[수학대왕] 미적분 개념강의 : 수열의 극한 - 등비급수의 활용

자 오늘 아스팔 내용은 등비급수의 활용입니다 우리가 등비급수를 지난 시간에 배웠는데 몇 가지 활용하는 내용을 좀 배워보도록 할게요 자 첫 번째는요 순환소수와 등비급수입니다 우리가 순환소술한 거를 중학교 과정에서 배운 적이 있습니다 순환소수란 걸 배운 적이 있는데 우리가 순환소수는 반드시 기약분소로 나타낼 수 있어서 우리가 유리수라고 하죠 우리가 유리수라고 하고요 그거를 우리가 분수로 바꾸는 방법을 우리가 중학교 과정에서 배웠어요

자 이렇게 공식에 의한 방법을 아마 배웠을 거라고 생각을 합니다이 내용을 배웠었는데 우리가 오늘 해볼 거는이 등비급수를 활용해서 순환소수를 분수로 바꾸는 거예요 자 순환소수를 등비급수로 나타낼 거고요 나타내서첫째 항과 공비를 가지고 등비급수 합의 이렇게 1-r 분의 a 가 된다는 걸 가지고 분수로 바꿔 줄 겁니다 자 그러면 우리가 한번 직접 해보도록 할게요 자 1번 보면 0.4예요 0.4의 지금 점이 찍혀 있는데 얘를 쭉 나열하면 뭐인 거예요 이렇게 쭉 가는 이런 이런 숫자를 이런 소수를 순환소수라고 합니다 얘를 조금 풀어서 쓰면 이렇게 쓸 수 있죠 0.4 + 0.04 + 0.004 + 쭉 더하는 거예요 자 각각 분수로 표현을 해주면요 10분에서 더하기 100분의 4 더하기 1000분의 4 + 이렇게 쭉 더할 겁니다 자 그러면 여기 써 있는 20분의 4를 제가 a1이라고 할 거고요 100분의 4를 A2 선분의 4를 a3라 그러면 자 a1이 a2가되려면 몇을 곱했어요 10분의 1을 곱했죠 여기도 10분의 1을 곱합니다 여기도 10분의 1을 곱해요 즉 얘는요 수열 an을 계속 더한 거예요 a는 1부터 무한대까지 근데이 a에는 무슨 수열인 거예요 등비수열인 거죠 등비수열이구요 첫째 항이 첫째 항이 10분의 4고 5분의 2라고 쓸게요 5분의 2고 공비가 1/10이 이런 등비수열인 겁니다 그래서이 급수를 1-r로 계산을 할 수가 있고요 1 - 1/10 5분의 2니까 1/10 이어서 우리가 45분의 20 즉 5로 약분해서 9분의 4라고 계산을 할 수가 있습니다 우리가 이렇게 등비급수를 통해서순환소수를 분수로 바꿀 수가 있는 거예요

자 2번 볼게요 이번엔 0.23인데 점이 3에만 찍혀 있어요 그럼 얘는 뭐예요 0.2333 쭉 갑니다 돌아섰으면 0.2 + 0.03 + 0.003 + 이렇게 쭉 가구요 저는 맨 앞에 있는 거를 첫째 항이라고 놓지 않을 거고요 얘를 첫째항이라고 놀 겁니다 d1이라고 할게요 얘를 b2라고 하고요 그럼 첫째항이 0.03이고 공비는 몇이죠 공비는 1/10이죠 그래서요 부분만요 부분만 급수로 표현을 해주면 우리가 0.2 + 시그마 n=1부터 무한대까지 BN 이렇게 쓸 수 있고요 0.2 + 1 - 공비 1/10 이렇게 쓸 수가 있습니다그러면 0.2는 1/5이죠 1/5 + 10분의 9분의 100분의 3이니까 얘를 계산해주면 1/5 + 900이네요 약분해주면 30분의 1이고요 우리가 5분의 1과 30분의 1을 30으로 통분해서 계산해주면 30분에 7로 우리가 계산을 할 수가 있습니다 자 마지막 3번 해 볼게요 자 0.12인데 둘 다 점이 찍혀 있으면 나열했을 때 어떻게 돼요 0.121212 자 얘는 제가 어떻게 쪼갤 거냐면요 1 2가 반복되니까 0.12 + 2 0.0012 + 0.000012 + 이렇게 나열을 할 겁니다 그러면 얘가 첫째항이고요 공비는 몇이에요 100분의 1이죠 그래서 얘는 1 - r분의 a로 계산을 해서요 바로 1 - 100분의 1분의첫째항 100분의 12 이렇게 계산을 해서 99라고 우리가 계산을 할 수가 있습니다

자 넘어가 보도록 할게요 이번에 도형과 등비급수인데요 학생들이 정말 어려워하는 유형 중 하나에요 자 우리가 등비급수를 이용하면 동일한 모양이 한없이 반복되는 도형 문제를 해결할 수 있다라고 적혀 있는데요 자 한없이 계속되는 일정한 규칙을 찾는다라고 적혀 있어요 자 그거보단요요 내용이 중요합니다 첫째항을 구하고요 공비를 구하는 거예요 첫 재앙을 구하고 첫째항을 구하고 공비를 구하는게 중요합니다 그래서 그 값들을 가지고 1마이너스 a로 우리가 그 도형의 어떤 문제를 해결할 수가 있어요 자 우리가 동일한 모양이 한없이 반복되는 구조를 프랙탈이라고 하는데요 한번 개념 예제로 직접 보도록 할게요 자 문제만 보면 엄청 복잡해 보이죠 자 문제를 한번 읽어보겠습니다 자 한 변의 길이가4인 정사각형 abcd에 자 한 변 길이가 4인 정사각형이에요 여기 내접하는 원오원에 대해서 abcd에서 5원을 제외한 영역의 넓이를 s1이라고 하겠대요 자 s1이 어디를 말하는 거냐면이 정사각형에서 원을 제외한이 부분을 말하는 겁니다이 부분이 부분에 넓이를 말하는 거예요 여기도 있고 여기도 있죠이 내의 영역을 합쳐서 s1이라고 하겠대요 자 그리고 그 원 원 내부에 빨간색으로 할게요 원 우원 내부에 대접하는 정사각형을 A1 B1 C1 d1이라고 하겠대요 자 이 정사각형이 A1 B1 C1 b1입니다 그럼 또 여기에 내접하는 원을 그리고요 원을 그리고 정사각형에서 원을 뺀 여기를 s2라고 하게 돼요 여기가 s2입니다 그 다음에 또 하는 거예요 여기안에다가 똑같은 일을 또 반복합니다 여기가 S3 그래서 우리는 뭘 구하는 거냐 이거를 구합니다 얘는 1부터 무한대까지 sn을 계산하는 거예요 자 그러면 결국은 우리가 S1 플러스 s2+에서 쭉 sn까지 더하고 계속 더하는이 값을 계산을 해주는 거죠 그래서 일단은 s1을 구합니다 s1을 구할 거예요 자 s1은요 정사각형 넓이에서 원 넓이를 뺀 건데 정사각형 넓이는 한변 길이가 4이기 때문에 16이구요 원 넓이를 뺄 건데 지금 원의 반지름이 여기면요 지금 여기서부터 여기까지가 지름이 4니까 반지름이 2죠 반지름이 인원의 넓이는 4파이입니다 이렇게 16-4π라고 우리가 첫 번째 s1을 구할 수가 있어요

자 두 번째로 s2를 구할 건데요s2의 그러면 뭘 구해야겠어요 우리가이 정사각형의 한 병 길이를 구해야 돼요 자 어떻게 구할 수 있을까요 자 제가 좀 그림이 더러우니까요 좀 색칠했던 것을 좀 지우고 계산을 해 보도록 할게요 여기를 조금 지우고 자 여기서 우리가이 A1 B1 C1 d1에 한 변 길이를 구해야 됩니다 여기를 구해야 돼요 어떻게 구하냐 바로 이렇게 지금 내접하고 있죠 이렇게 대각선에서 여기가 바로이 큰 원 5원의 지름과 같아요 그래서 여기가 삽니다 그러면 내가 여기 길이를 x라고 하면 x² + x²이 x² + x 제곱이 16이고요 우리가 여기서 x 값을 2루트 2라고 계산을 할 수가 있어요 그러면 우리가 s2는요정사각형 넓이는 몇이에요 2루트 2의 제곱 그리고 원넓이는 뭐예요 그럼 또 원의 지름을 찾아야 되죠 자 원의 지름이 지금이 정사각형의 한 변 길이와 같고요 그러면 여기가 2√2니까 2원의 반지름을 루트 이겠네요 그래서 π 곱하기 루트 2의 제곱입니다 계산을 해주면 몇이에요 8-2π죠 자 그러면 제가 s3도 한번 구해 볼게요 s3도 구해보면 s3는 또요 안에 있는 정사각형의 한 변 길이를 알아야겠죠 그럼 마찬가지로이 o2라는 원의 지름이 e1의 지름이이 정사각형의 대각선 길이와 같구요이 대각선 길이가 그래서 2√2입니다 그러면 여기 길이를 y라고 나왔을 때 y² + y 제곱은 우리가 2√2의 제곱이니까y의 값을 2라고 구할 수가 있습니다 그러면 x3는 정사각형 한병기리 2의 제곱 마이너스 자 한 변 길이가 2면 지금 반지름이 몇이에요 원의 반지름이 여기서부터 여기까지니까 1이죠 절반이에요 그래서 1 곱하기 파이 즉 4 - 파이입니다 그러면 제가 구한 S1 s2s3를 보면요 16-4π 8-2파이 4 - 파이에요 자 어떤 규칙성을 보여주고 있어요 나누기 2죠 나누기 2입니다 다르게 표현하면 곱하기 2분의 1이죠 곱하기 2분의 1이에요 그래서 우리가 sn이라는 애들은요 sn은요 등기수열인 거예요 우리가 부문 앞에서 쓰는 sn하고 헷갈리면 안 됩니다 sn이라는 거 자체가 지금 등비수열인 거예요 등비수열이고 첫째항 s1은 16-4π 그리고 공비r이라고 하면 공비가 1/2인 거예요 그래서 우리가 n은 1부터 무한대로 가는 sn은요 우리가 이렇게 찾을 수가 있어요 1-r 분의 S1 그래서 계산을 해주면 우리가 32-8π가 나옵니다 요게 답이에요

자 그러면 매번 이렇게 찾아야 하냐 S1 S2 S3 요걸 항상 찾아야 되냐 물어보면 우리가 그거보다는 공비랑 첫 장을 따로 구합니다 첫째는 이렇게 구해주고요 우리가 공비를 구할 때는요 공비를 구할 때는 닮은 비를 활용합니다 닮은 B 자 우리가 지금 s는 넓이에요 우리가 만약에 길이비가 길이비가 만약에 1대 2예요 그러면 넓이 비는 몇대 몇이에요 넓이 비비는 제곱에서 1대 4죠 그래서 우리가길이비를 한번 구해 볼 거예요 모아모의 길이냐면 우리가이 가장 큰 정자각형 한 변 길이와 두 번째 정사각형 한 병 길이의 b를 구할 거예요 자 아까 구했죠 몇대 몇이에요 가장 긴 거는 4구요 두 번째 거는 아까 2루트 2라고 구했었습니다 그러면 넓이 비는 제곱을 해서 16대 8이고요 그럼 넓이 비가 2대 1이네요 즉 곱하기 2분의 1을 하면 다음 넓이 글을 구할 수 있다는 거예요 우리가이 프랙탈 구조에서는요 도형과 도형 사이가 모두 닮음이기 때문에 우리가 이렇게 길이비만 가지고 넓이 비를 계산해서 공비를 찾아낼 수가 있습니다