[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 적분법 - 정적분

자 오늘 내용은 정적분입니다 우리가 지난 시간에 부정적분을 배웠는데 우리가이 정적분을 조금 배워보도록 할게요 부정적분하고 당연히 연관성이 있겠죠 자

일단요 우리가 정적분이라는 것은 어떻게 만들어졌냐 넓이를 구하기 위해 만들어진게 정덕분이에요 그래서 우리가 어떤 넓이를 말하는 거냐면 이렇게 x축이 있고요 요런 함수가 있다고 합시다 y는 fx라는 일어남 수가 있어요 그때 여기 점 a부터 여기죠 x까지의 넓이를 제가이 넓이를 여기서부터 여기까지 이렇게 x축과 그래프가 만들고 있는 넓이를 sx라고 하겠습니다x까지의 넓이니까 x에 관한 함수로 표현이 되겠죠 그래서 sx라고 쓸 겁니다 자 그랬을 때 만약에 함수가 여기까지 증가를 한다고 할게요 여기까지 증가를 합니다 델타 x만큼 증가를 해서요 x좌표는 x+ 델타 x가 되겠죠 자 그랬을 때 요만큼의 그래프만 다시 그릴게요 요만큼의 그래프만 다시 그리면 자 여기 왼쪽에 있는 좌표는 몇이에요 왼쪽에 있는 좌표는 x 오른쪽에 있는 좌표는 x+ 델타 x입니다 자 그랬을 때 이만큼 넓이가 변했다는 의미로 요만큼의 넓이를 델타 s라고 할게요 그러면 자 델타 s의 넓이가 어느 정도냐 그러면 지금이 빨간색 그래프에서요 가장 큰 값을 라지 m이라고 할 거고요 가장작은 값을 스몰앱이라고 할 거예요 그랬을 때 이렇게 직사각형 그리고요 큰 작지 직사각형이 두 직사각형 사이에 우리가 구하고 싶은 델타 x의 넓이가 존재하죠 그러면 저 녹색 직사각형의 넓이는 m 곱하기 델타 x고요 요거와 요거 사이에 라지음 곱하기 델타x 사이에 델타 s의 넓이가 존재하는 것입니다 자 그러면 우리가 요렇게 쓸 수 있겠네요 델타 x로 모든 편을 나눠주면 델타 x분의 델타 x 그리고 여기는 라지 m이 됩니다 델타 x가 0으로 간다고 해볼게요이 구간의 길이가 구간의 길이가 0으로 가는 거예요 그러면 우리가 함수의 구간이 짧아지면서 요만큼밖에 안 남을 거예요 요만큼 밖에 그러면 m과 m은 어디로 가는 거예요 마찬가지로여기와 같은 함수값 fx와 같은 함수값을 갖게 되는 겁니다 m은 fx에 가까워지고 라지 m도 fx에 가까워지게 돼요 구간이 짧아지니까 함수가 요만큼 밖에 남지 않아서 그때이 함수값의 가까워지는 겁니다 최댓값과 최소값이 그러면 델타 x가 0으로 가는 리미트에서 델타 x분의 델타 s는요 뭐가 되는 거예요 fx가 돼요 자 그런데 x값 변화량 분의 S 넓이의 변화량이 이거를 리미트를 취했을 때 fx가 fx랑 같으면 우리가 이거를 이렇게 쓸 수 있죠 넓이의 변화량이 fx와 같다 이렇게 쓸 수가 있습니다 그러면 넓이는 우리가 어떻게 구할 수 있는 거예요

자 이게 바로 지난 시간에 배운 부정적분입니다 우리 스몰 fx를 적분했을 때 부정적분하면 라지 fx라고 하면라지 FX 플러스 c라고 요렇게 넓이에 관한 함수가 정리되는 거예요 그러면 sb라고 하면요 sb라고 하면 fb + c고요 sb의 의미는 뭐냐면 a부터 b까지의 넓이를 의미하는 거예요 여기서부터 여기까지 넓이를 의미합니다 자 그리고 만약에 s에다가 a를 대입하면요 fa+c죠 자 그런데 우리가 기준으로 a라고 잡아 놨기 때문에 a부터 a까지의 넓이래요 여기서부터 여기까지의 넓이입니다 우리가 그거는 넓이가 없다고 봐야죠 따라서 우리가 적분 상수 c를 - fa라고 쓸 수가 있고요 우리가요 영역의 넓이요 영역에 넓이를 s라고 하면 es를 뭐라고 쓸 수 있어요 fb-c가 아니라fa라고 쓸 수 있죠 fb-fa라고 쓸 수가 있습니다 그래서 우리가 이거를 적분 기호로 활용을 해서 a부터 b까지 인테그랄 fxdx라고 쓸 거예요 우리가 이렇게 넓이를 구하기 위해서 이런 적분을 활용하게 됩니다 자 요게 바로 정적분이에요 정적분 정적분이고요 자 그래서 우리가 문제에서 이렇게 주어질 거예요 a부터 b까지 인테그랄 FX dx는요 우리가 fb-fa라는 걸 알죠 fb-afa로 계산을 할 거예요 그런데 우리가 단계상 fx를 먼저 부정적분을 구하고서 숫자를 대입을 해야 되기 때문에 요거 순서로 가는 것이 아니라 부정적분을 한 fx를 먼저 구하고요 라디에프엑스의 범위 a부터 b까지를 이렇게 써줍니다 그 다음에 라제fb-lfa 이렇게 써주는게 우리가 이제 정적분을 계산하는 순서에요 우리가 주어진 정적분을 요렇게이 안에 있는 FX 삐졌구나 함수를 먼저 적분을 한 다음에 그 다음에 범위 a부터 b를 이렇게 대입을 해주는 겁니다 fb-fa라고 우리가 이렇게 계산을 할 수가 있어요

자 그러면 교재에 있는 내용을 한 번씩 보도록 할게요 함수 fx가 다친 구간 a 콤마 b에서 연속일 때 우리는 함수 fx에 한 부정적분 라지 fx에 대해서 fb-fa를 fx에 a에서 b까지 정적분이라고 하고 기호로는 이렇게 표현을 해줍니다 요로 이렇게 표현하면 어떻게 쓰는 거라고요 우리가 계산을 하기 위해서는 fx를 먼저 적분을 해서 라지 fx를 구하고요 그리고 a부터 b까지를 써 준 다음에 b를 먼저 대입하고 그 다음에 a를대입해서 이렇게 빼줍니다 자 우리가 여기에 있는 인테그랄 안에 있는 a와 b를요 뭐라 그러냐면 a는 r의 끝이라고 하고요 아래 끝 위에 있는 비는 윗 끝이라고 합니다 위끝이라고 하고 우리가 이렇게 a부터 b까지를 다 친구가 a 콤마 b를 적분 구간이라고 해요 적분 구간 자 그리고 우리가 여기서 하나 주의해야 될 점은 뭐냐면 우리가 지금 fx를 적분하면 라지 fx가 아니라 적분 상수 원래 c를 달아줘야 된다 그랬어요 그런데 적분 상수 c를 달아줘요 fb + C - FA + c니까 결국 c가 어떻게 돼요 적분 상수가 사라지고 afb-afa만 남게 되는 거예요 그래서 우리가 여기 있는 c는 쓰지 않습니다 정적분에서는 적분 상수 c를 쓰지 않아요 어차피 사라지는 거니까 쓰지 않습니다 그래서 교 재 맨 밑에보면 적분 상수시는 쓰지 않는 것이 일반적이다라고 나와 있습니다

자 넘어가도록 할게요 자 우리가 a부터 b까지 해서 통상적으로 a부터 b까지 인테그랄 FX dx에서 a 이상 x가 be야이 범위에서 우리가 넓이를 구했고 정의가 되어 있기 때문에 a가 b보다 작은 것으로 우리가 정의가 되어 있어요 그런데 a랑 b랑 만약에 같으면요 a랑 b랑 같으면 우리가 적분 범위가 0부터 a부터 a까지죠 그러면 어떻게 돼요 a - fa니까 FA - fa니까 fa-fa는 계산했을 때 어차피 0이 되죠 그래서 이렇게 0으로 계산되고요 만약에 밑에 있는 숫자가 더 커요 아래 끝이 더 끝 크다면 우리는 요거를 계산했을 때 위아래를 바꾸고요 위 끝과 아랫것을 바꾸고 마이너스 부호를 붙입니다그런데 요게 큰 의미가 없는게 우리가 애초에 a부터 b까지 FX dx를 계산하는 것은 fb-fa라 그랬어요 그런데 위아래를 바꾸고 b부터 a까지의 마이너스 보호를 단 것도요 어차피 마이너스 안에 FA - fb가 들어가서 얘를 계산하면 fb-fa죠 똑같은 결과가 나옵니다 두 개가 똑같은 결과가 나와요 그래서 굳이 신경 쓰지 않고요 그냥 우리는 요식만 가지고 노식만 가지고 계산을 해주면 됩니다 자 넘어가 보도록 할게요 우리가 정적분의 성질이라고 나와 있는데 우리가 요거는 부정적분에 나와 있는 성질하고 모두 똑같아요 정적분도 부정적분을 기본으로 하고 있기 때문에 크게 달라지지 않습니다 실수배는 바깥으로 빼서 계산을 해주면 되고요 FX + gx의 인테그라는 이렇게 인테그랄 FX인테그랄 GX 나눠서 계산을 해주면 됩니다 차도 마찬가지로 FX - gx를 적분하면 FX 적분하고 뺀다 빼고 gx를 적분하고 똑같습니다 우리가 앞에서 부정적분의 성질하고 완전히 똑같죠

자 개념 예제 보도록 할 건데요 우리가 지금 0부터 3까지 요로남 수가 있고 요로남수가 있어요 자 그러면 우리가 이거를 어떻게 쓸 수가 있어요 그냥 하나로 쓸 수가 있는 거예요 0부터 3까지 x의 3제곱 플러스 2x^2 - x + 1 -x^3 + x 제곱 플러스 x - 3 bx 그러면 x^3 x^3 사라지고 -x + x 사라져서요 적분 안에 있는 비접분함수가 지금 3x의 제곱 3x 되고 -2 밖에 남지 않습니다 그러면 3x² -1을 먼저 적분을 해주는 거예요 적분을 먼저 해주면 부정적분을구해주면 x^3 -2x죠 적분 상수는 안 써도 된다 그랬어요 그리고 0부터 3까지 요렇게 쓴 다음에 3을 대입한 값에서 0을 대입한 값을 빼주면 됩니다 27-6 0 - 0 그래서 계산하면 21이네요 우리가 이렇게 정적분 값을 구할 수가 있습니다 자 정적분의 성질 두 번째인데요 우리가 부정적분해서 정적분으로 넘어오면서 적분 범위라는게 생겼어요 a부터 b라는이 적분 범위가 생겼는데 a부터 c랑 a부터 c랑 c부터 B 적분을 합하면요 우리가 a부터 b라고 할 수가 있는 거예요 어차피 함수가 같으니까 어차피 함수가 같으니까 a부터 c까지 적분한 거랑 c부터 b까지 적분한 거를 합하면 우리가 a부터 b까지 적분한 거와 같다 이렇게 쓸 수가 있어요 자 이렇게 볼 수도 있겠죠 우리가fx를 적분하면 라지 fx가 된다고 했을 때 지금 a부터 c까지 적분한 정적분은 fc-f의 a구요 뒤에 있는 건 f의 b-f의 c죠 그러면 fcfc 사라져서 fb - fa만 남게 됩니다 그러면 요거는 a부터 b까지 fxdx죠 그래서 이런 성질도 성립을 하는 거예요 자 마지막으로 개념 예제 볼 건데요 자 범위를 보면 여기 지금 -3부터 0까지고요 0부터 3까지네요 그러면 우리가 적분 범위를 합쳐서 어디부터 어디까지라고 할 수 있어요 마이너스 3부터 3까지라고 할 수 있는 겁니다 x 제곱 마이너스 2x + 3 bx 자 그러면 x² - 2x + 3을 적분을 해주면 3분의 1 x^3 -x² + 3X 범범이는 -3부터 3까지입니다자 3을 대입한 값은요 3분의 1 곱하기 27 - 9 + 9 -3을 대입해주면 3분의 1 곱하기 - 27 -9 -9입니다 그러면 요게 9니까 여기서 남는 건 9밖에 없고요 뒤에서 남는 건 얘가 마이너스 9니까 -27이네요 따라서 답은 36으로 나옵니다

자 여기까지 해서 우리가 정적분의 성질을 배워 봤어요 자 우리가 다음 시간 하고 다다음 시간 계속 가다 보면이 정적분에 관한 어떤 기하학적 의미가 나와요 우리가 맨 처음에 정적분을 설명하면서 제가 정적분을 설명하면서 넓이에 관련한 내용을 했는데 우리가 뒤에 가면 그 내용이 이제 좀 본격적으로 나오기 시작을 합니다 그래서 우리가요 내용을 조금 꼼꼼하게 익히고 그리고 정적분을 정의하는 과정도 한번 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다