[수학대왕] 수학 II 개념강의 : 다항함수의 적분법 - 속도와 거리

자 오늘 내용은 속도와 거리입니다 우리가 미분을 배울 때 마지막 단원에서 미분의 마지막 단원에서도 속도와 거리에 관한 내용을 배웠었어요 자 위치를요 위치를 가지고 속도를 구할 수 있다 그랬어요 어떤 방법을 통해서 위치를 가지고 속도를 구할 수 있었죠 바로 위치를 미분하면 속도가 나와요 자 거꾸로 우리는 속도를 적분하면 적분하면 위치를 얻어낼 수가 있는 겁니다

자 그러면 교재 한번 볼게요 자 수직선 위를 움직이는 점 p에 시각 t에서의 속도가 vp고 자 속도가 vt입니다 t는 a에서의 점 p의 위치가 x에 올 때 뒤에서 점 p의 위치 x는 자 x대로 플러스인테그랄 a에서 t까지 vt dt네요 자 그러면 우리가 요걸 한번 예시를 들어서 한번 보도록 할게요 자 만약에 우리가 속도가 vt라고 합시다 속도가 vt에요 속도가 vt고 우리가 위치를 xt라고 합시다 위치를 xt라고 했을 때 지금 t는 3에서 위치가 즉 x에다가 3을 대입한게 5라고 해봅시다 이렇게 해 볼게요 그런데 우리는 뭐가 궁금하냐면 t가 7일 때 이거일 때 위치가 궁금해요 이걸 때 위치는 궁금하면 우리가 이거를 적분을 통해서 계산을 할 수가 있는 거예요 자 그러면 x 7을 계산하는 거고요 우리가 3초에서의 위치 5에다가인테그랄 선부터 7까지 vt dt를 통해서 우리가 위치를 구할 수 있는 거예요 자 여기 써 있는이 오는요지가 3일 때 위치예요 b가 3일 때 위치 자 여기 뒤에 있는 인테그랄 3에서 7까지 vtbt는 뭐예요 3초에서 7초까지 3초에서 7초까지 위치 변화량을 의미합니다 그러면 위치 변화량을 이만큼 더하면 결국에는 7초에서의 위치가 나오는 거예요 자 예시를 하나 더 해볼게요 자 속도가 vt에요 속도가 vt고 t는 0에서 t는 0에서 위치가 0이었다고 합니다 그때 xt가 궁금해요 자 그러면 xt가 궁금하면 지금 여기 들어가는 t가당연히 시간에 관한 t니까 기가 0보다 크거나 같아야겠죠 우리가 xt가 궁금하다면 우리가 vt를 적분해서 xt를 구할 수도 있는 거예요 xt는 자 0초에서의 위치 0 0이죠 거기 그리고 0부터 t2까지 vt dt를 계산해주면 우리가 xt라는 함수를 계산을 할 수가 있는 거예요 그러면 만약에 우리가 속도 vt가 속도 vt가 2티였으면 우리가 xt를 계산을 해줄 수 있겠죠 0부터 t까지 2tdt 그래서 계산해주면 t 제곱이고 c를 대입하면 d^2 0을 대입하면 0 그래서 t^2이라는 우리가 어떤 위치에 관한 함수를 얻어낼 수가 있는 겁니다

자 넘어가 볼게요 개념 예제 볼 건데 자 원점을 출발하여 원점을 출발한다 그랬어요그러면 t는 0에서 t는 0에서 위치가 0인 겁니다 위치가 0이에요 자 점피에 시각 t에서의 속도가 vt는 t^2 - OT 플러스 6일 때 t는 1에서 위치를 구하라고 했어요 자 그러면 궁금한 건 우리가 위치에 관한 함수를 제가 xt라고 할게요 위치에 관한 함수를 xt라 그러면 x1이 궁금한 거고요 x1을 구하기 위해서 0에서이 위치 0에다가 0초부터 1초까지니까 0에서 1까지 적분을 해주면 됩니다 vt DT 그러면 인테그랄 0부터 1까지 vt는 d²-5t 플러스 6의 dt구요 3분의 1d 3 제곱 마이너스 2분의 O t^2 + 6t구요 0에서 1이니까 1을 대입하면 1/3- 2분의 5 + 6이네요 그리고 0을 대입하면 0이죠 자 3분의 1 - 1/2 + 6을 계산하기 위해 6으로 통분을 해주고요 1/6 - 15 + 36입니다 계산을 해주면 얘가 -13 이렇게 계산해주면 6분의 24 콤보 분자 2로 약분해서 약분이 안 되네요 우리가 6분의 23까지 계산하면 끝났습니다 자 요게 답이에요 자 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 수직선 위를 움직이는 점에 위치에 변화량인데요 우리가 위치 변화량은 위치의 변화량은 어떻게 구한다 그랬어요 우리가 정적분을 통해서 구할 수 있다 그랬어요 t는 a에서 d는 b까지 점 p의 위치의 변화량은 인테그랄 a에서 b까지 vtdt로 이렇게 구할 수가 있습니다 자 여기에 위치해변에랑은 처음과 끝에 위치의 변화량이다라고 써 있는데요게 무슨 말이냐면 자 만약에 02에 여기 있었어요 0초에 여기 있었는데 여기서 여기까지 왔어요 한 5m 왔습니다 그랬다가 3M 돌아가요 3M 돌아갔어요 자 그러면 위치는 얼마나 변했어요 여기 갔다가 오는데 위치는 2m 변한 겁니다 5m 갔다가 3M 왔지만 위치 자체의 변해량은 처음과 끝만 따지는 거예요 처음과 끝맛 이렇게 따져서 우리가 2m 온 겁니다 2m 자 우리가 요거랑 조금 헷갈리는 개념은 바로 이동거리에요 우리가 흔히 거리라고만 표현하기도 하는데 이동거리는요 얘가 움직인 거리를 말하는 거예요 그래서 5m 갖다가 3M 왔으니까 5m 3M 하면 8m죠 이동거리는 8m입니다 자 어쨌든 우리가 위치해변에 당한 이렇게 저음과 끝점만 따져서 얼마나 변했는지를따져주는 것입니다 자 개념 면접 볼 건데요 원점을 출발하여 수직서 위를 움직이는 점 p에 시각지에서의 속도가 vt는 이렇게 함수로 주어져 있고요 d는 0에서 3까지 위치 변화량을 구하라고 했어요 그러면 정적분 해주면 되죠 0하고 3으로 적분 구간을 잡아주고 여기다가 vtdt를 하면 우리가 위치 변화량을 구할 수 있는 겁니다 자 vt는 d의 제곱 마이너스 5t 플러스 6이고요 우리가 요거를 적분을 해주면 -2 제곱 플러스 6t구요 3을 대입하면 3분의 1 곱하기 27 - 2분의 5 곱하기 9 플러스 18이구요 0 넣으면 0입니다 9 - 2분의 45 +18이고요 계산해주면 얘가 27 - 2분의 45여서 2분의 9라고계산이 됩니다

자 여기까지 되셨나요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 수직선으로 움직이는 점이 움직임 거리입니다 자 제가 아까 말했듯이 거리는 뭐예요 위치의 변화량과 달라요 위치는 처음과 끝만 따지는 거고 거리는 이렇게 왔다가 오면 왔다 갔다 하면 요걸이 5m 요거리 3M 그러면 이동 거리는 8m 저거리를 다 더해주는 거예요 그래서 우리가 속도가 양수면 양의 방향으로 가는 거고 속도가 양수면 양의 방향으로 가는 거고 음수면 음의 방향으로 오는 건데 이런 경우에는 우리가 위치를 따졌을 때는 그냥 여기서부터 여기까지 하는 거라서 절댓값 없이 그냥 적분을 해주면 위치에 변화량이 나와요 하지만 거리를 계산할 때는요 우리가 속도의 방향이 없기 때문에 속도에서 방향이 없어지기 때문에 이쪽으로 가는 방향이든 이쪽으로 가는 방향이든 우리는 모두 양수로 적분을 해줘야 우리가 속도에서 부호를 양수로 바꿔서 적분을 해줘야이동 거리가 나오는 겁니다 자 그래서 우리가 요거 이동거리 덕분을 할 때는 거리에 쓰는 우리가 인테그랄 a에서 b까지 절대값 vt dt입니다 우리가 앞으로 가든 뒤로 가든 양의 방향으로 가든 음의 방향으로 오든 모두 우리는 이동 거리로 계산을 해야 되기 때문에 양수로 바꿔서 계산을 해 줘야 돼요

자 넘어가겠습니다 자 원점을 출발하여 수직서 위로 움직이는 점 피해 지각 피해서의 속도가 이렇게 vt라는 함수로 주어져 있어요 자 t는 0에서 d는 3까지의 움직임 거리를 구하는 거고요 우리가 vt라는 함수를 그렸을 때 이렇게 생겼어요 여기가 2고 여기가 3입니다 그러면 여기가 지금 양수죠 여기가 양수에요 여기는 뭐예요 음수죠 자 그러면 우리가 요걸 알 수 있어요 t는 0에서d는이 사이에서 vt는 양수고 t는 2부터 t는 3 사이에서 vt는 음수입니다 vt가 양수라는 건 양의 방향으로 이동을 하는 거고요 vt가 음수면 음의 방향으로 이동을 하는 겁니다 자 그러면 양의 방향으로 이동할 때 이쪽으로 갔다고 합시다 자 그냥 예를 들어 5m 같다고 할게요 갔다가 음의 방향으로 이동하는 건 다시 돌아오는 거죠 3M 돌아왔다고 합시다 자 그러면 우리가 위치를 계산할 때는요 여기서부터 여기까지를 계산하는 거예요 몇이에요 2m죠 우리가 5m는 양의 방향이니까 플러스 5구요 3m는 음의 방향이니까 마이너스 3m예요

자 그러면 우리가이 vt를 적분을 했을 때 그 위치 변화량이 위치 변화량이 얘는 양수가 나와요 얘는 vt가 음수니까 위치 변화량이 음수가 나오겠죠 그러면 우리가 위치를 계산할 때는그냥 양수는 양수대로 계산하고 음수는 음수대로 계산하는 것이 맞습니다 음의 방향도 고려를 해야 되니까요 자 그런데 우리가 거리를 구할 때는요 그냥 순수하게 얘가 움직인 거리를 구해야 되니까 5m는 5m로 계산하고 -3m는 뭘로 계산해요 플러스 3m로 계산을 해야죠 그래서 우리는 뭘 지운다고요 절대값을 씌운다구요 0에서 3까지 적분 구간을 잡고 vt를 적분할 때요 거리를 구할 때는 절대값을 씌워줘야 항상 양수가 나오는 거예요 자 그래서 vt가 양수인 0부터 2까지 요로 요렇게 나누고 2부터 3까지는 음수니까 - vt dt로 이렇게 나눠서 계산을 해주면 됩니다 자 vt는요 b^2 - OT 플러스 6이고요 - vt는- 9를 달아서 마이너스 t^2 + 5t - 6 dt예요 자 그래서 계산을 해주면 - 3분의 1 t^3 - 2분의 5 t^2 + 6t구요 플러스 마이너스 3분의 1 t^3 + 1/2 t^2 - 6d에 2부터 3까지입니다 자 그래서 우리가 이때 2를 대입을 해주면 1/3 - 10 + 10이고요 0을 대입하면 0이네요 그럼 -0이라고 쓰겠습니다 플러스 3을 대입하면 -9 + 1/2 -18 2를 대입하면 -3분의 8 + 10 - 12에요 자 그래서 우리가 요거는 2구요 요렇게 계산해 주면 3분의 14네요 3분의 14고 여기는-27 그러면 요거랑 요거랑 계산해주면 -2분의 9입니다 자 요거는 -2 얘는 - 3분의 14 그러면 + 3분의 14 그래서 남은 애들은 뭐예요 자 여기다 쓰겠습니다 3분의 14 - 2분의 9 + 3분의 14 그러면 3분의 28 - 2분의 9고요 6으로 통분을 해주면 50용 - 27이니까 우리가 6분의 계산하면 몇이죠 우리가 29라고 계산을 할 수가 있습니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 거리 거리를 구하는 방법을 배웠습니다 속도를 적분하면 거리가 나온다 이걸 활용해서 우리가 구해주시면 돼요 우리 이동걸이랑 위치랑 조금 헷갈려요 부호 때문에 그 부분 꼭 꼼꼼하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다