[수학대왕] 미적분 개념강의 : 수열의 극한 - 수열의 극한값의 계산과 대소 관계

자 이번 시간 학습할 내용은 수열의 극한값을 계산과 대소관계입니다 우리가 수열의 극한값 계산하는 몇 가지 케이스를 좀 배워보도록 할게요 자 일단요 어떤 수열 an과 bn이 수렴하면요 이렇게 알파로 수렴하고 베타로 수렴한다 그랬을 때 앞에다 어떤 C 실수배를 한 건요 우리는 이렇게 씨를 리미터 밖으로 빼서 계산을 할 수가 있고요 cr85 계산을 할 수가 있습니다 합과 차도 마찬가지로 리미트를 이렇게 리미트에 리미트 BN 리미트에 - 리미트 bn 이렇게 나눠서 계산을 할 수가 있고요 각각 알파플러스 베타 알파 마이너스 베타입니다 자 곱도요 am과 bn이 곱해져 있는데 an도 수렴하고 bm도 수렴하면 각각 리미트를 쪼개서쓸 수가 있고 그냥 수렴하는 값끼리 곱해주면 됩니다

자 리미트 bn분의 a에는요 우리가 나눗셈이고 마찬가지로 이렇게 쪼갤 수 있어요 그래서 베타 분의 알파로 계산할 수 있는데 딱 주의해야 될 점은 하나죠 우리가이 BM 분모에 들어가는 bn과 베타가 0이 되면 안 됩니다 요것만 주의하면 돼요 즉 어떤 수열이 수렴해요 두 수열이 수렴하면 우리는 합과 차와 곱과 나눗셈 4층 연산 모두 성립한다는 것을 알 수가 있습니다 우리가 함수의 극한에서도 비슷하게 적용이 되던 성질들이죠 자 그러면 우리가 요걸 한번 풀어 볼 건데 우리가 이거를 지금 애니 무한대로 가는 리미트에서 3an 4an - 2bm이죠 자 그러면 지금 an도 수렴하고 있고 bn도 수렴하고 있어요 그러면 우리가이 수열에 극한을 어떻게 쓸 수 있는 거예요n이 무한대로 가는 리미트에 3an 리미트 ebn 이렇게 쓸 수가 있고요 우리 am과 BN 앞의 제곱 앞에 곱해져 있는이 숫자도 이렇게 바깥으로 뺄 수가 있습니다 2의 n이 무한대로 해주면 9 - 4니까 우리가 5라고 계산을 할 수가 있겠죠 넘어갈게요 자 수열의 극한값의 계산인데요 우리가 요거는 수학 2에서 수학 2에서 열심히 배운 바로 함수의 극한값 계산하는 거와 비슷합니다 함수의 극한값 계산하는 것과 정말 비슷해요 자 우리가 함수의 극한에서 x가 무한대로 가는 리미트에서 ex의 3제곱 플러스 1분의 여기가 3x4제곱 플러스 2x라고 할게요 자 그러면 우리가 이거 계산하면 뭐가 나온다고 배웠어요 나온다고 배웠습니다 군대 차수가 더 크기 때문에 양이 무한대가 나온다고 배웠어요

자 그러면 요게 지금 수열의 극한에서 n이 무한대로 가는 리미트에서 en 3 제곱 플러스 1분의 3n^4 + 2n을 계산하라고 해도 똑같이 양의 무한대가 나와요 계산 한번 해 볼게요 부모분자를 최고차항으로 나눠주면 n이 무한대로 가는 리미트에서 여기는 1/n 여기는 n의 4제곱 분의 1 분자는 3 + n³분의 2죠 지금 분모 분자를 n의 4제곱으로 나눠준 겁니다 그러면 a 무한대로 가면 얘도 0이고 얘도 0이고 얘도 0이죠 그랬을 때 분모에는 0이 되고 분자는 3이 남았으니까얘는 양의 무한대로 발산한다라고 할 수가 있는 거예요 자 그런데 지금 교재를 한번 보면 우리가 분대차 수가 더 큰 경우에는 자 양임화제로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다라고 써있네요 음의 무한대는 언제 생기는 거예요 우리가 여기 최고차항이 음수일 때 마이너스 3이라면 바로 0분의 -3 꼴이 되니까 음의 무한으로 발산한다라고 결론이 나는 거예요 즉 재고차항에 계수의 부호에 따라서 우리가 양의 무한대로 발생하는지 음의 무한대로 발생하는지 나오는 거예요 자 이번에 볼게요 분자의 차수랑 분모의 차수가 큰 경우에는 n이 무한대로 가는 리미트에서 an이 최고차항 계수의 비다라고 적혀 있어요 자요 말이 무슨 말이죠 자 n이 무한대로 가는 리미트에서 2n 3 제곱 플러스 1분의 3n^3 + 2라고 해보겠습니다 그럼 이번엔 분모분자를3차가 가장 높은 차수니까 3차로 나눠주면이 플러스 n³ + n³ n³은 0이죠 여기 있는 n³분의 2도 0이에요 그러면 뭐만 남아요 2분의 3만 남죠 자 최고창 계수의 비라는 건 여기 있는 이와 여기 있는 3 얘네들이 그대로 여기로 오죠요 b를 얘기하는 겁니다 자 마지막 3번은요 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으면 n으로 n이 무한대로 가는 리미트 a에는 0이다라고 적혀 있어요 자 한번 해 볼게요 이것도 이미 무한대로 가는 리미트에서 2n 3 제곱 플러스 1분의 3n + 2라고 해봅시다 분모 분자를 n³으로 나눠주면이 플러스 n³분의 1 n제곱 분의 3+ n³분의 2입니다 그러면 데미지가 무한대로 가니까 얘도 0 얘도 0 얘도 0 그러면 분모는이 분자는 0이네요 계산하면 0이겠네요 그래서 극한값이 0이 되는 겁니다

자 두 번째 무한대 - 무한대 꼴의 극한인데요 4항식인 경우에 최고차항으로 묶어서 계산을 해주면 되고 무리식인 경우에는 분모 또는 분자를 유리화한다라고 적혀 있어요 우리가 함수의 극한을 계산하는 것과 동일하게 계산을 해주시면 됩니다 그러면 개념 예제 보도록 할 건데요 우리가 지금 첫 번째 n이 무한대로 가는 리미트 n+1/2 n제곱 마이너스 n + 3이에요 자 어디 차수가 커요 분자 차수가 크네요 근데 지금 재고차항 계수가 양수입니다 그러면 얘는 어디로 가요 양의 무한대로 발산합니다 군대 다수가 더 큰 경우에 양이 무한대로발산할 수도 있고 음의 무한대로 발산할 수도 있는데 현재 분자에 있는 최고 상황에 계수가 양수기 때문에 양의 무한대로 발산한다라고 해주면 되는 거예요 자 두 번째는요 지금 분모도 2차 분자도 2차네요 이렇게 차수가 같을 때는 극한값이 뭐예요 3분의 2 즉 최고차항 계수분의 최고 장계수 요거에 값이 바로 극한값입니다 자 마지막 3번 계산해 볼 건데요 우리가 이렇게 n이 무한대로 갈 때 n+1도 무한대고 n도 무한대기 때문에 무한대 - 무한대 꼴이에요 그러면 우리가 유리화를 해주죠 부모분자의 루트 n + 1 - 루트 n에서 가운데 있는 부호를 받고 루트 n + 1 플러스 루트에는 곱해주는 겁니다 루트 n + 1 + 루트 n 그러면 분자는 뭐 나와요 계산해 주면 분자는n + 1 - n이고요 이때 n - m이 사라지고 남는 거는 뭐 밖에 없어요 루트 n + 1 플러스 루트 n분의 1밖에 없습니다 그러면 n이 무한대로 가니까 너무한데 얘도 무한대 그러면 분모가 무한대네요 무한대 1골이니까 우리가 0으로 수렴한다라고 하면 됩니다

자 넘어가겠습니다 이번엔 극한의 대소관계인데요 우리가 어떤 수열 an과 bn이 있어요 그런데 am보다 bn이 항상 크거나 같아요 자 그런데 an이 알파로 수렴하고 bn이 베타로 수렴한다면 우리는 그때의 극한값 수렴하는 수렴하는 그 값도 마찬가지로 같은 대조 관계를 갖게 됩니다 an이 BM 보다 작가나 같았다면 알파와 베타의 관계도 알파가 벡터보다 작거나 같다가 되는 거예요 자 우리가여기서요 요런 말 밑에 읽을 수가 있어요 지금요 조건에서 만약에 이게 아니라 이거예요 등호가 빠져요 그래도 동일하게 우리가 리미트로 가면 극한값으로 가면 동일하게 성립을 합니다 자 만약에 an과 bn이라는 수열 사이에 cnn이라는 수열이 껴 있어요 그랬을 때 자 an의 수렴하는 값과 bn의 수렴하는 값이 알파로 같으면요 우리가 애니 무한대로 가는 리미트 cn도 똑같은 값으로 이렇게 수렴하는 거예요 우리가 함수극한에서 똑같은 내용을 배웠었죠 자 이렇게 볼 수 있을 것 같아요 여기도 리미트 그러면 얘가 뭐예요 얘가 뭐예요 알파 만약에 둘 다 알파면 가운데 있는 애니보안대로 가는 리미트 cn도알파라는 얘기입니다 자 마찬가지로 지금 여기에 등호가 안 들어가 있어도요 조건이이 조건이 되어도 동일하게이 법칙이 적용이 됩니다 자 이걸 내용으로 활용해서 우리가 개념 예제를 좀 풀어 볼 건데요 지금 좌변에 있는 맨 왼쪽에 있는 n제곱 플러스 1분의 3n제곱이 n이 무한대로 갈 때이 무한대로 가는 리미트로 구하면 값이 뭐예요 3이죠 자 만약에 여기다가도 리미트를 취했어요 여기다가도 리미트를 취하면 지금 분모 분자 차수 갖고요 재고차항 계수분의 최고차항 계수니까 3으로 계산을 할 수가 있습니다 따라서 우리는 뭘 알 수 있는 거예요 n이 무한대로 가는 리미트 a에는 3이다라고 구할 수가 있는 겁니다

자 여기까지 해서요 우리가 수열의 극한을 좀 계산하는 방법도 해봤고요 대소관계에 관한 내용도 학습을 좀 했습니다 자 우리가 함수에 극한하고 겹치는 내용이많아서이 부분은 조금 공부하기 수월할 거라고 생각이 됩니다 그래도 복습은 꼭 하고 뒤에 강의 들으시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다