[수학대왕] 미적분 개념강의 : 수열의 극한 - 등비수열의 극한

자 오늘 학습할 내용은 등비수열의 극한입니다 우리가 등비수열에 극한값을 어떻게 계산하는지 볼 건데 자 첫째 항이 아니고 공비도 아린 이런 아래 n제곱으로 표현되는 등비수열이 있다고 합시다이 등비수열의 우리가 수렴과 발산을 계산해 볼 건데 그 수렴과 발산을 결정하는 것은 바로이 공기의 범위입니다 공비의 값에 따라서 공비의 값에 따라서 수렴과 발산이 달라져요 만약에 공비가 1보다 크면요 공비가 1보다 크면 예를 들어 공비가 2인수열이라고 합시다 그러면 수혈을 쭉 나열했을 때 2 4 8 16 이렇게 될 거예요 그러면 n이 무한대로 가는이 수열은 2의 n제곱으로 표현되는데 어떻게 되겠어요발산하겠죠 무한대로 말선합니다 그래서 우리는 이렇게 공비가 1보다 크면요 공비가 1보다 크면이 m이 무한대로 가는 리미트에서 아래 n제곱이 무한대로 발산한다 이렇게 쓸 수 있습니다 만약에 공비가 1이면요 우리가 예를 들어 공비가 1이면 수혈을 쭉 나열을 했을 때 달라질까요 안달라집니다 일이 계속 까는 거예요 그래서 이런 경우에는 n이 무한대로 가는 리미트 1의 n제곱이고 결국은 그냥 1이 되겠죠 1로 수렴하는 겁니다 1로 수렴해요

자 알이 절댓값 알이 1보다 작다고 되어 있는데 우리가 풀어서 쓰면 -1보다 크고 1보다 작다예요 자 요거는 우리가 이거랑 좀 비교를 할 필요가 있어요 자 x가 무한대로 가는 리미트 x분의 1은 뭐예요 0이죠 그러면 x가 무한대로 가는 리미트 2의x분의 1은 뭘까요 자 얘도 마찬가지로 0입니다 그러면 요거를 n으로 바꾼다 그래서 달라질까요 2분의 1의 n제곱이라고 하면 똑같이 얘는 1이니까 0이 될 겁니다 이렇게 이런 꼴로 표현이 된다면 우리가 지금 무한대로 가면 얘가 0이 되는 거예요 그런 범위가 어떤 범위냐구요 바로 마이너스 1보다 크고 1보다 작은 범위를 말하는 겁니다이 범위에서는 n이 무한대로 가면 애니 무한대로 가는 리미트 아래 n제곱이 0이 되는 거예요 자 r이 마이너스 1보다 작거나 같아요 예를 들어 공비가 -2라고 해볼게요 그러면 -2 4 - 8 이렇게 됩니다 지금 보호가 어떻게 되고 있어요 플러스랑 마이너스가 지금 번갈아가며 바뀌고 있죠 우리가 이런 수열은 진동이라 합니다 진동 m이 무한대로가는 리미트 아래 n제곱은 진동이다 발산이죠 발산 중 한 종류입니다 이렇게 표현을 해 줄 수가 있습니다 자 그래서 우리가 개념 예제를 한번 볼 건데 수렴과 발산을 조사하라 그랬어요

자 첫 번째 문제 보면 자 5분의 1이 공비인데요 자 공비가 지금 -1과 1 사이 있죠 자 이런 경우에 n이 무한대로 가는 리미트 1/5의 n제곱은 어떻게 돼요 우리가 n이 무한대로 가는 리미트의 n제곱 분의 1이니까 0이 됩니다 자 2번 보면요 지금 공기가 -3이에요 그러면 공비가 지금 -1보다 작거나 같죠 그런 범위에서는 우리가 어떻게 된다 그랬어요 진동한다라고 했어요 자 우리가 요거를 범위를 꼭 외우지 않아도 우리가 수열을 나열해보면 -3 9 - 27 81 이렇게 진행되는 수열이에요 플러스 마이너스가 번갈아가며 생기고 있기 때문에 우리가이런 경우에는 진동이라고 하죠 자 마지막으로 2분의 3의 n제곱인데요 자 공비가 2분의 3이죠 공비가 2분의 3이니까 지금 공비가 1보다 커요 자 이런 경우에는 n이 무한대로 가면 어떻게 돼요 n이 무한대로 가는 리미트에서 2분의 3의 n제곱은 어떻게 돼요 양이 무한대로 발산하죠 발산합니다 발산 그래서 1번은 수렴 2번과 3번은 발사 2번은 그 중에서 특히 진동이다라고 해주면 됩니다 자 넘어갈게요 자 등비수열의 수렴 조건인데요 우리가 등비수열의 수렴 조건이라 그러면 -1보다 크고 1보다 작거나 같아야 됩니다 우리가 마이너스 1과 1 사이에 있을 때는 -1과 1 사이에 있을 때는 우리가 0으로 수렴하죠 0으로 수렴하고요 자 만약에 r이 1이면 뭘로 수렴해요 1로 수렴하죠 1로수렴 자 이거는 아래 n제곱 뿌릴 때에요 우리가 첫째항이 아리 아닐 때는 달라지겠죠 어쨌든 -1과 1 사이에 있을 때랑 1일 때 모두 수렴한다 그래서 수렴할 조건은 -1보다 크고 1보다 작거나 같다 이렇게 알고 있으면 되고요 자 이렇게 첫 장이 a예요 그래서 등비수열 a의 아래에 n - 1 제곱의 수렴 조건을 물어보면 우리가 똑같이 공비가 -1하고 1 이하인 거는 똑같고요 하나가 추가됩니다 첫째 항이 0이어도 우리가 모든 항이 0이기 때문에 수렴한다고 할 수 있겠죠 그래서 첫째항 01 조건이 하나가 추가되는 겁니다 밑에 있는 내용이 똑같은 내용이에요 첫째항용이면 공비 관계없이 수렴하고 공비가 마이너스 1초가 1 2하면 첫째 항의 관계없이 수렴한다 그래서 우리는이 a의 아래 n - 1 제곱의 수렴 조건은 a가 0이거나 -1 초과 1 이하인 공비 이렇게 조건을 우리가가지고 계산을 해주면 됩니다

자 개념 예제 볼 건데요 등비수열 x-3의 n제곱이 수렴하도록 하는 실수x 값의 범위를 구하라고 했어요 그러면 지금 공비가 뭐예요 공비가 x-3이에요 그래서 공비가 -1보다는 크고 1보다는 작거나 같은 x값의 범위를 구해주면 2초가 4 2 합니다 지금 얘가 첫째항이 x-3인데 첫째항이 0이어도 수렴한다 그랬죠 그런데 그랬을 때 나오는 x값 x는 3은요 이미 여기에 포함되어 있기 때문에 굳이 따로 써주지 않아도 됩니다 그래서 답은 2초가 42야라고 적으면 돼요 자 2번 보도록 할게요 지금 공비가 뭐예요 여기서 공비가 x-5입니다 그러면 공비가 -1보다는 크고 1보다는 작거나 같을 x값의 범위를 구해주면 4초과 6 이하구요 여기 하나가 추가되죠 우리 지금 첫째 항이x니까 x가 0이어도 우리는 수렴한다고 할 수가 있어요 그래서 답을 x는 0 또는 4초가 6이야 이렇게 쓰면 됩니다 자 넘어가도록 할게요 자 등비수열이 극한값이 계산인데요 우리가 요렇게 칩핑을 하면 될 것 같아요 -1보다 크고 1보다 작은 아래 n제곱 꼴을 만들어 주는 거예요 이걸 만들어 주는 겁니다 그래서 an이 무한대로 가는 리미트에서 만약에 2의 n제곱 플러스 4의 n제곱 분의 2의 n²-4의 n제곱이 있어요 그러면 공비가 -1하고 1 사이에 있는이 등비수열 골을 만들어 줘야 됩니다 그래서 지금 2도 있고 4도 있는데 공비가 각각 2랑 4인 등비수열이죠 이거를 분모 분자를큰 애로 나눠져요 큰애로 큰 애가 뭐예요 4죠 그래서 4의 n제곱으로 분보 분자를 나눠주면 4의 n제곱 분의 2의 n제곱 플러스 1분의 4^n - 1이고요 자 n이 무한대로 가는 리미트에서 얘가 지금 4분의 2의 n제곱이고 분자는 4분의 2의 n제곱 마이너스 1이에요 n이 무한대로 가면 얘가 지금 0이죠 얘도 0입니다 그래서 남은 건 1분의 - 1이어서 답이 -1로 나오는 거예요 우리가 이렇게 큰 숫자로 나눠주면 4의 n제곱 분의 2n제곱은 4분의 2n제곱이고 이거의 공비가 -2라고 1 사이에 있으니까 우리가 무한대로 보냈을 때 0이 되는 점을 이용해서 계산을 할 수가 있는 겁니다

자 넘어가겠습니다 자 요 값을 구하는 거고요 마찬가지로 우리가분모 분자를 뭘로 나눠주면 될까요 얘는 지금 3으로 나눠주면 되겠네요 다음으로 나눠주면 3w n제곱 분의 2에 + 1 되고 3으로 나눈다는게 3의 n제곱으로 나눈다는 소리예요 자 3의 n제곱 분의 3의 n + 1 제곱 플러스 3의 ^ 2 그러면 오 지금 지수가 다른데 어떻게 하나요라고 생각할 수 있어요 그러면 지수를 통일시켜 주면 됩니다 우리가 1 플러스 3의 n제곱분의 2n제곱 곱하기 2고요 분자는 3의 n제곱 분의 3 곱하기 3의 n제곱 플러스 요거는 그냥 3분의 2n제곱이라고 이제 쓸 수 있겠네요 자 얘가 약분돼서요 지금 애니 무한대로 가는 리미트에서 1+ 요거 두 개를 묶어서 3분의 2의 n제곱 곱하기 2분의 3 + 3분의 2의 n제곱 자 n이 무한대로 가니까얘네들이 0이 되죠 얘네들이 0입니다 그래서 남은 건 뭐예요 3 밖에 없네요 그래서 이렇게 계산을 해주면 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 등비수열에 극한값 계산하는 방법을 좀 여러가지 배워 봤어요 수렴 조건도 있으니까이 내용들 꼭 꼼꼼하게 복습하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다