[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 적분법 - 넓이

자 오늘 나갈 단어는 넓이입니다 우리가 정적분이란게 넓이와 연관성이 있다고 제가 지난 시간에 설명을 드렸었는데 자 우리가 오늘 그거에 관해서 조금 더 자세하게 알아보도록 할 거예요 자 함수 fx가 다친 구간 a부터 b까지에서 연속이고 fx가 0보다 크거나 같을 때 우리는 y는 fx와 x축 그리고 x는 a x는 b 이렇게네 가지 요소들로 둘러싸인 도형의 넓이 s는 우리가 이렇게 정적분을 가지고 계산을 할 수가 있어요 자 어디부터 어디까지요 a부터 b까지예요 그러면 x는 a부터 x는 b까지 그리고 x축과 x축과이 그래프 y는 fx라는 그래프가 만들어내는이 곡선 이렇게 4가지요소들로 둘러싸인이 부분에 넓이를 s라고 하는 거예요

자 우리가 여기서 주의해야 될 점은요 지금 적분 범위가 적분 구간이 a부터 b까지고요 피적분함수가 fx고 이렇게 DX 돼 있는데 자 얘가요 지금 a보다 b가 크고 a보다 b가 크고 fx가 0보다 크거나 같다면 자연스럽게이 값은 양수가 나와요 양수가 나오는데 자 0보다 크거나 같겠죠 fx가 0일 수도 있으니까 0보다 크거나 같다가 나오는데 만약에 fx가 음수예요 요런 함수로 한번 그려 볼게요 이렇게 x축이 있고 y는 fx가 이렇게 생겼습니다 y = fx가 이렇게 생겼고 a랑 b가 여기 있다고 합시다 a b 그러면 만약에 a부터 b까지 fxdx를 하면요 이 값은 fx가 지금 x축 아래 있기때문에 정적분 값이 음수로 나옵니다 그러면 만약에 우리가 여기 넓이를 구하고 싶으면 여기 넓이를 구하고 싶으면 넓이는 항상 양수가 나와야 되죠 양수가 나와야 되기 때문에이 넓이를 레스라 그러면 인테그랄 a에서 b까지 FX dx랑 같은 것이 아니라 마이너스 부호를 붙여줘야 같아지는 겁니다 우리가이 인테그라 레이부터 b까지 fxdx는 음수기 때문에 이렇게 - 9를 달아줘야 정상적으로 넓이의 값을 우리가 구할 수가 있는 거예요

자 그러면 우리가 이렇게 지금 정리가 되어 있어요 다음 주 fx가 다 친구가 a 콤마 b에서 연속이고요 y=fx x2 x=ax는 b로 둘러싸인 도형의 넓이 s는 우리가 fx의 절대값을 씌워주는 거예요 fx가 양수일 때는 상관이 없는데 fx가 음수일 때는 우리가 마이너스 보호를 붙여줘야 양수가 되죠 그래서fx가 음수일 때 넓이를 구하기 위해서는 절대값을 씌워 마이너스 부호를 붙이고 양수를 바꿔 줘야 된다 우리가요 내용이 지금 중요한 내용인 겁니다 자 여기에는 별표를 좀 하나 달아 볼게요 자 그래서 이렇게 세 가지 상황이 우리한테 예시로 주어져 있는데 자 a부터 b까지 적분을 할 거고요 인테그랄 a에서 b까지고 자 a 이상 B 이하 x의 범위가 a 이상 B 이하예요 그리고 그 범위에서 지금 fx가 모두 0보다 크거나 같아요 있다는 소리죠 이렇게 위에 있으면 우리가이 넓이를 구할 때는 여기 넓이를 구할 때는 우리가 그냥 정적분 값을 계산해 주면 돼요 fx가 어차피 0보다 크거나 같으니까 자 그런데 fx가 이렇게 x축 아래 있을 때는 a 이상 B 이하에서 fx가 0보다 작거나 같을 때는 어떻게 돼요 -9를 붙여줘야 되는 거예요 절대값을 풀 때 우리가 마이너스 부호를 붙여줘야 양수가 되니까 자 이런 경우도 있어요 우리가 지금 함수 fx가 어느 구간에서는 양수고 어느 구간에서는 음수인 겁니다 자 그럴 때는요 이 S1 넓이와 S2 넓이를 더할 건데 S1 + s2를 구할 때 s1은요 fx가 양수니까 그냥 여기 a부터 c까지 a부터 c까지 그냥 FX DX 해주면 되는 거예요 인테그랄 a에서 10까지 자 그런데 여기 c에서 b까지 적분을 할 때는요 인테그라 c에서 b까지 fxdx일 때는 우리가 지금 x축 아래에 함수가 있기 때문에 -9를 달아서 더해 줘야 되는 겁니다 자 요런 경우 우리가 함수를 지금 이렇게 양수인 구간과 음수인 구간을 나눠서 각각 정적분 값을 구해준다라는 것을 우리가 확인을 해주면 좋을 것 같아요

자 그러면 우리가 개념 예제를 직접 풀어 볼 건데곡선 y는 x제곱 마이너스 3x+2와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라고 했어요 자 우리가이 그래프를 간단하게 그리기 위해서요 x축과의 교점을 구할 거고요 x축과의 교점을 구하기 위해 y에다가 0을 대입합니다 그러면 x-1의 x-2는 0이고 x는 1하고 2라는 1 또는 2라는 값이 나와요 그러면 그래프가 이렇게 생겼을 때 여기 좌표가 1이고 여기 좌표가 2네요 자 그랬을 때 어딘 아이비를 구하는 거예요이 그래퍼와 h축이 둘러싸인 부분 바로 여기 구하라는 겁니다 자 그러면 제가 넓이를 구하기 전에 한번 1부터 2까지 정적분 값을 한번 구해볼게요 인테그라 1부터 2까지 x제곱 - 3x + 2 DX요걸 한번 계산을 해보겠습니다 우리가 X7 -3x+2의 부정적분을 구해주면 1/3x^3 [음악] - 2분의 3 x² + 2x고요 지금 적분 구간이 1부터 2까지예요 그러면 2를 대입한 3분의 8 - 2분의 3 곱하기 4 + 4 -1을 대입한 3분의 1 - 2분의 3 + 2고요 우리가 요렇게 약분되면 여기가 6이고 -6+4니까 여기는 3분의 8 - 2라고 쓰면 되겠네요 뒤에는요 마이너스 3분의 1 + 2분의 3 -2예요 그러면 6으로 통분을 해주면요 심령 - 12 -2 + 9 - 10입니다 그러면 6분의 우리가요렇게 하면서 21 [음악] -1이네요 자요 값이 정적분 값이 -6분의 1이 나왔어요 자 왜 1/6이 나온 거예요 fx가 r에 있기 때문에 x축 아래 있기 때문에 음수가 나온 겁니다 우리가 구하고 싶은이 넓이 s는 어떻게 구해야 된다고요 s는 -를 붙여줘야 된다고요 장덕분 값에 - 보호를 붙여줘야 되고요 우리가 정적분 값을 계산했을 때 뭐가 나왔어요 -6분의 1이 나왔죠 그래서 넓이는 1/6입니다 자 이렇게 계산을 해주면 돼요

자 하나 더 해볼게요 y는 x x - 2와 x축 그리고 두 직선 x는 1 x는 3으로 둘러싸인도 형의 넓이를 구하라고 했고요 그래프를 좀 그려 볼게요 지금 y = x의 x - 2가 x축과 만나는 교점을 찾기 위해서 x값을 계산을 해주면 0 또는 2입니다그러면 그래프가 0 또는 2에서 x축과 만나니까 이런 식으로 그래프를 좀 그려줄 수 있겠네요 이렇게 그릴 수가 있습니다 여기는 2 자 두 직선이 지금 뭐랑 뭐예요 x는 3이죠 x는 1은 여기쯤 있을 거고요 x는 3은 여기쯤 있을 겁니다 자 우리가 구하는 넓이는 여기 넓이와 여기 넓이에요 자 제가이 넓이를 s1이라고 할 거고요이 넓이를 s2라고 할게요 자 s1을 구할 건데요 s1은 지금 fx가 우리가 요거를 fx라고 했을 때 fx가 x축 아래에 있어요 아래 그러면 우리가이 넓이는요 정적분 값 1부터 2까지 적분한 FX dx를 적분한이 값이 음수가 나와요 그래서 넓이를 구할 때는 마이너스 부호를 달아줍니다 자 계산을 해보겠습니다 1부터 2까지fx는 x의 제곱 마이너스 2x예요 요거를 적분을 하기 전에 마이너스를 안에 넣을게요 이렇게 마이너스 x 되고 + 2x를 계산을 하겠습니다 자 요거를 계산해주면요 마이너스 3분의 1 x^3 + x 제곱이고 1부터 2까지니까 2를 대입한 마이너스 3분의 8 + 4 -1/3 + 그래서 계산을 해주면 얘는 3분의 12죠 그래서 3분의 4 얘는 3분의 3이니까 이렇게 하면 3분의 2네요 즉 - 3분의 2입니다 그래서 s1의 넓이는 3분의 2라고 계산이 됐어요 이번에는 fx가 양수입니다 양수 그러면 우리는 그냥 인테그랄 2에서 3까지 fxdx를계산해 주면 되겠네요 자 인테그랄 fx는 2부터 3까지 x² - 2x dx고요 우리가 이거를 적분을 해주면 1/3x^3 -x²이에요 2부터 3까지 자 그랬을 때 3을 대입한 3분의 1 곱하기 27 -9 - 3분의 8 - 4구요 우리가 요거를 계산을 해주면 요거는 0이 되네요 0이 되고 답이 얘가 3분의 12여서 3분의 4만 남습니다 즉 s2의 넓이는 3분의 4예요 그래서 우리가 최종적으로 구하고 싶은 넓이를이 넓이와 이 넓이를 합한 넓이 s를 구한다고 하면요 s는 S1 플러스 s2구요 s와는 3분의 2 s2는 3분의 3입니다 두 개 더해서 2라고 계산을 해주면 되겠네요

자 넘어가도록 할게요 자 두 곡선 사이의 넓이인데요 우리가 아까는 함수 하나가 주어지고요 x축이 있습니다 그래서 그 사이에 떨리고 하는 방법이었는데 여기는 함수가 두 개 두어지는 거예요 fx와 GX 그래서 y = FX y는 GX 그리고 x는 a x는 b로 둘러싸인 도형의 넓이는 우리가 인테그랄 a에서 b까지 절댓값 FX - gx의 dx로 계산을 합니다 우리가 여기서 좀 눈여겨 볼 점은 절댓값이죠 절댓값 자 넓이라는 거는요 항상 양수가 나와야 돼요 넓이는 항상 양수가 나와야 되는데이 FX - gx가 음수가 되면 넓이가 음수로 나오는 거예요 그래서 우리는 FX - gx가 항상 양수가 나오도록이 절대값을 씌워주는 겁니다 자이 세 가지 케이스 여기 밑에 있는이 세 가지 케이스를 볼 건데요 자 x는 a에서 b까지에서 지금 누가 더 커요 fx랑 GX 중에 fx다 fx가 더 큽니다fx가 더 크니까 이런 경우에는 그냥 인테그랄 a에서 b까지 FX - GX dx예요 자 그런데 여기 두 번째를 보면요 지금 누가 더 커요 gx가 더 큽니다 그러면이 절댓값에서 FX - gx가 음수가 되기 때문에 우리는 마이너스 9를 하나 붙여서 넓이를 계산할 수가 있는 거예요 자 그런데 우리가 이거를 이렇게 볼 수도 있어요 그냥 큰 거에서 작은 거를 빼준다 우리가 양수가 나와야 되니까 큰 거 gx에서 작은 거 fx를 빼준다 그래서 gx-afx를 적분한다는 생각으로 적분해도 좋습니다

자 세 번째는요 우리가 지금 넓이가 이렇게 중간에 바뀌어요 여기가 지금 a에서 c까지 갈 때는요 누가 위에 있어요 여기에서는 f가 위에 있어요 그런데 c에서 b로 갈 때는 누가 위에 있어요g가 위에 있습니다 즉 계속 관계가 바뀌는 거예요 그럼 이런 경우에는 우리는 적분을 두 번 나눠서 해야 됩니다 f가 클 때는요 a에서 c까지 FX - GX dx를 해주고요 c에서 b까지는요 c에서 b까지는 우리가 gx가 더 크니까 gx가 더 크니까 - 부호를 붙여서 여기 -가 달려 있어요 그런데 우리가이 부분을이 마이너스가 달려 있는이 부분을 꼭 이렇게 쓰지 않고요 어떻게 쓸 수 있다고요 큰 함수에서 작은 함수를 뺀다고요 큰 함수 gx에서 작은 함수 afx를 빼서 계산해도 좋습니다 이렇게 계산하는게 우리가 더 좋을 것 같아요 자 밑에 보면 두 곡선이 아닌 곡선과 직선 사이의 넓이에도 동일하게 적용할 수 있다 그랬고요 여기서 말하는 직선은 어떤 1차 함수나 상수 함수 이런 애들을 말하고 있는 겁니다 자 넘어가도록 하겠습니다

자 그래서 우리가 개념 예제를 좀 풀어보도록 할 건데요 두 곡선 y는 x 제곱 플러스 2x + 3과 y는 -x² + 15가 있어요 얘를 fx라고 놀 거고요 얘를 gx라고 놓을게요 자 우리가 아직 좀 익숙치 않으니까 그래프를 좀 그려가면서 한번 구해 보도록 할게요 fx라는 함수는요 우리가 x+1의 제곱 플러스 2로 정리가 돼요 그래서 꼭짓점이 -1 gx는 -x² + 15니까 꼭짓점이 0 콤마 15입니다 자 그래서 그래프를 그려줄 거고요 우리가 꼭짓점을 가지고 그래프를 그려주면 fx는 -1이니까 여기쯤에 꼭짓점이 있어서 이런 그래프가 생깁니다 이런 그래프가 생기고 gx는 꼭짓점이 0 15예요 그래서 여기쯤에 그래프를 이렇게 그려주면 될 것 같아요 자 그랬을 때 우리는이 두 곡선으로둘러싸인 넓이니까 여기 넓이를 구하는 거예요 요만큼 요만큼

자 그러면 우리가 이 교점의 x좌표를 일단 알아야 됩니다 교점에 익사 표를 알아야 여기서부터 여기까지 적분을 해주겠죠 그래서 교점을 구하기 위해서 fx랑 gx를 같다고 놉니다 fx는 gx라고 놓으면 우리가 어떤식이 나와요 x² + 2x + 3은 -x² + 15라는식이 나오고요 EX 되고 + 2x - 12는 0이고 x^2 + x - 6인용입니다 그러면 x 좌표가 -3하고 플러스 2가 나와요 그래서 여기 x좌표는 -3이고 여기 x좌표는 2예요 자 그랬을 때 우리가 이제 넓이를 구하기 위해 적분을 해 줄 건데 자 누가 위에 있어요gx가 항상 위에 있죠 우리가 -3부터 2라는 구간 사이에서는 2구간 안에서는 gx가 항상 위에 있습니다 그러면 인테그랄 어디부터 어디까지 -3부터 2까지 누구에서 누구를 빼요 gx에서 fx를 빼주는 거예요 큰 거에서 작은 거를 빼줍니다 자 그러면 인테그랄 -3부터 2까지 안에다가 넣어주면 gx는 -x² + 15 그리고 fx를 빼니까 -x² -2x-3이에요 자 그래서 안에 있는 거를 좀 정리해 주면 -3부터 2까지 -2x² 그리고 -2x + 12 dx네요 자 적분을 해주면 - 3분의 2x^3 -x² + 12x고요 어디부터 어디까지-3부터 2까지 자 2를 대입한 값을 여기다 써줄 거고요 그리고 -3을 대입한 값을 여기다가 써 주도록 하겠습니다 그러면 2를 대입하면 -3분의 16 그리고 -4 +24구요 여기 -3을 대입을 해주면 -1/3 곱하기 - 27 - 9 - 36이에요 그러면 여기 지금 플러스 플러스 되고 9로 약분되고 28 그러면 9 900이 36은 -27입니다 자 여기 계산해주면 이렇게 하면 20이고요 -까지 자 3분의 16이니까 3분의 60으로 통분을 해서 계산을 해주면 3분의 44네요 자 그러면 3분의 44 -27이니까 우리는 +27이라고 할 수 있어요 그러면 3분의 44 + 27이니까 3분의 44 + 81이고요계산해주면 3분의 125라고 우리가 넓이를 구할 수가 있습니다 자 여기 그러면 s라는 넓이가 s값이 3분의 125인 거예요 넓이가 3분의 125인 겁니다

자 넘어갈게요 두 번째 개념 예제 볼 건데요 두 곡선 y=x^3 -2x제곱과 y는 X7 - 2x로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라 그랬어요 자 그러면 마찬가지로 얘를 fx라고 놓고요 얘를 gx라고 놓을 거고 FX 그래프를 좀 간단하게 그리기 위해서 fx를 요렇게 바꿀 수 있어요 x²의 자 그리고 gx는요 gx는 x의 x - 2입니다 그러면 우리가 두 그래프를 그려주면요 이렇게 그리고 이렇게 x축 y 축을 그려놓고 자 얘는 0하고 2를지나요 fx는 그러면 이렇게 그려주면 됩니다 0에서는 지금 중근이기 때문에 이렇게 그래프를 그려줄 수가 있고요 gx는 2차 함수인데 이렇게 그릴 수가 있겠네요 우리가 gx를 이렇게 여기서 만나고 여기서 또 만나요 자 그러면 우리가 이걸로 둘러싸인 도형의 넓이를 구해야 되는데 지금 교점이 여기에 지금 하나 더 생기는 거예요 자 왜 생길까요 계산을 해보면 되죠 x^3 -2x 제곱이 x 제곱 마이너스 2x하고 같다고 놓고 계산을 해보는 겁니다 x^3 - 3x 제곱 플러스 2x고요 x로 묶었을 때 x 제곱 마이너스 4x + 2고 x의 x-1의 x-2가 0이니까 교점 좌표가 0인 거 하나 1인 거 하나 2인 거 하나 이렇게 세 개가 있는 겁니다 자 그래프를요 제가이 부분만 조금 확대해서 크게 그리면 이렇게생긴 겁니다 3차 함수가 3차 함수가 이렇게 있고요 자 2차 함수가 이렇게 생긴 거예요 여기서 한번 만나고 여기서도 한번 만나는데 여기서도 만나는 이런 그래프를 그릴 수가 있어요

자 그랬을 때 넓이가 두 군데 생기는 거예요 여기 하나 생기고 여기 하나 생기고 제가 이너리를 s1이라고 하고이 넓이를 s2라고 하겠습니다 자 그러면 s1을 구하기 위해서는요 우리가 적분 구간이 어디부터 어디까지예요 여기 x좌표 0부터 여기 X 좌표 1까지 인테그랄 0부터 1까지 자 누가 커요 f가 더 큽니다 f가 더 커요 그래서 FX - gx를 써줍니다 0이라고 썼네요 0부터 1까지 FX - GX 자 x^3 -2x² -[음악] x 제곱 마이너스 2x 요거를 계산을 해주면 돼요 자 0에서 1까지 x^3 - 3x 제곱 플러스 2x고요 적분을 해주면 4분의 1 x⁴ -x^3 + X 제곱이고요 우리가 1을 대입하면 4분의 1 - 1 플러스 1이고 0을 대입하면 0입니다 그래서 계산해서 나오는 건 4분의 1밖에 없어요 자 이번엔 s2를 계산을 할 거고요 s2의 적분 구간은 어디부터 어디까지예요 1부터 2까지 1부터 2까지구요 뭐에서 뭐를 빼 줘요 얘는 지금 gx가 더 크니까 gx에서 x² - 2x에서 fx를 빼줍니다 x^3 -2x 제곱을요 자 그러면 1에서 2까지 x의 제곱 마이너스 2x -x^3+ 2x²이고요 자 계산해서 정리해주면 1부터 2까지 -x^3 + 3x 되고 - 2x입니다 자 적분해주면요 마이너스 4분의 1 x⁴ + x^3 - X 제곱이에요 자 2를 대입한 거를 2를 대입한 거를 여기다가 쭉 써주면 - 4분의 1 곱하기 16 + 8 - 4 1 대입한 걸 빼주면 - 1/4 + 1 -1이에요 그러면 여기가 지금 -4여서 0 되네요 그리고 여기는 플러스 4분의 1 나옵니다 따라서 4분의 1만 나와요 자 그러면 우리가 구하고 싶은 넓이는 s1과 s2를 더한 거고요 S1 플러스 s2를 계산을 해주면 4분의 1+ 4분의 1이니까 2분의 1이 나오죠 그래서 답은 2분의1입니다 자 여기까지 해서요 우리가 넓이 구하는 방법에 대해 조금 공부를 다양하게 해봤어요 함수가 하나 있을 때 아니면 함수가 두 개 있을 때 우리가 구할 수 있는 거 우리가 학습을 했고요 자 오늘 배운 내용은 우리가 헷갈리는 부분이 있다면 딱 부호를 결정하는 부분이에요 우리가 정적분의 양수일 수도 있고 음수일 수도 있는데 정적분을 그대로 쓰면 넓이가 음수가 되는 경우가 생겨요 그대로 쓰는게 아니고 우리가 대소관계를 파악해서 큰 함수에서 작은 함수를 빼주는 겁니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 고생 많으셨구요 우리가 다음 시간에 접근 마지막 시간이니까 끝까지 힘내시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다