[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 적분법 - 부정적분

자 이번 시간 학습할 내용은 속도와 가속도입니다 우리가이 미분을 속도와 가속도에 대입을 해서 어떻게 적용을 시킬 수 있는지 좀 배워보도록 할 거예요

자 일단은 우리가 수직선 위를 움직이는 점 어떤 p에 대해서 t에서의 위치를 이렇게 함수로 정한 거예요 x는 ft라고요 요런 함수가 될 수 있어요 예를 들어 x는 어떤 t에 관한 함수 ft인데요 그거를 3t^3 + 2D 제곱 + t 이런 식으로 우리가 위치를 함수로 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 그랬을 때 점 p에 점 p의 시각 티에서의 속도 vt와 가속도는 이렇게 정의돼요 vt는 뭐예요 ft를 미분한 겁니다즉 dxdt로 우리가 이렇게 쓸 수가 있어요 자 왜냐하면 우리가 미분이라는 건 결국 멀구한 거예요 변화량을 나타냅니다 그래서 위치의 변화량은요 위치의 변화량은 속도에요 위치가 얼마나 변했는가 그거는 속도에 관한 값입니다 그래서 우리가 x를 미분하면 요거를 미분하면 요거를 미분하면 속도가 나오는 거예요 그래서 vt를 이런 식으로 구할 수 있는 거죠 vt는 9t² + 18t + 1이라고요 자 그런데 우리가 가속도라는게 있어요 가속도가 뭐냐면 속도의 변화량입니다 속도가 얼마나 변했는가 그래서 마찬가지로 가속도를 구할 때는이 vt를 t에 관해서 미분하는 겁니다 즉 V 프라임 d가 되는 것이죠 그래서 여기서 한번 또 미분을 하는 거예요 이 vt를 미분을 하면 우리는 가속도at를 얻을 수가 있는 겁니다 그러면 몇이 되겠어요 18t 플러스 18이죠 자 그래서 우리가 여기서 위치를 미분하면 속도가 되고 속도를 미분하면 가속도가 된다 이런 내용입니다 자 밑에 있는 화살표 좀 읽어 볼게요 자 수직섬유를 움직이는 점 p의 운동 방향이요 우리가 f't가 양수면 f't는 지금 뭘 의미해요 vt를 의미하죠 vt가 양수면 양의 방향으로 움직이고요 우리 속도가 양수면 양의 방향으로 움직이는 겁니다 자 f't가 음수면요 f't가 음수라는 말은 vt가 음수라는 말이고 그러면 음의 방향으로 움직입니다 자 그러면 f'a가 0이면요 즉 vt가 0이고요 자 t는 a의 좌우에서 vt에 vt에 부호가 바뀌면 양의 방향에서 음의 방향으로 움직이는 걸 수도 있고요 음의 방향으로 가다가 양의 방향으로 간 걸 수도 있어요어쨌든 운동 방향이 바뀐다라고 표현을 해줍니다

자 추가적으로요 우리가 속도의 절댓값 절댓값 vt는요 뒤에서의 속력을 나타냅니다 우리가 속력과 속도라는 개념이 있는데 속도는요 아까 말했듯이 양의 방향과 음의 방향이 있어요 얘는 방향을 가지고 있어요 방향과 어떤 속도의 크기를 가지고 있는데 속도는 속도가 아니라 속력은 우리가 속력은 방향이 없고 크기만 있습니다 그래서 속도에다가 절대값의 씌우면 절대값 vt이 절대값 vt는 속력을 의미하는 거예요 순수하게 크기만 나타내는게 바로 속력입니다 자 넘어가서 개념 예제 한번 보도록 할 건데요 위치 x가 이렇게 정의되어 있어요 x가 제가 ft라고 할게요 ft는 et0 플러스 7의 0 여기 위치예요 위치 그랬을 때t는 2에서 c는 2에서 속도와 가속도를 구하라 그랬어요 속도는 어떻게 구해요 요거를 미분하면 되죠 미분하면 뭐가 나와요 우리가 x를 미분한 dxdt를 vt라고 하고요 vt를 4t+1이라고 써주면 되겠죠 자 요걸 한번 더 미분하면 뭐가 나와요 이걸 한번 더 미분하면 우리가 vt를 미분한 이렇게 하면 가속도가 나오죠 at가 나옵니다 at는 4가 되겠네요 자 t는 2에서의 속도와 가속도를 구하라 했으니까 t는 2를 대입해서 v가 2 요거는 9라고 우리가 구할 수가 있고요 지금 가속도는 4로 고정되어 있어요 그래서 a2는 4라고 구해주면 됩니다

자 이번엔 시각에 대한 길이 넓이 부피의 변화율인데요 우리가 어쨌든 미분을 하면변화율을 구할 수 있는 거예요 그렇기 때문에 우리가 시각 t에서 길이의 변화율이라 그러면 길이를 7호 미분하는 거고요 어떤 t로 표현된 l을 t로 표현한 그 식을 t로 미분을 해주는 겁니다 자 t에서 넓이 s의 변화율은 s를 미분하는 거고 시각 t에서 부피를 부피의 변화율은 부피를 미분해 주는 거죠 자 우리가 여기서 중요한 거는요 결국 lt를 구하는 거고요 st를 구하는 거고 vt를 구하는 겁니다 어떤 시각 t에서 시각 t에서 길이가 어떻게 표현되고 넓이가 어떻게 표현되고 비가 어떻게 표현되고 이거를 우리가 t에 관한 식으로 나타내는게 중요한 거예요 그러면 미분만 해주면 미분만 해주면 우리가 길이의 변화율을 알 수 있는 거고 넓이의 변화율을 알 수 있는 거고 부피의 변화율을 알 수가 있는 겁니다 자 무슨 말인지 한번 개념 예제를 보도록 할게요 자 시각 t에서 지각 키에서 반지름이 튀네요 반지름이티인 구가 있는데 그 구의 겉넓이의 변화율과 부피의 변화율을 구하라 그랬어요 자 그러면 제가 겉넓이는 st라고 할게요 우리 구의 겉넓이 어떻게 구해요 4파이 r²이죠 근데 지금 반지름이 티래요 4파이 티제곱인 겁니다 자 부피는 뭐예요 vt는 3분의 4파이알 세제곱인데 반지름이 튀니까 t^3 그런데 우리는 이거의 변화율을 구하는 거니까 각각 미분을 해주면요 S 프라임 p는 파일파이티 V 프라임 키는 4파이 t^2 이렇게 구할 수 있고요 지금 t는 2에서의 변화율을 구하는 거니까 t는 2를 대입해서 S 프라임이를 계산해주면 16파이 이를 대입해주면 V 프라임이는 16파이 우리가 이렇게 구할 수가 있습니다

자 여기까지해서요 우리가 오늘이 미분을 활용해서 속도와 가속도를 구하는 방법 그리고 길이 넓이 부피의 변화율 구하는 것까지 해봤습니다 우리가 오늘까지 해서 미분 단원이 끝났는데 적분이 나와요 이제 뒤에 적분이 나오는데 적분을 배우기 전에 미분해가 미분에 관한 내용을 한번 처음부터 총 복습을 하고 넘어갔으면 좋겠어요 꼭 전체적인 복습을 한번 해주고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다