[수학대왕] 미적분 개념강의 : 수열의 극한 - 급수의 수렴과 발산

자 오늘 배울 내용은 급수의 수련과 발산입니다 우리가 오늘 급소를 처음 배우는 날인데 급수가 뭔지도 알아야겠죠 자 급수가 뭔지 한번 봅시다

수가 뭐냐면 우리가 수혈 an의 각 항을 차례로 쭉 더한 거예요 그런데 n번장까지 더한게 아니라요 계속 더하는 겁니다 무한히 더하는 거예요 그거를 급수라고 합니다 그래서 이거를 시그마로 나타낼 때 우리가 만약에 n항까지의 합이면 이렇게 썼죠 k는 1부터 n 번째 항까지 더한다 그래서 AK 요렇게 썼었는데 우리가 급수는 무한히 더하는 거기 때문에 a는 1부터 무한대까지 더한다라는 의미로 위에 무한대를 씁니다 얘가 이제 급수를 나타내는 방법이에요 자 그리고 우리가이 급소에서 구분합이라는 용어가 또 있어요 부분합이 뭐냐면 급소에서 급소에서 첫 번째부터 n 번째 항까지의 합 우리가 흔히 sn이라고 했던 거 요거를 이제 우리 부부납이라고 할 거예요 sn은 A1 a2에서 am까지 더한 거고요 지금 아 개인이 내일부터인까지 AK 우리가 이미 많이 했던 거죠 이거를 이제 부분합이라고 부를 겁니다 자 급수의 수렴과 발산인데요 우리가 급수는 어떻게 수련과 발산을 판단하냐 급수 n인 1부터 무한대까지 an의 부분합으로 이루어진 수열 sn이 일정한 값 s의 수렴하면 우리는이 급수가 수렴한다고 해요 자 그런데 우리가 이식을 한번 볼게요 자 n이 무한대로 가는 리미트 sn이에요 지금 부분합의 극한을 취한 거죠n이 무한대로 가는 리미트에 부분합 sn을 넣었어요 자 이때이 sn을 뭐라고 쓸 수 있어요 esnl k는 1부터 n까지 시그마 AK 이렇게 쓸 수 있습니다 그래서 요거를 계산한 값이 만약에 s로 수렴하면 우리는이 급수가 수렴한다라고 할 수 있는 거예요 얘가 수렴한다 자 뭐라고요 부분합이 수렴하면 부분합이 수렴하면 우리가 급수가 똑같은 값의 수렴한다 이렇게 보면 됩니다 그래서 이렇게 나타낼 수 있겠네요 A1 A2 an을 넘어가서 계속 더한게 만약에 s다 여기에 지금 급수가 s로 수렴한다는 의미죠 시그마를 이용하면 n은 1부터 무한대까지 시그마 a에는 이렇게 쓰일 수가 있습니다 자 제일 중요한 건요 내용이에요 우리가 급수의 수렴을 판단하기 위해서는이 부분합의 부분합의 수렴을 조사한다 우리가부분합의 수렴을 조사해서 그 급수의 수렴과 그 수렴하는 값이 뭔지 파악을 할 수가 있는 겁니다

자 마찬가지로 급수가 발산하면요 급수가 발산하는 것은 우리가 부분합으로 이루어진 수열 sm이 발산할 때 우리는 급수가 발산한다고 하는 거예요 마찬가지로 부분합이 발산하면 부분합이 발산하면 급수가 발산한다 이렇게 반별을 해주면 됩니다 자 넘어가서 우리가 개념유재 볼 건데 자 우리가이 급수의 합을 구하라고 했는데요 제가 여기 있는요 수열을 제가 an이라고 할게요 그래서이 급소의 부분합 sn을 먼저 계산을 해 줄 건데 A1 플러스 a2+에서 n 번째 항까지 더한 거를 구분합이라고 하죠 그러면 우리가 an을 이렇게 정리할 수가 있어요 부분 분수분해를 통해 1/n - n + 1로 정리가 돼요 자 그러면 a1은요 1 - 1/2이고a2는 1/2 - 1/3이고 쭉 가서요 a에는 1/n - n + 1입니다 자 그러면 사라지는게 있어요 이렇게 사라지고 쭉 사라져서 남은 애들은 뭐 밖에 안 남았어요 남은 애들은 1-n + 1분의 1밖에 안 남았습니다 우리가 요게 부분합을 계산해 준 거예요 자 급수의 수렴하는 값을 구하기 위해서는 우리가 애니 무한대로 가는 리미트에서 부부남의 값을 구해주면 되죠 자 n이 무한대로 가는 리미트에서 sm이 1-m + 1/1이니까 지금 부분합이 1로 수렴하네요 자 부분합이 1로 수렴하면 우리 급수 n이 1에서 무한대로 가는 n+1은 뭘로 수렴하는 거예요 1로 수렴하죠 이렇게 계산을 해주면 돼요 어떻게 계산했어요부분합을 계산해서요 부분합의 리미트를 취했더니 1이 나왔어요 그러면 부분합이 수렴하는 값은 급수가 수렴하는 값과 같아서이 값도 1이다라고 계산을 해준 겁니다 자 부분합을 통해서 계산을 해주는 거예요

넘어가겠습니다 자 이번엔 급소와 수열의 극한값 사이의 관계인데요 지금 일본의요 내용을 보면 급수 n이 1부터 무한대까지 시그마 am이 수렴하면 n이 무한대로 가는 리미트 am이 0이다라고 써 있어요 자 1번은 별표를 조금 달게요이 내용이 중요합니다 중요한데 우리가 조금 헷갈려요 학생들이 좀 어려워하는 내용이라서 자 요걸 왜 그런지 한번 볼 건데요 우리가 급수가 수렴한다는 말은 제가 뭐라 그랬어요 결국은 부분합이 수렴하는거다라고 그랬어요 제가 그 부분합의 수렴하는 값을 s라고 할게요 자 그러면 n이 무한대로 가는 리미트에서 sn-1도요 m - 1번째 한 가지의 부분합도똑같이 s로 수렴할 겁니다 리미트를 취하면 n이 무한대로 가기 때문에 의미가 없어요 n이나 n-1이나 어쨌든 둘 다 s로 수렴을 하죠 자 그러면 a에는 우리가 sm-s-1이라고 쓸 수가 있습니다 얘는 2 이상이라면요 자 이때 리미트를 계산을 해주면 n이 무한대로 가는 리미트 a에는 뭐랑 같아요 n이 무한대로 가는 리미트에 SN -s-1과 같습니다 자 그런데 리미트 s에는 s로 수렴하고요 sm-1도 s로 저렴합니다 즉 S -s 구요 0이 나오죠 그래서 급수가 수렴하면 근데 수렴하는게 0이 아니에요 어떤 수렴 값이 될 수 있습니다 뭐든 될 수 있어요 급수가 수렴하면 일반항이 0입니다 일반항의 극한값이 0이에요 자 급수가 두렴하면 일반항이 극한값이 0이다 자 역은 성립하지 않아요 우리가 일반항이 극한값이 0이라 그래서 급수가 수렴하는 거는 아닙니다 자 2번은요 대우예요 대우명제 대우명제가 뭐예요 우리가 가정과 결론을 각각 부정을 구하고 순서를 바꿔준 거죠 그래서 n이 무한대로 가는 리미트 ane 0이 아니라면요 우리는 급수가 발산한다이 내용으로도 우리가 활용을 할 수가 있어요

자 밑에 내용 한번 보도록 할게요 자 일방이 0이면 급수 n이 1부터 무한대까지 시그마 am이 수렴한다 요게 성립하지 않는다라고 적혀 있고요 이런 반례가 있습니다 ane n분의 1일 때 n이 무한대로 가는 리미트 n분의 1이 0이에요 자 일반항은 지금 일반항이 극한값이 0입니다 하지만 이렇게 급수의 값은 발산해요 우리가 1 + 1/2 + 2/3에서쭉 더 있을 때 우리가 어떤 값으로 수렴하지 않기 때문에 발산한다라고 할 수 있어요 그래서 역은 성립하지 않고요 급수가 수렴하면 일반항이다 요거 꼭 기억해 두시기 바랍니다 자 넘어가겠습니다 자 수열 an에 대하여 급수가 수렴한데요 지금 요게 수렴한데요 그러면 급수가 수렴하면 여기 안에 들어있는 일반항 뭐예요 am-5가 2 급수의 일반항인 겁니다 제가 이거를 bn이라 그럴게요 그러면 지금 급수가 수렴하니까 n이 무한대로 가는 리미트 bm이 뭐예요 b에는 0이 되는 거죠 일반항이 극한값이 0이 돼야 됩니다 자 우리가 구하는 거는 n이 무한대로 가는 리미트 an의 값을 구하는 거고요 우리가 n이 무한대로 가는 리미트에 a에는 여기서 우리가 an-o를 bn이라고 했기 때문에 an을 이렇게 쓸 수 있어요dn+5라고 여기다가 dn+5라고 쓸 수가 있고요 자 n이 무한대로 가는 리미트 뒤에는 0이고 뒤에 오는 그대로 나와서 값이 5라고 계산이 됩니다 자 제가 되게 쉽게 했는데 여기서 중요한 건 우리가이 am-o라는 식을 새로운 수열 비엔으로 치환을 해서 계산을 해 줘야 됩니다 그래야 우리가 우리 극한 성질을 정확하게 쓸 수가 있는 거예요

자 이 내용 중요하니까 우리가 이렇게 안에 있는 거를 치환해서 푼다 요거를 좀 기억해 두고 연습하시기 바랍니다 자 이번엔 급수의 성질인데요 우리가 두 급수 요거와 요거가 수렴해요 수렴하고 그 앞에 각각 그압을 각각 s와 t라고 하면요 우리가 이렇게 실수배도 이렇게 성립하고요 합도 우리가 시그마를 쪼개서 계산을 할 수가 있고 차도 이렇게 쪼개서 계산을 할 수가있습니다 자 여기 왜 중에 언제 된다고요 수렴할 때만 되는 거예요 수렴할 때만 an과 bn이이 두 급수가 an에 관한 급수와 bn에 관한 급수가 수렴할 때 성립하는 겁니다 자 넘어가 보도록 할게요 자 시그마 a는 1부터 무한대까지 a에는 5구요 n은 1부터 무한대까지 b에는 -입니다 자 급수 요거에 합을 구하는 문제구요 자 우리가이 급소가 지금 얘도 수렴하고 얘도 수렴하니까 이렇게 쓸 수 있는 거예요 n은 1부터 무한대까지 무한대까지 BN 이렇게 쪼갤 수가 있습니다 자 그래서 5 - 2의 -2니까 5+4라서 9라고 계산을 해줄 수 있겠죠 자이 과정이 왜 된다고요 지금 안에 들어있는 an과 bn이 수렴하기 때문에이 급수들이 수렴하기 때문에 우리가이렇게 계산을 할 수가 있는 겁니다

자 여기까지 해서 우리가 급수에 관한 내용을 배워 봤습니다 우리가 급수라는게 조금 헷갈릴 수 있어요 기호가 복잡하죠 시그마의 무한대까지 들어 있으니까 그래서 충분한 연습을 통해서 익숙해지는 과정이 필요하니까 복습 꼼꼼하게 하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다