[수학대왕] 미적분 개념강의 : 수열의 극한 - 수열의 수렴과 발산

자 이번 시간 배울 내용은 수열의 수렴과 발산입니다 우리가 수학 2에서 함수의 극한이란 것을 배웠어요 자 함수의 극하는요 우리가 x가 무한대로 가는 리미트 FX 또는 뭐 x가 - 무한대로 갈 수도 있고요 x가 - 무한대로 가는 리미트 FX x가 0으로 가는 리미트 FX 이렇게 우리가 함수의 극한이라고 배웠어요 함수의 극한 우리가 여기서는요 수열의 극한이란 것을 배웁니다 수열의 극한 수열의 극하는요 우리가이 수열이란 것을 좀 생각을 해 봐야 되는데 수열을 나열했을 때 A1 A2 A3 이렇게 갑니다 그래서 일반항을 an이라그러죠 수열의 극한이라 그러면 우리가 딱 하나예요 n이 무한대로 가는 리미트 an입니다

자 무슨 차이가 있냐고 하면 우리가 함수의 극한 같은 경우는요 x의 어떤 실수값을 넣는데 x의 실수값을 넣는데 그 실수값이 계속 연속적으로 커지는 거예요 그런데 수열이 극하는 우리가 수열이라는 것은 A1 A2 A3 이렇게 n자리에다가 자연수만 집어넣을 수 있어요 그래서 자연수 범위 내에서 자연수가 무한대로 가는 겁니다 자 그런 차이가 있어요 자 그런데 우리가 계산은 함수의 극한하고 뭐 크게 차이나지 않아요 그게 차이 나지 않아서 특별한 경우를 제외하고는 우리가 함수의 극한 계산하는 방식과 동일하게 할 겁니다 그래서 그 특별한 함수는 우리가 나중에 또 문제를 풀면서 확인을 하면 될 것 같고요 일단은 계산 과정은 거의 유사하다 그래서 내용도 좀 유사하고요 단 차이가 있다면 함수의 극하는 x의 어떤 실수값을 넣는 거고 그 실수가 계속 무한히커지는 거 또는 마이너스 무한대로 계속 작아지는 거 아니면 어떤 상수항에 가까워지는 거 요런게 함수의 극한이고요 수열의 극한은 딱 하나죠 자연수 범위 내에서 자연수가 무한히 커지는 경우에만 우리는 수열이 극한이라고 합니다 자 그래서 교재에 나와 있는 내용을 한번 보도록 할게요 수열의 수렴입니다 수열의 수렴이에요 수렴 우리가 수렴은 뭐라고 배웠어요 애니한 없이 커질 때 일반항 an의 값이 일정한 값에 한없이 가까워지면 우리는 그때 수렴한다고 배웠죠 우리가 함수의 수렴과 상당히 유사한 것도 확인을 할 수가 있어요 자 기호도 비슷해요 m이 무한대로 갈 때 리미트 a에는요 알파입니다 알파 다른 건 뭐예요 단지 그냥 자연수라는 걸 나타내기 위해서 x라고 많이 썼던 걸 n이라고 쓰는 겁니다 자 그래서 애니 무한대로 갈 때 an이 알파로 가면 이렇게 리미트를 활용해서 표현을 할 수가 있어요 자 수열 an이 이렇게상수항이 반복되는 수열이면요 우리가 a에는 그냥 c라고 쓸 수 있죠 그러면 m이 무한대로 가도 똑같이 그냥 쓰겠네요 그때의 수렴은 수렴하는 값은 c입니다 C 한없이 커진다는 뜻인 걸 우리가 알고 있고요 am이 알파로 가는 거는 an의 값이 알파의 한없이 가까워진다는 뜻이에요 마찬가지로 우리가 an과 알파가 같아지는 건 아닙니다 같은 건 아닌데 한없이 가까워지는 거예요 가까워지는 거 요게 아니고요 가까워지는 겁니다

자 수렴하는 수열의 극한값은 하나뿐이다라고 적혀 있고요 우리가 그래프를 한번 보고 갈 건데 우리가 예전에는 이렇게 그래프가 선으로 그려졌던 거는 달리 얘는 지금 애니 1일 때의 그 an 수열의 값 n이 2일 때 n이 3일 때 n이 4일 때 이런 식으로 점으로 찍혀 있는 걸 확인할 수가 있습니다 우리가 n에다가 어떤 자연수만 자연수만 놓을 수 있으니까an의 값도 이렇게 점으로만 표시가 되는 거예요 자 넘어가 볼게요 개념유지인데요 수열 an이 이렇게 정의되어 있습니다 n+1분의 n이라고요 자 n이 무한대로 갈 때 n이 무한대로 갈 때 리미트 a n 값을 구하는 거고요 우리가 한번 집어넣어 볼게요 a에는 n+1분의 n이에요 자 그러면 n을 무한대로 보내는요 극한에서 분모 분자를 n으로 나눠주면 1 플러스 n분의 1분의 1이에요 자 그러면 우리가 함수의 배웠습니다 x가 무한대로 갈 때 리미트 x분의 1이 0이라고요 자 그런데 이게 n이 무한대로 간다고 달라질까요 n이 무한대로 간다고 달라지지 않습니다 마찬가지로 0이고요 그래서 여기 리미트 안에 있는 n분의 1의 값이 0이어서 우리는이 값을 1로 계산을 할 수가 있습니다 함수에 극한과 동일한 계산 과정이죠자 넘어가겠습니다 수열의 발산인데요 우리가 이렇게 보면 수열 an이 수렴하지 않을 때 수열 a에는 발산한다고 합니다 우리가 수렴하지 않으면 발산한다고 하죠 자 그 발산을 일단 두 가지 종류를 배울 거예요 양의 무한대로 발산 음의 무한대로 발사 야미 무한대로 발산하는 건 뭐예요 우리 애니한 없이 커질 때 n이 무한대로 갈 때 an이 한없이 커지면 우리는 그거는 양의 무한대로 발산한다고 합니다 기호로 이렇게 표현할 수 있고요 무한대로 갈 때 am이 무한대로 간다 이렇게도 표시할 수 있습니다 자 음이 무한대는 우리가 애니 하나씩 커질 때 an의 값이 음수면서 그 절대값이 하나씩 커지는 거죠 한없이 작아진다고 생각해도 좋습니다 우리 한없이 작아지는 거를 음메 무한대로 발산한다고 하고요 애니 무한대로 갈 때 a에는 마이너스 무한대 이렇게 표현할수 있습니다 자 우리가 무한대라고 쓰는 거는요 극한값이 아닙니다 마이너스 무한대도 마찬가지고요 극한값이 아니고요 극한값이 존재하지 않는데 그 상태가 지금 양이 무한대로 계속 커지고 있다 음의 무한대로 계속 커지고 있다 그렇게 의미를 받아들이시면 됩니다 자 오른쪽에 있는 그래프도 보면요 우리가 점수에 극한과는 다르게 점들로 표시되어 있어요 이게 왜 점으로 표시되어 있는 거예요 우리가 자연수만 집어넣을 수 있습니다 자연수만 집어넣을 수 있으니까 이렇게 점으로 표시가 되는 겁니다

자 넘어가겠습니다 자 이번엔 수열의 수렴과 발산을 조사하라고 했는데요 우리가 n제곱을요 n제곱을 그래프로 나타내면 n이 1일 때 1이구요 2일 때 4구 3일 때 9점 이렇게 엄청 커집니다 계속 커져요 그러면 우리는 뭐라고 할 수 있는 거예요 양의 무한대로 발산한다라고 할 수 있는 거예요n이 무한대로 가는 리미트 n제곱은 양의 무한대로 발산한다 발산입니다 모로 발산 양의 무한대요 양의 무한대로 발사 자 2번 보면요 그래프가 이렇게 우리가 그냥 fx라고 생각을 하고 fx는 -3x+1이라는 직선을 그리면 이런 그래프가 나올 거예요 그런데 우리는 요게 아니라 지금 수열이죠 수혈 a에는 마이너스 3n +1입니다 그래서 1을 넣었을 때 -2 이렇게 요렇게 직선을 따라가는 거예요 근데 어쨌든이 직선을 따라가면 n이 무한대로 갈 때 어디로 가는 거예요 계속 밑으로 가고 있죠 그래서 우리는 음의 무한대로 발산한다라고 할 수 있는 겁니다 마이너스 무한대로 쓰고요 음의 무한대로 발산한다의미의 무한대로 발산한다 이렇게 표현을 하면 됩니다 자 넘어가겠습니다 자 우리가 발산이 양의 무한대로 발산하는 거랑 음의 무한대로 발산하는 것만 있는게 아니라요 진동한다고 하는 것도 있습니다 이번에 진동을 배울 건데요 자 수렴하지도 않고요 양의 무한대로 또는 음의 무한대로 발생하지도 않아요 그러면 우리는 이거를 진동한다라고 합니다 자 어떤 예시가 있냐면요 이렇게 n이 무한대로 가는데이 수열의 값이 1과 -1을 지금 오락가락하고 있죠 이렇게 반복되어 그러면 야미 무한대로 가는 것도 아니고 음의 무한대로 가는 것도 아니에요 그렇다고 어떤 한 값으로 수렴하고 있지도 않습니다 그래서 이런 경우에는 진동한다라고 하는 거예요 자 얘가 a에는 -1의 n제곱이 진동하는 가장 대표적인 예시입니다 수열 마이너스 2의 n제곱에 수렴과 발산을 조사하라 그랬는데요 우리가-2의 n제곱을요 n에다가 1을 넣으면 -2가 나오고요 2를 넣으면 4 3을 넣으면 -8 4를 넣으면 16이 나와요 어떻게 되고 있어요 절대 깍두기 계속 변하고 있고요 부호를 계속 변하고 있어요 그러면 우리는 수렴한다고 할 수 있나요 수렴하지 않아요 양의 무한대로 발산한다고 할 수 있나요 부호가 바뀌기 때문에 아니고요 마이너스 무한대로도 발산하지 않습니다 따라서 얘는 진동이라고 하면 되는 거예요 자 진동도 우리 발산의 한 종류입니다 그래서 발산이며 그 종류는 진동이다라고 하면 되는 거예요

자 여기까지 해서요 우리가 수열의 수렴에 관해서 공부를 했습니다 우리가 새로 배우는 진동에 관한 개념도 있고요 무엇보다 중요한 건 우리가이 함수의 극한과이 수열의 극한이 유사하면서도 차이점을 명확하게 알아야 됩니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다