[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 미분법 - 방정식과 부등식에의 활용

자 이번 시간 학습할 내용은 방정식과 부등식계의 활용입니다 우리가 미분 단원에서 배운 내용을 가지고 방정식하고 부등식에서 어떻게 활용될 수 있는지를 몇 개 배워보도록 하겠습니다 자 가장 먼저 방정식의 실근의 개수인데요 우리가 요런 fx는 0이라는 방정식이 있다고 합시다 자 fx는 0이라는 방정식이 있는데 우리가 요거를 조금 다르게 볼 거예요 자 왼쪽에 있는 좌변에 있는 fx를 y라고 놀 거고요 우변에 있는 0도 y라고 놀 거예요 함수로 보는 겁니다 함수로 그러면 y는 fx라는 함수와 y는 0이라는 함수를 연립해서 나온 방정식인 거예요 fx는 0은즉이 fx는 0을 만족하는 그는요 우리가 이거를 만족하는 그는 여기 두 개 y는 fx와 y는 0이라는 두 함수의 교점과 일치합니다 우리가 근과 교점이 일치하는 거예요 자 그러면 y는 fx라는 그래프가 이렇게 생겼다고 합시다 이렇게 생겼어요 자 그리고 y는 0은 x축이죠 y는 0은 x축입니다 그래서 x축이 여기 있습니다 자 그래프의 교점은 어디 있어요 여기에 있죠 y는 0이 x축이니까 교점의 x축 위에 있는 겁니다 요렇게 나오는 X1 x2 x3는요 즉 fx는 0을 만족하는 근인 거예요 X1 x2 X3

자 교재 한번 읽어 볼게요 y는 fx의 그래프와 x축의 교점의 x좌표이고요 자 fx는 0의 서로 다른 실근 개수는fx는 0의 실근 개수는 뭐랑 같다고 써 있어요 교점 개수랑 같다고 써 있어요 자 우리가 여기서 나오는 실근이랑요 여기서 나오는 교점이랑 일치하는 거예요 그렇기 때문에 실근 개수와 교점 개수가 일치한다 그리고 우리가 근하고 교점하고 같은거다 이렇게 이해를 하시면 될 것 같습니다 자 넘어가 볼게요 자 우리가 아까는 하나가 x축이었어요 그런데 방정식 fx는 gx의 실근이라 그러면 우리가 좌변에 있는 fx도 y라고 놓고요 우변에 있는 gx도 y라고 나왔을 때 FX 그래프가 지금 이렇게 생겼고요 이렇게 생겼고 GX 그래프 y는 gx는 이렇게 생겼습니다 그랬을 때 우리 요거의 근은 뭐라고요 이거에 그는요 그래프의 교점이라고요 교점이 어디에 있어요 여기 여기X1 x2 x3가 교점의 x 좌표입니다 교점 x좌표가 뭐라고요 바로 근이라고요 근 X1 X2 X1 X2 X3 자 정말 중요한 내용이에요 그래프의 교점에 x좌표는 방정식의 근이다 우리가 요거를 꼭 알고 계셔야 됩니다 자 밑에 있는 내용도 똑같은 내용이에요 방정식 fx는 gx의 서로 다른 실근 개수는 서로 다른 실근 개수는 두 함수 그래프의 교점 개수와 같다 질금 개수는 서로 다른 실근 개수는 교점 개수와 같다라고 적혀 있습니다

자 넘어가 보도록 할게요 자 방정식 x^3 - 3x + 2는 0의 서로 다른 실근 개수를 구하라고 했어요 자 그러면 우리가 실근 구할 때는 그냥 방정식을 풀어주면 되죠 10 - 3 2 이렇게 써 놓고요 이렇게 조립제법을 써서-2 -2 0 또 할게요 이렇게 하면 되죠 그러면 인수분해했을 때 x - 1의 제곱의 x + 2는 0입니다 그러면 x값이 1하고 -2가 서로 다른 실근이죠 실근은 두 개인 겁니다 서로 다른 실근은 그래서 답은 요렇게 적어주면 되고요 우리가 이게 뭘 의미한다고요 지금 요거를 y라고 놓고 우변을 y라고 놨을 때 y는 0과 y는 x^3 - 3x + 2의 교점 x 좌표를 의미한다고요 교점 x 좌표 요 내용이 중요한 겁니다 그래서 그래프를 그리면 -2하고 1에서 x축과 만나고요 지금 보면 여기 x-1의 제곱이죠 x - 1의 제곱이면 우리가 부호가 바뀌지 않아요 우리가 이거 지난시간에 했었죠 x+2 같은 경우에는 -2에서 만나면서 부호가 바뀌는데 x는 1에서 지금 제곱이기 때문에 부호가 바뀌지 않고요 만나긴 만나지만 이렇게 플러스였으면 계속 플러스인 겁니다 하지만 -2에서 바뀌어야 돼서 이렇게 그래프가 이런 식으로 그려지는 거예요 자 여기까지 되셨죠 넘어가 보도록 할게요 자 그러면 3차방정식의 근의 판별인데요 우리가 3차방정식의 실근이라 그러면 3차 방정식의 실근을 세 종류로 나뉘어요 자 서로 다른 세계의 실근을 갖거나 서로 다른 세계의 실근을 갖거나 중근과 실근 하나 중근과 다른 실근 하나라고 쓸게요 중금과 다른 실근 다른 한 실근 그리고 실근 하나랑요 실근 1개와 혹은 2개 이렇게 3차 방정식의 근이 나뉩니다그러면 우리 눈에는 자 세계의 실근 서로 다른 실근이니까 세 개가 보이는 거고요 중금과 서로 다른 한실근이니까 근이 두 개가 보여요 하나가 겹치니까 그래서 두 개가 보이고요 실근 하나의 혹은 두 개면 근이 한 개만 보입니다 여기서 말하는 세 개 두 개 한 개는 뭐예요 x축과의 교점을 의미해요 x축과의 교점 접초도 어쨌든 한번 만나는 거니까 중근이어도 x축과는 한 번 만나는 거니까 x축과의 교점 개수를 말하는 거예요 세 개 두 개 한 개는

자 그러면 하나씩 보도록 할게요 3차 함수 fx는 ax^3 + bx + D 자 최고차항 계수 양수일 때만이에요 량수일 때만 먼저 따져볼게요 요게 극값을 가질 때 자 서로 다른 새 실근 가지려면요 서로 다른 세 시간 가지려면 이렇게 근이 3개 생겨야 되고요 극대화 극소를 봤을 때 우리 그때 값과극소값의 부호가 반대여야 됩니다 우리가 이렇게 극대화 극도의 부호를 가지고 실근의 개수를 파악할 수 있는 거예요 그때와 극소의 곱이 0보다 작다 그러면 부호가 다른 거겠죠 자 두 번째 볼게요 이번엔 중금과 다른 한실근이에요 자 하나가 중근입니다 중근이기 때문에 우리가 어떻게 만나야 되냐면 극대화 극소 중에 x축과 한번 접하는 지점이 생겨요 이렇게 그러면 실근 이렇게 두 개죠 한 개 두 개 교점이 두 개여야 되니까 극대화 극소 중 하나가 0이어야 됩니다 그때가 0일 수도 있겠죠 이렇게 0인 경우에도 실근 2개 만납니다 한 개 두 개 즉 극대화 극도의 곱이 0이다 곱해서 0이면 둘 중 하나는 영이어야 되니까 우리가 이렇게 식을 쓸 수가 있겠죠 마지막으로 한실금과 두 허근이면요 우리가 극대화 극소가 같은 부호를 가지는 거예요 여기 지금 둘 다 양수죠 이런경우에는 실근을 하나밖에 갖지 않습니다 자 둘 다 음수여도요 둘 다 음수에도 실근을 여기 하나밖에 같지 않아요 따라서 극대화 극소의 곱이 양수면 우리는 한실근과 두 허근 갖는다라고 할 수가 있는 거예요 자 최고차항 계수가 음수인 경우에도요 우리가 그래프를 그려서 확인을 할 수가 있어요 자 최고창 계수가 없으면 그래프가 이렇게 그려지고요 이런 경우에도 극대 극소의 부호가 반대면 곱해서 음수면 실근 재기 갖는 거 확인할 수 있습니다 자 두 번째 중금과 다른 한 실근 갖는 경우도요 마찬가지로 그래프가 이렇게 생기거나 이렇게 생겨야 되고요 그때 여기 하나 만나고 요기 하나 만나고 여기 하나 여기 하나 각각 두 개씩 만나고 있죠 극대화 극소 중 하나가 0이어야 극대화 극소 중 하나가 0이어야 이렇게 실근 2개의 [음악]그래프가 이렇게 그려지겠네요 이렇게거나 이렇게거나 마찬가지로 실근은 하나 갖고 있고요 그러기 위해서는 극대화 극소의 곱이 같은 부호라서 양수여야 됩니다 그때와 극소의 곱이 양수 둘 다 플러스 둘 다 마이너스 자리까지 되셨나요

자 우리가 이 내용을 가지고 개념 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 방정식 X3 제곱 마이너 3x² + 1은 0 서로 다른 실근 개수를 극대값과 극소값을 이용하여 구하라고 했고요 우리가 요거를 fx라고 하겠습니다 fx를 x^3 - 3x² + 1이라고 하면 F 프라임 x는 뭐예요 4x²-6x입니다 이거를 0으로 만드는 x값 x는 0하고 2구요 우리가 극값을 갖기 위해선 부호가 바뀌어야 돼요 그래서 그래프를 그래서 확인을 해보면 지금 플러스에서 마이너스로 가서 0에서는극대 마이너스에서 플러스로 가는 2에서는 극소가 되는 겁니다 그러면 f0을 계산하면 f0을 계산하면 1이네요 자 f2를 계산해 볼까요 f2를 계산하면 8 - 12 + 1이라서 -3입니다 지금 극대화 극소의 부호가 어떻게 되고 있어요 반대입니다 즉 두 개를 곱했을 때에 f0과 f2를 곱했을 때 -3 즉 음수이므로 우리는 근이 몇 개라고 할 수 있는 거예요 서로 다른 채식은 세 개 갖는다 서로 다른 도로 다른 실근 다른 실근 3개 갖는다라고 표현을 할 수가 있겠네요

자 넘어가겠습니다 부등식이 활용인데요 자 어떤 구간에서 함수 fx가 최솟값을 가질 때 fx가 최소값을 가질 때 그 구간에서 부등식 fx가 0보다 크거나 같다가 성립함을 보이려면 우리는 최소값이 0보다크다만 보이면 되는 거예요 가장 작은 값이 0보다 크거나 같으면요 당연히 다른 값들은 0보다 크거나 같겠죠 그래서 우리는 최소값만 최소값만 가지고 우리가요 fx가 0보다 크거나 같다를 성립하는 걸 볼 수가 있는 겁니다 자 마찬가지로요 fx가 gx보다 크거나 같은 걸 보이려면요 FX - gx가 요거를 hx라고 이렇게 지원을 하면 hx가 0보다 크거나 같다를 보이면 되겠죠 hx가 0보다 크거나 같다를 보이면 내용보다 크거나 같은 거니까 요게 0보다 크거나 같으면 요게 성립하는 거죠 그러면 우리가 이걸 보이기 위해서 뭘 해야 된다고요 hx의 최소값이 최소값이 0보다 크거나 같은 걸 보이면 된다는 얘기입니다 뭐 그래프를 그래서 간단하게 확인을 해보면 만약에 그래프가 이렇게 생겼어요 그런데 얘가 항상 0보다 크거나 같대요그러려면 가장 작은 것만 크거나 같으면 가장 작은 것만 크거나 같으면 다른 값들 다 위에 있죠 그래서 우리가 요거만 체크를 하면 된다이 말을 하고 있는 겁니다 자 x는 0 이상일 때 부등식 x^3 -6x7+9x + k는 0보다 크거나 같다가 항상 성립하도록 하는 실수k에 최소값을 구하라고 했어요 그러면 우리는 뭘 찾아야 되는 거예요이 범위에서 요거에 최소값을 찾아야 됩니다 저는 이거를 fx라고 놀 거고요

자 그래프 개형이 어떻게 생겼는지 확인을 좀 해보기 위해서 F 프라임 x를 구해 볼게요 3x² - 12x + 9고요 3으로 묶었을 때 x 제곱 마이너스 4x+3입니다 그러면 인수분해해서 x - 1의 x-3인 걸 우리가 알 수가 있고요 x축과의 교점이 1이고 3이에요 그러면도함수가 지금 플러스 마이너스 플러스로 가면서 1에서 극대 3에서 극소란 거를 우리가 확인을 할 수가 있네요 그러면 그래프를 이렇게 그리겠습니다 증가하다가 감소하다가 증가하는 fx의 그래프를 이렇게 그렸습니다 자 그러면 그때가 되는 x값은 뭐였어요 극대가 되는 x 값은 1이었고요 극소가 되는 x값은 3이었습니다 자 그러면 여기 있는 fe를 한번 구해 볼게요 요거 f1이죠 f1을 구하면 f1은 지금 1-6+9+k니까 k + 4 여기는 k+3입니다 k + 4 자 여기 있는 f의 3을 구해 볼게요 f3은요 27 - 54 + 27 + k이고요 계산하면 k밖에 안 남네요 그럼여기는 k예요 근데 지금 범위가 x는 0 이상이죠 그러면 제가 f0을 찾아볼게요 f형은 k예요 즉 x는 0은 어디 있는 거예요 요거랑 같은 y 값을 갖는 여기에 있는 거예요 여기에 x는 0이 있는 겁니다 그래야 같은 k가 나오니까요 그러면 x는 0 이상에서는요 그래프가 여기서부터 이렇게 생겼죠 그런데 여기 범위 안에 있는 최소값은 뭐예요 여기나 여기인 즉 k가 최소입니다 최소 게이가 최소예요 근데이 최소값이 0보다 크거나 같아야 되죠 K 값이 0보다 크거나 같아야 fx는 0보다 크거나 같다가 항상 성립하게 되는 거예요 그래서 k는 0 이상을 만족하는 k2의 최솟값은 K 몇이에요 0이죠 그래서 답이 0입니다

자 여기까지 해서요 우리가 미분을 방정식하고 부등식에서 활용하는 몇가지 방법을 배워 봤어요 3차 방정식의 근개수도 파악해 봤구요 부등식이 항상 성립하기 위한 조건 찾는 법도 배웠어요 자 오늘 내용은 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다