[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 적분법 - 정적분으로 정의된 함수

자 오늘 학습할 내용은 정적분으로 정의된 남습니다 우리가 지난 시간에 정적분을 배웠는데 우리가 정적분은요 a부터 b까지 어떤 fxdx를 적분한 거예요 그랬을 때 라지 fb - 라지 fa입니다 그러면 라지 fb-lfa면 결국 뭐예요 실수예요 실수 어떤 숫자가 나옵니다 그래서 위 정적분 값은 이게 복잡하게 생겼어도 사실은 실수인 거예요 자 그런데 우리가 만약에 위 끝이나 아래 끝이나 비접분함수의 적분변수 외의 변수예요 적분변수 외의 변수가 포함되어 있으면 우리는 그거는 실수나 숫자가 아니라함수인 겁니다 자 여기 보면 위끝에 x가 들어가 있죠 여기는 아래 끝과 위 끝에 모두 x가 들어가 있고 여기는 피적분함수의 x가 들어가 있고 여기도 p 적분 함수의 x가 들어가 있네요 이런 경우에는 우리가 실수가 아니라 함수입니다 함수 그래서 그에 관한 내용이 이렇게 밑에 적혀 있어요 일반적으로 쉴수는 뭐가 되는 거예요 fx가 되는 겁니다

자 이 내용을 활용해서 자 1번을 보도록 할게요 ddx의 자 지금 인테그랄 a부터 x까지 ftdt예요그러면 ddx에 우리가 요구를 풀어서 쓰면 뭐라고 쓸 수 있어요 라지 FX - 라지 fa라고 쓸 수가 있습니다 자 그러면 우리가 요거는 미분을 해서 fx만 남는 거죠 요거를 미분하면 fx가 남는 거고요 요거를 미분하면 상수니까 사라지겠죠 fa는 상수니까 그래서 요거를 계산했을 때 이렇게 되는구나라고 볼 수 있어요 자 2번도 볼게요 자 2번도 볼 건데 우리가 일단 요거를 좀 봤으면 좋겠어요 만약에 f의 라지 f의 x+a가 있어요 근데 우리가 이거를 미분하면 미분하면 f의 x+a가 됩니다 우리가 이렇게 지금 largef 안에 x가 아닌 x+a가 들어가 있죠 근데 그거를 미분해도 똑같습니다 안에 있는 거는 변하지 않아요 자 ddx의 인테그랄 x의 x+a의ftdt인데요 우리가 요거를 좀 이렇게 쓸 수 있을 것 같아요 ddx에 지금 라지 f의 x+a - 라지 fx라고 쓸 수 있죠 그러면 미분하면 뭐가 나오는 거예요 f의 x+a - fx가 나옵니다 자 요거를요 우리가 조금 익숙해지면 그냥 바로바로 갈 수가 있는데 처음에 좀 헷갈릴 때는 우리가이 피적분함수를 우리가 적분은 함수 라지 f를 활용해서 표현을 해준 다음에 미분을 해주면 우리가 얻어낼 수가 있습니다 우리가 헷갈릴 때는 항상이 방법을 활용하면 될 것 같아요

자 넘어가겠습니다 자 개념 예제 볼 건데요 우리가 이렇게 지금시기 복잡할 때는 안에 있는이 피적분함수를 치환을 합니다 저는 gt라고 지원을 할게요 그러면 자 ddx 그리고 인테그랄 1부터 x까지 GT dt예요 자 이랬을 때 저는 gt를 부정적분하면라지 gt가 된다고 하겠습니다 그러면 ddx 안에 라지지 x - 라지지 1 이렇게 되고요 x에 관해 미분하니까 g의 x만 남는 거예요 미분하면 사라져요 상수니까 따라서 x의 제곱 플러스 2x + 4만 남게 됩니다 따라서 F1 값을 계산을 해주면 우리가 7이라고 계산을 할 수가 있습니다 자 이렇게 된 극한까지 들어가면 더 복잡해 보여요 더 복잡해 보이는데 똑같이 하는 겁니다 우리가 ft를 적분하면 ft가 라지 ft가 된다고 했을 때 요거를 조금 풀어서 쓰면요 1번을 좀 풀어줬으면 x가 a로 가는 리미트에서 x - a분의 1의 여기가 어떻게 돼요 라지 FX -라지 fa입니다 자 그러면 우리가 이거는 뭘 하는 거예요 f 라디에프의 프라임 a죠 자 라지 f를 미분하면 뭐가 되는 거예요 원래 있던 f가 되는 겁니다 fa가 되고요 그래서 이렇게 fa로 계산을 할 수가 있는 거예요

자 2번도 똑같아요 우리가 지금 x가 0으로 가는 리미2에서요 x분의 1 곱하기 저 부분을 이렇게 바꿀 수 있겠네요 라지에프 익스플러스 a - 라지 FA 그러면 우리가 상당히 많이 본 꼴입니다 제가 h로 바꿔 볼게요 x를 h로 바꾸면 h가 0으로 가는 리미트에서 h분의 라지 f의 a+ h - 라지 fa고요 우리가 그러면 라제프를 미분한 f고 그게 지금 안에 a가 들어가면 됩니다 FA 이렇게 계산을 해 주시면 돼요 헷갈릴 땐 어떻게 하라고요 우리가 지적분함수를빚 적분함수를 가지고 이렇게 풀어서 불어서 써서 미분하는 거를 우리가 눈으로 확인을 하면 됩니다

자 개념 예제 보도록 할게요 극한값을 구하라고 했고요 지금 여기 시작분 함수를 제가 ft라고 치환을 할게요 이거를 ft라고 지원을 할 거예요 자 ft에 부정적분을 라지에프티라고 할 거고요 우리가 1번을 풀어보면 x가 2로 가는 리미트에서 x-2분의 1의 여기 안에 뭐가 들어가요 라지 f의 x 마이너스 라지 f2가 들어옵니다 그러면 우리가 f2라는 거를 알겠네요 따라서 av는 - 4 + 6 + 1이니까 3이라고 계산을 할 수가 있어요 자 2번도 마찬가지로 할 거고요 여기에 있는 t² 플라스틱 플러스 3을 제가 gt라고 치환을 하겠습니다 그리고 gt를 부정적분했을 때라지 gt가 나온다고 할 거예요 그러면 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 1에 우리가요 안에 자 요거는 우리가 조금 익숙하게 x를 h라고 보면요 h라고 보면 라지 g를 미분했는데 라지지를 미분해 놓고 뭐를 넣는 거예요 1을 넣는 거죠 자 따라서 g1입니다 g1의 값은 뭐예요 5적 자 여기까지 해서요 우리가 오늘 정적분으로 정의된 함수에 관해서 공부를 해봤어요 정적분 안에 문자가 들어가 있을 때 함수가 될 수 있구나 그런 거를 우리가 좀 공부를 해봤습니다 자요 내용도 공부를 꼭 복습하고 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다