예요 x축과의 교점만 어디랑 어디예요 2라고 3이죠 자 이렇게만 그려주는 거예요 자 두 번째는 뭐예요 두 번째는 증감표를 작성하고 증감표를 작성하고 증감표와 우리는 그 값을 구해줍니다 증감표와 끝값을 구해줘요 자 증감표는 뭐냐면요 우리가 x와F 프라임 x와 fx를 이렇게 세로줄에 표시를 하고요 가로줄에는 x값을 나눠 주게 되는데 지금 F 프라임 x가 0이 되는 x값들 x는 1과 3을 기준으로 우리는 나눠줍니다 1과 3을 기준으로 나눠주고요 1보다 작을 때 1대 1보다 크고 3보다 작을 때 3보다 클 때 이렇게 나눠 주는 거예요 자 그랬을 때 f'x는 1에서 0이고 3에서 0이었죠 그러면 f1을 구해주는 겁니다 여기 들어오는 건 지금 f1인 거예요 f1을 계산을 해주면 f1은 몇이에요 1-6+9 - 3이죠 계산을 해주면 우리가 1이라고 구할 수가 있습니다 여기는 1이에요 자 그러면 여기에 있는 f3도 구해볼게요 여기는 지금 f3이죠f3을 대입해서 우리가 계산을 하면 -3이라는 함숫값을 얻어낼 수가 있습니다 자 그리고 우리가 증가 감소도 조사를 해야 돼요 여기 지금 F 프라임 x의 남은 칸 요기들을 다 찾아 줘야 됩니다 여기 여기 자 여기는 우리가 값을 찾는게 아니고요 부호만 찾는 겁니다 부호만 자 f프라임 x의 그래프를 우리가 그려놨어요 자 여기는 지금 양수의 음수예요 양수죠 자 여기로 넘어가면 뭐예요 음수 1로 넘어가면 양수입니다 양수에서 음수 됐다가 양수가 되는 거예요 자 그러면 f'x가 양수면 fx는 어떻게 돼요 증가하죠 증가한다는 의미로 요런 화살표를 표시합니다 감소한다는 의미로 요렇게 화살표를 표시하고요 증가한다는 의미로 이런 표시를 해줍니다 그리고 우리가 증감표를 모두 작성한 거고 극값도 모두 구했어요

자 세 번째는 뭐예요축과의 교점입니다 축과의 교점 세 번째 축과의 교점 주가의 교점은 x축과의 교점이 될 수도 있고요 y축과의 교점이 될 수도 있어요 자 먼저 y축과의 교점을 찾기 위해서요 x에다가 0을 대입할 거고요 x에다가 0을 대입하면 y 값이 -3입니다 즉 0 -3을 지나네요 두 번째 x축과의 교점을 찾고 싶어요 x축과의 교점을 찾고 싶어서 y에다 0을 넣고 0을 넣어서 x^3 -6x² + 9x-3은 0이라고 쓰이면 되는데 요렇게 썼을 때 지금요 3차 방정식을 만족하는 x값을 찾아 줘야 돼요 그러면 우리가 요걸 찾을 때는 조립제법을 써주죠 조립제법을 쓰는데 우리가 요거를 어떤 값에 대입해도 나머지가 0이 되는 그 값을 찾을 수가 없어요 우리가 요거는어떤 유닛으로 나오지 않는 겁니다 그래서 굳이 구하지 않아도 됩니다 필요에 따라서 구할 필요도 있지만 우리가 생략할 수도 있다고 배웠죠 그럼 생략하도록 하겠습니다 그래서 우리가 구한 정보들을 가지고 그래프를 그리는 건데 자 x축 이렇게 그리면 되고요 y축 이렇게 그리는데 자 여기서 지금 x는 1에서지가 함수가 증가하다 감소해요 그러면서 도함수가 0이죠 얘는 뭐예요 극대적 극대 극대 여기는 뭐예요 x는 3에서 극소입니다 극소 자 어쨌든 함숫값 x가 1일 때 y 값이 1이니까 1이라는 점을 이렇게 찍어주고요 x가 3일 때 x가 3일 때 y는 -3이니까 이쯤에다가 이렇게 찍어줍니다 이렇게 찍어주고 우리 축과의 교점도 알고 있어요 x가 0일 때 y가 -3이죠 그럼요점을 지나네요 그러면 쭉 증가하다가 증가하다가 여기서 극대값 감소하다가 여기 급속과 다시 증가하는 이런 그래프를 그려주면 되는 겁니다 자 그래프가 조금 여기 꺾여 있는 것처럼 그려져 있는데 요것만 한번 좀 다시 그려 볼게요 자 이렇게 쭉 올라오다가 내려와서 조금 동그랗게 짚고 다시 올라가는 이런 그래프가 우리는 y는 fx의 그래프를 그린 겁니다 자 조금 길죠 우리가족을 연습이 많이 필요해요 우리가 요거를 한번 좀 몇 개 더 연습해 보도록 할게요 연습이 필요합니다

자 우리가 4차 함수 가지고 한번 연습을 해 볼 건데요 자 y는 x⁴ x⁴ -2x²까지고 그래프를 그려보도록 할게요 자 첫 번째 단계는 뭐예요 첫 번째 단계는 도함수의 그래프를 간단하게 그리는 겁니다 제가 요거를 fx라고 할게요 fx라고 하면f'를 구했을 때 4x^3 - 4x입니다 그러면 4의 x에 x제곱 마이너스 1이고 4x의 x - 1의 x + 1이에요 자 우리가 이 도함수 그래프를 그려야 된다고 제가 말씀을 드렸는데 x축과의 교점만 신경 쓰는 거예요 자 그러면 지금 x축과의 교점이 0하고 1하고 -1이죠 그러면 -1 0 1 순서대로 씁니다 그런데요 점들에서 모두 그늘 갖는 거고요 x가 x가 지금 무한대로 갈 때 무한대로 갈 때 리미트 F 프라임 x는 어디로 간다고 배웠어요 무한대로 간다고 배웠어요 계수가 양수니까 결과창 계수가 양수라서 무한대로 간다고 배웠습니다 그러면 그래프를 이렇게 그려 줘야 되는 거예요 모든 교점을 지나면서 x축과의 교점을 지나면서 오른쪽 위로쭉 증가하는 이런 그래프를 그려주면 됩니다 자 그러면 두 번째 두 번째는 뭐예요 증가표를 작성하는 거죠 x F 프라임 x FX 얘네들을 새로에 쭉 써주고요 그 값에 따라서 x값을 지금 뭘로 나눠줘요 -1하고 0하고 1을 기준으로 x값을 나눠줍니다 이렇게 나눴을 때 지금 도함수가 0이 되는 지점들이 있죠 여기서 0이고 여기서 0이고 여기서 0이에요 그때 FX 값을 찾아 줄 겁니다 여기를 찾아 줄 거고요 우리가 f에다가 값을 하나씩 대입하는 거예요 f-1은 1 - 2니까 -1이라고 구할 수 있고요 f0은 뭐예요 0 - 0 F 이름 뭐죠 f1은 1 - 2라서 -1로 아까랑 똑같이 나오네요 자 여기까지 됐나요자 그다음 우리가 F 프라임 x의 부호를 신경 써야 된다 그랬어요 여기 빈칸이 부호를 써주는 겁니다 부호를 자 부호를 파악하기 위해 우리는이 그래프를 활용을 할 거고요 음수 양수 음수 양수네요 -1보다 작을 땐 음수 -1하고 0 사이에 있을 때는 양수 0하고 1 2 사이에 있을 때는 음수 1보다 클 때는 다시 양수가 됩니다 그럼 그래프가 감소했다가 증가했다가 감소했다가 증가하는 그래프가 돼요 세 번째는 뭐예요 세 번째는 축과의 교점을 찾습니다 주가의 교점을 찾기 위해 x에다가 0 대입하면 y가 0 나오네요 자 그리고 y에다가 0을 넣으면요 y에다가 0을 넣으면 x⁴-2x²이 0이고 x²의 x 제곱 마이너스 2가 0이니까 이거를 만족하는 x값들은 0하고루트 2하고 -d입니다 자 이 정도 구해지면 우리가 그래도 구할 수가 있어요 자 이거 가지고 그래프를 그리면요 x축 y축 이렇게 있고요 자 극값 먼저 표시하겠습니다 -1 - 여기가 되겠네요 0은 여기가 될 거고요 1 - 1은 여기가 됩니다 자 그리고 우리가 지금 x축과의 교점 좌표 이렇게 축과의 교점이 여기 루트 2가 하나 있고요 여기 마이너스 루트 2가 하나 있고 0은 이미 지난다고 표시가 되어 있네요 그래서이 점들을 모두 이어주면 이런 그래프를 우리가 얻어낼 수가 있어요 이렇게 그래프 우리가 얻어낼 수가 있는 겁니다 자 우리 4차 함수 그래프 그리는 것까지도 연습을 했습니다

자 예제 하나만 더 풀어볼게요 4차 함수인데 이번에 조금 다른 사찰 씁니다 자 이번엔 fx는 똑같은 4차 함수긴 한데요 우리가 x⁴ -6x 제곱 플러스 4x+13의 그래프를 한번 그려보도록 할게요 자 y 프라임 즉 f' 4x^3 - 12x +8이 그래서 4로 묶었을 때 x^3 - 3x + 2고요 어 한번 인수분해 한번 해 볼게요 조립제법으로 인수분해를 할 거고요 이렇게 됐을 때 1 이렇게 되면 나머지 0 되고요 1을 또 넣으면 또 0 돼요 자 그러면 얘를 인수분해했을 때 4의 x - 1의 제곱에 x + 2라고 할 수가 있어요 자 그러면 이번엔요 그래프를 그려 볼 건데 일단 x축과의 교점이 1하고 -2예요 1하고 -2라서 이렇게 마이너스 2랑 1을지나는데 자 3차 함수에요 3차 함수고 지금 x - 1의 제곱이라서 우리는 x는 1에서 중근을 갖는 겁니다 중근을 자 우리 아까 3차 함수 그래프 그릴 때요 근이 세 개면 이렇게 그려줬어요 지금 여기서 부호 바뀌고 여기서 부호 바뀌고 여기서 부 바뀌었죠 자 마찬가지로 x+2도요 지금 x+2라는 인수를 하나 갖고 있기 때문에 보호가 바뀝니다 그런데 이렇게 x-1의 제곱처럼 중근을 가지면 중근을 가지면 보호가 안 바뀌어요 제곱이기 때문에 부호가 유지되는 겁니다 그래서 이렇게 x+2 즉 x는 -2에서는 이렇게 부호가 바뀌고 1에서 0이 되긴 하는데 부호가 안 바뀌는 거예요 다시 양수로 그래프가 이렇게 그려져야 됩니다 결국 오른쪽 위로 향하게 우리가 x가 무한대로 가는 리미트 F 프라임 x는 무한대니까 이렇게 오른쪽 위로 향하게 그래프를그려주시면 됩니다 우리가 이렇게 중간 가질 때는 그래프 그리는 방법이 조금 달라져요요 내용 때문에 제가 지금이 예제를 하나 더 준비한 겁니다이 내용을 꼭 기억하시기 바래요 자이어서 가볼게요 우리가 이제 증감표를 작성을 해야 되고요 x F 프라임 x FX요 값에 따라서 우리가 지금 기준이 -1을 기준으로 한번 나누고 1을 기준으로 한번 나눕니다 자 이렇게 기준으로 나눴을 때 여기는 0 여기는 0 자 f-2를 한번 구해봅시다 f-2는 16 - 24 - 16 + 13 이고요 계산하면 -11이라고 우리가 일단 구할 수 있어요 애플도 구해 볼까요 f1을 구하면 1 - 6 + 8 +13이죠 그러면 이렇게 하면 2 계산해 주면 16 그래서 우리가 여기 값은 16이라고 구할 수가 있어요 자F 프라임 x의 부호를 조사하면요 - 플러스입니다 마이너스 플러스 플러스 그러면 fx는 감소했다가 증가했다가 증가하는 거예요 자 축과의 교점도 찾아 줄 거고요 주가의 교점을 찾을 건데 저는 y축과의 교점만 찾겠습니다 x가 0이면 y는 몇이에요 13이네요 즉 0 13이라는 점도 진합니다 자이 내용들 가지고 우리가 그래프를 그려 줄 거고요 이렇게 축이 있고 그 값 -2 -11 -2 -11 이쯤 그려주면 되고 16 16 여기쯤 그릴게요 그리고 주가의 요점은 0 콤마 13이니까 여기쯤 그리면 되겠네요 자 그리고 우리가 여기서 조금 신경 써야 될 부분은 자 얘는요 왼쪽에서 도함수가 음수였는데 넘어가면서 도함수가 양수가 됐어요음수에서 양수로 바뀌는 거 뭐예요 극소값입니다 극소값 얘는 극소값이 맞아요 그런데 여기에 있는 16은요 지금 양수에서 양수 즉 도함수의 부호가 바뀌지 않았어요 얘는 그 값이 아니에요 그 값이 아닙니다 자 그래서 지금 여기서 극값이 아니지만 기울기가 0이 되는 건 맞아요 접선 기울기가 0이 되는 것은 맞고 여기선 극소값이고 접선 기울기 0 되고 이거를 신경써서 그려주면요 이렇게 함수가 내려왔다가 쭉 올라오다가이 지점에서 기울기가 0 되고요 0 되고 다시 증가하는 겁니다 그래서 그래프가 이런 식으로 그려지는 겁니다요 지점이 조금 헷갈릴 수 있어요 우리가 극값은 아니지만 그 값은 아니지만이 접선 기울기가 0 되는 거 이런 식으로 그래프를 그려주면 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 다양한 다양함수의 그래프 그리는 것도 연습을 한번 해봤습니다요거는요 같은 예제로 연습하셔도 좋으니까 꼭 노트 피고 여러가지 연습을 좀 해보시기 바랍니다 자 뒤로 넘어가도록 할게요 함수의 최대 최소인데요 우리가 함수 fx는 다 친구가 a콤마 b에서 연속일 때 최댓값과 최소값은 다음과 같다고 적혀 있어요 자 그런데 우리가 하나 기억해야 될 점은 우리가 연속이면요 fx가 다친 구간에서 연속이면 제대 최소 정리가 성립을 해요 그래서 항상 최대값 최소값의 갖는 겁니다 자 어떻게 구하냐면요 같이 구간에서 극대값 급소값을 구하고요 극대값 극소값을 구하고 극대값 급소값을 구하고 함숫값 양 끝에서의 함숫값도 구해요 전개값이라고 할게요 fa와 fb 양 끝 경계값을 구합니다 그러면 극대값 극소값 FA fb 중에 가장 큰게 최대고요 가장 작은게 최소입니다 자 우리가 함수가 연속이기 때문에요 우리가이지점들 말고는 양 끝과 극대 극소지점 말고는 최대 최소가 생길 수가 없어요 극대라는 점이 어떤 열린 구간에서 최대인 점이기 때문에 극대가 최대면 최대가 됐지 다른 점에서 초대가 생길 수는 없는 겁니다 자 그러면 그래프 개형을 보면 요렇게 생긴 그래프에서는요 어디가 최대해요 여기가 최대예요 여기가 최소예요 그래프의 가장 높은 지점 가장 낮은 지점 두 번째 함수는요 그래프가 이렇게 생겼습니다 자 어디가 최대해요 여기선 극대가 최대가 아니고요 오른쪽에 있는 fb에서 최대인 겁니다 극소에서 최소 구역

자 세 번째는요 함수가 이렇게 생겼는데 지금 어디가 최대해요 극대가 최대고 최소는 여기서 최소죠 자 마지막으로 요런 함수가 생길 수도 있어요 이렇게 극대에서도 최대가 아니고 극소에서도 최대가 아닌 즉fa가 최소 fb가 최대 이런 경계값에서 최대 최소가 생길 수 있는 겁니다 자 그런데 다친 구간이 아닌 우리가 열린 구간이나 다양한 구간에서는요 최대값 또는 최소값이 존재하지 않을 수도 있어요 스크래프 하나씩 볼게요 만약에 그래프가 이렇게 생겼어요 x는 a 이상이어서 쭉 가는 겁니다 자 최소값은 가장 작은 지점이 이렇게 설정을 할 수 있는데 그래프가 계속 커지면요 우리가 최댓값을 정의를 할 수가 없죠 그래서 최댓값은 없다가 됩니다 자 그리고 요렇게 만약에 열린 구간이에요 열린 구간이면 우리가요 값을 최대값이라고 할 수 없고 이거보다 작은 값을 어떻게 최대값이라고 할 수도 없기 때문에 우리가 이런 경우에도 최대값이 없다고 표현을 하는 거예요 자 양 끝 다 열린 구간이면 이렇게 계속 증가만 하면 우리가 여기도 지금 최소값이 없고 여기도 최대값이 없죠 그래서 둘 다 없을 수도 있는 거고요그래프가 이렇게 생겨서 열린 구간이지만 열린 구간이지만 요렇게 열린 구간이지만 극대화 극소가 충분히 크다면 그 지점에서 최대 최소가 될 수도 있는 거예요 최대 채소가 될 수도 있는 겁니다 그래서 우리가 이거는 항상 값을 구해서 그래프를 그려보고 파악을 해줘야 돼요 정해진 공식으로 푸는게 아닙니다 항상 그래프를 그려보고 우리가 그 값을 값들을 구해서 큰애랑 작은 애를 찾아서 주택 취소를 정해주면 됩니다

자 한번 실제로 최대 최소값을 구해 보도록 할게요 지금 닫힌 구간이죠 -6이라는 다친 구간에서 fx는 1/3x^3 + 2x² -4에 최대 최소값을 구하라고 했습니다 그러면 F 프라임 x를 구하면 x 되고 + 4x-4는 미분하면 사라지죠 x² + 4x입니다 그러면x의 x + 4구요 우리가요 함수를 간단하게 그려주면 여기가 -4 여기가 0이에요 즉 플러스 마이너스 플러스니까 x는 - 4에서 뭐예요 극대죠 극대 +에서 마이너스로 가니까 x는 0에서 뭐예요 x는 0에서 극소입니다 마지막으로 F1 값도 구해주면 3분의1 + 2 - 4니까 요게 -2이어서 - 3분의 5라고 나오네요 자 이 중에 가장 큰 건 뭐예요 3분의 20이 가장 크죠 얘가 최고요 가장 작은 값은 -4 똑같네요 어쨌든 가장 작은 값은 -4 얘가 최소입니다 자 우리가 그래프 계형을 그려볼 수도 있어요 우리가 3차 함수고 -4에서 극대고 0에서 극소니까 자 x는 -4에서 극대니까 -4/3 -4/3 여기쯤 점을 찍으면 되고요 0에서 극소고 0 콤마 - 4니까요 점의 점을 지금 되겠네요 그리고 f-6은 - 살아서 -6 -4 그리고 F1 콤마 - 3분의 5니까 1 - 3분의 5 여기쯤 찍으면 되겠네요 그래서 점들을 이어주면요 던부터 그래프를 이렇게극소 여기는 끝 이렇게 표현을 해주면 여기가 최대 얘네들이 최소 이렇게 우리가 그래프를 그려서도 확인을 할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 함수의 최대 최소 배우는 방법까지 공부를 했습니다 오늘 배운 내용 중 일단은 다항 함수 그래프 그리는 방법 연습을 꼭 하셔야 돼요 요거 안 하면 안 됩니다 꼭 하셔야 돼요 정말로 하셔야 됩니다 자 그리고 우리가 최대 최소 구하는 것도 연습을 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다