[수학대왕] 미적분 개념강의 : 수열의 극한 - 등비급수

자 오늘 학습할 내용은 등비급수입니다 우리가 지난 시간에 급수를 배웠는데요 오늘은 그 급수 중에서 등비급수라는 것을 배울 거예요 자 등비급수인데 우리가 급수가 뭐였어요 급수라 그러면 어떤 수열 an에 대해서 A1 + A2 + 쭉 더해서 an 그리고 계속 더해서 요거를 우리가 급수라고 하고요 이거를 시그마를 이용해서 n1부터 무한대까지 더한 am 이렇게 표현을 할 수가 있었어요 자 등비급수는요 우리가이 an이라는 수열이 등비수열인 급수를 우리는 등비급수라고 합니다 얘가 등비수열 인급수를 등기 급수라고 하는 거예요 자 이때요우리가이 첫 재앙이 a고요 공비가 아니고 등비수열 이렇게 해서 급수를 ar의 n - 1 제곱이라고 표현할 수 있겠죠 우리가 등비수열은 첫째 항과 공비를 가지고 표현을 하기 때문에 이렇게 ar의 -1 제곱이라고 표현을 할 수가 있습니다 그래서 쭉 나으려면 이렇게 되겠네요

자 첫째 항이 0이 아닌 경우에 우리가 이렇게 등비급수라고 합니다 첫째 항이 0인 경우 등비급수라고 하지 않아요 자 넘어가겠습니다 자 등비급수의 수렴과 발산을 볼 건데요 우리가 급수의 수렴과 발산을 볼 때는 뭐를 확인했어요 부분합의 부분합의 리미트를 취해서 그 n의 무한대로 가는 리미트의 sn이 수렴하는지 발산하는지 확인을 해서 우리가 급소의 수렴 발산을 확인할 수 있었어요 등비급수도 마찬가지입니다 자 우리가 어떤 수열 an이 등비수열이면 첫째항이 a고 공비가r이면 ar의 -1 제곱이라고 우리가 수열의 en을 쓸 수가 있습니다 자 이때요 우리가 급수 n은 1부터 무한대까지 시그마 a에는 이렇게 조사할 거예요 n이 무한대로 가는 리미트의 sn의 수련 발산으로 조사할 거예요이 sn은 뭐예요 부분합이에요 자 그러면 우리가 sn을 이렇게 계산할 수 있죠 얘가 지금 등비수열이기 때문에 등비수열이기 때문에 1-r분의 a의 1 - r의 n제곱이라고 계산을 할 수가 있습니다 그러면 n이 무한대로 갈 때 여기에 있는이 아래 n제곱의 값을 한번 따져 볼 거예요

자 그런데 R 값에 따라 달라지겠죠 만약에 -2라고 1 사이에 있으면요 n이 무한대로 가는 리미트의 아래 n제곱은 어떻게 된다고배웠어요 요거는 0이 된다 그랬죠 그래서 n이 무한대로 가는 리미트 sn에서 지금 무한대로 가는 리미트 1 - 1/r로 계산이 되는 거예요 그래서 우리가 등비급수를 계산할 때요이 공비가 -1하고 12살이 있으면 이렇게 1-r분의 a라고 우리가 급수의 값을 계산을 할 수가 있습니다 자 그러면 만약에 r이 1이면 어떻게 될까요 아리 1이면 우리가 첫째항 a를 요렇게 계속 더하는 꼴이 되겠죠 계속 더하는 꼴이 되니까 우리가 a가 0이 아니라면 얘는 플러스 무한대이거나 - 무한대입니다 우리가 a값의 부호에 따라 + 무한대가 될 수도 있고 - 무한대가 될 수도 있겠죠a가 0이 아닌 경우에는 요렇게 플러스 무한대 - 무한대 결론은 뭐예요 발산이죠 발산 공비가 1인 경우에는 발산하는 겁니다 자 아니 마이너스 1인 경우는 어떻게 될까요 첫째항이 a니까 a - a a 마이너스 a 쭉 더할 거예요 그러면이 n이 짝수냐 홀수냐에 따라서 0이 될 수도 있고요 0이 될 수도 있고 플러스 a가 될 수도 있어요 그렇기 때문에 어떤 한 값으로 값이 모여지고 있지 않기 때문에 얘는 우리가 발산한다고 하죠 우리가 한 값으로 모이지 않는 것을 발산이라고 합니다 발산 특히 얘는 진동이라고 할 수 있겠네요 진동입니다 자 알이 만약에 1보다 크고요 아니면 r이 마이너스 1보다 작아요 이런 경우에는 어떻게 될까요 우리가 n이 무한대로 가는 리미트sn이 n이 무한대로 가는 리미트에 1-r분의 a의 1 - r의 n제곱인데이 아래 n제곱의 값이 어떤 값으로 수렴하고 있지 않기 때문에 우리는 이런 경우에 발산이라는 것을 우리가 확인을 할 수가 있습니다 또 마찬가지로 발산이에요 그러면 수렴하는 경우는 딱 하나죠 어디예요 공비가 -2라고 1 사이에 있을 때 이때만 우리가 수렴을 하는 겁니다

자 교재 한번 보도록 할게요 자 발사는 아래 값의 범위에 따라 즉 공비의 범위에 따라 결정되고요 공비가 아니라면 절대값 알이 1보다 작을 때 이때는 우리가 어떤 범위를 말하는 거예요 -1보다는 크고 1보다는 작고 이때 수렴하고요 그 수렴하는 값은 1-r분의 a예요 자 공비가 아릴 때 절대값 r이 1보다 크거나 같으면 이때는 우린달산한다라고 합니다 발산한다 근데 r값에 따라 이게 지금 진동인지 플러스 무한대로 가는지 - 무한대로 가는지 요거는 조금씩 달라질 수 있습니다 자 우리 여기 마지막 한번 내용 볼게요 첫째 항이 0이면 첫째 항이 0이면 모든 합이 0이므로 급수 합은 0이다라고 적혀 있어요 우리가 첫째 항이 0인 경우는 따로 조금 고려를 항상 해줘야 됩니다 자 여기까지 됐죠 넘어가 보도록 할게요 자 다음 등비급수의 수렴과 발산을 조사하고 수렴하면 그 합을 구하라고 했어요 자 n1부터 무한대까지 가는 시그마 3분의 1의 n제곱인데요 지금 공비가 몇이에요 공비가 3분의 1이고 첫째랑 a라고 할게요 첫째항도 3분의 1입니다 그러면 지금 공비가 -1하고 1 사이에 있기 때문에 우리는 어떤 걸 알 수 있어요 수렴하는 것을 알 수가 있습니다 자 수렴하니까이값은 뭘로 수렴해요 우리가 어떻게 계산을 한다 그랬어요 3분의 1의 n제곱이면 1 - r분의 a로 계산을 한다 그랬어요 그래서 1 - 1/3이고요 계산해 주면 1/2이라고 우리가 계산을 할 수가 있습니다

자 두 번째도 볼 건데요 우리가 지금 공비를 알이라고 하면 공비가 2인 것을 알 수가 있어요 2의 n제곱이니까 자 그런데 지금 공비가 2니까 범위가 어디부터 어디까지예요 1을 넘어갔죠 공비가 1보다 큽니다 자 이런 경우에는 뭐예요 발산하죠 발산합니다 자 그러면 제가 부분합을 sn이라고 했을 때 n이 무한대로 가는 리미트에 sn을 한번 계산해 볼게요 자 애니 무한대로 가는 리미트 s에는 공비 마이너스 1분의 첫째항 첫째항도 지금 첫째항을 a라고 했을 때 2죠 2곱하기 공비의 n제곱 마이너스 1 얘는 어차피 1이고요 그러면 n이 무한대로 가는 리미트에 2에 n제곱 마이너스 1입니다 n이 무한대로 가면 얘가 어디로 가겠어요 플러스 무한대로 발산하겠네요 양이 무한대로 발산하는 겁니다 자 여기까지 됐죠 넘어가겠습니다 이번엔 등비급수의 수렴 조건인데요 우리가 앞에서 확인했듯이 등비급수 아래 n제곱의 수렴 조건이라 그러면 공비가 -1하고 1 사이에 있을 때 수렴한다 그랬어요 만약에 첫째랑 a가 있으면 ar의 n - 1 제곱의 수렴 조건은 공비가 -1하고 1 사이에 있는 건 당연히 들어가고요 우리가 첫째 항이 0인 경우는 따로 좀 고려를 해줘야 된다 그랬어요 자 우리가 헷갈릴 수 있는게 하나가 있습니다 등비수열의 수렴 조건과 등비급수의 소령 조건이 헷갈릴 수 있는데요 우리가 등비수열을 an이라 그러면

자 이 수열을 a 곱하기 아래 n - 1 제곱이라는 이런 등비수열이라고 하겠습니다 그러면 n이 무한대로 가는 리미트에서 am이 수렴이래요 자 이거는 등비수열이 등비수열이 수렴인 거예요 그래서 이때는 공비가 -1보다 크고 1보다 작거나 같거나 또는 첫 재앙이 0이거나 이런 경우에 우리는 등비수열이 수렴한다고 하고요 등비급수 n1부터 무한대까지 시그마 am 요게 수렴이라는 거는 등비급수가 수렴인 거니까 -1부터 1까지 또는 양이 0 이런 차이가 있습니다 뭐가 달라요 공비에서 일을 포함하냐 아냐냐 차이가 있습니다 우리가 수열과 급수의 수렴일 때에 각각 다른 조건을 가지니까 꼭 구분 지어서 생각하시기 바랍니다 자 넘어가서 우리가 개념 예제의마지막으로 볼 건데요 우리가 등비급수에는 1부터 무한대까지 이런 수열이 있네요 이런 수열이 수렴한데요 자 얘가 지금 등비수열입니다 등비수열이고요 첫째항을 a라 그러면 첫째항은 x고 공비를 r이라 그러면 공비는 x-1인 수열이에요 등비수열이죠 자 수렴한다 그랬으니까 공비가 어디부터 어디까지여야 돼요 -1부터 1까지이 사이에 있어야 됩니다 그리고 첫째 항이 0일 수도 있고요 그래서 -1보다 크고 x-1이 1보다 작습니다 그러면 0초과 2 미만이고요 여기서는 x가 0일 때도 수렴한다는 결론이 나오네요 그래서이 범위도 되고이 범위도 되니까 우리는이 문제의 답을 0 이상 22만 이렇게 답을 써주면 되겠네요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 등비급수를 좀 배워봤고등비급수가 언제 수렴하는지도 좀 배워봤습니다이 내용을 좀 꼼꼼하게 복습하고 뒤에 이제 조금 어려운 내용들이 있어요 그 내용들을 배우시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다