[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 지수함수와 로그함수의 극한

자 이번 시간 학습할 내용은 지수함수와 로그 함수의 극한입니다 우리가 수학 2에서는 당함수에 극한에 대해서만 공부를 했었어요 우리가이 미적분에선 좀 더 다양한 함수의 극한을 배우게 됩니다 자 먼저이 지수함수의 극한을 보도록 할 건데 자 지수함수 y는 ax라고 합시다 이때 a는 0보다 크고 1이면 안 되죠 지수함수이기 때문에 자 이거에 대해서 우리가 극한을 구할 때는요 두 가지로 나누어서 생각을 해야 됩니다이 및 a가 1보다 큰지 아니면이 a가 0과 1 사이에 있는지 요거에 따라 달라지기 때문에 일단 요거를 먼저 생각을 해야 돼요 자 그 다음에 우리가이 극한 안에서 x가 어디로 가까워지고 있는지 그걸 한번 봐야 됩니다 자a가 1보다 클 때 먼저 볼 건데요 x가 어떤 상수로 가까워진다고 합시다

자 예를 들어 1로 가까워지면요 x가 1로 가까워지면 자 함수 그래프가 어디로 가까워지고 있어요 a로 가까워지고 있죠 자이 값은 그냥 우리가 x에다가 1을 대입했을 때 나오는 값입니다 그냥 대입해서 나오는 값이 우리가 1뿐만이 아니라 뭐 예를 들어 마이너스 2를 넣어도요 마이너스 1을 넣어도 -2로 가까워지면 -1을 대입한 값에 가까워지는 거예요 그래서 그냥 x가 k로 가까워지면 자 리미트 ax는요 x에다가 k를 대입한 a의 K 제곱이라고 계산을 해주면 됩니다 자 x가 무한대로 가는 리미트에서 ax는 지금 x가 무한대로 가니까 함수 그래프가 쭉 올라가죠 함숫값이 계속 커져요 그래서 양의 무한대로 발산한다라고 할 수 있고요 자 x가 - 무한대로 가는데x가 - 무한대로 가면 함수가 지금 계속 작아져요 작아지는데 어디에 가까워져요 우리가 이걸 뭐라 그러죠 점근선이라 그러죠 점근선 y는 0에 가까워지는 겁니다 가까워지면서 작아져요 그러면 우리가이 값은 x가 - 무한대로 갈 때 리미트 ax는 0이다라고 하면 되겠죠 자 a가 0보다 크고 1보다 작을 때는요 a가 0보다 크고 1보다 작을 때는

자 이렇게 마찬가지로 3가지로 나눠서 생각을 할 건데 x가 어떤 k라는 상수에 가까워지면 마찬가지로 우리가 여기가 키라고 하면 그냥 그 k를 대입한 함수값을 가까워지고 있기 때문에 100살이의 길을 대입한 ak로 계산을 할 수 있고요 x가 무한대로 가는 리미트에서 ax는요 자 x가 무한대로 가면 함수 그래프가 계속 작아지죠 작아지긴 하는데 어디에 가까워지면서 작아져요 y는 0이라는점근선에 가까워지면서 작아집니다 그래서 극한값이 0이고 x가 - 무한대로 갈 때 x가 - 무한대로 갈 때 지금 ax 그래프가 이렇게 쭉 올라가죠 쭉 올라가면요 어디로 가까워져요 어디로 가까워지는게 아니라 계속 커지죠 그러면 양의 무한대로 발산한다라고 할 수가 있는 겁니다 자 넘어가겠습니다 우리가 개념 예제에 한번 보도록 할 건데 첫 번째 x가 0으로 가는 리미트 2x² + 1입니다 자 x가 0으로 가까워지면요 2x는 그냥 x에다가 0을 대입한 2의 0 제곱 즉 1에 가까워지고요 1 + 1이니까 2라고 극한값을 계산할 수가 있어요 자 2번 보면요 지금 x가 무한대로 가는 리미트에서 3의 x + 1 제곱 분의 2x인데 자 우리가 지금 3의 x+1제곱이어서 지수가 달라요 그래서지수를 조금 똑같이 맞춰주기 위해서 3 곱하기 3의 x²으로 쓸 수 있고요 x가 무한대로 가는 리미트에 3분의 1 곱하기 3분의 2의 x²으로 쓸 수 있습니다

자 그러면 우리가 여기 써 있는이 3분의 2의 x 제곱을 볼 건데 3분의 2가 0과 1 사이에 있죠 그럼 얘가 이렇게 생깁니다 자 요거가 지금 점근선 y는 0이고요 x가 무한대로 가니까 x가 무한대로 가니까 무한대로 가면 얘가 쪽 y=0이 가까워지죠 그래서 얘가 0에 가까워집니다 0에 가까워져요 그래서 3분의 1 곱하기 0이어서 3분의 1 곱하기 0은 0입니다 자 3번 볼 건데요 x가 - 무한대로 가는 리미트에서 5의 x+1제곱 분의 3x고 우리가 이렇게 바꿔줄 수 있겠죠x가 - 무한대로 가는 리미트 5분의 1 곱하기 5X 3의 x고 x가 - 무한대로 가는 리미트에서 5분의 1 곱하기 5분의 3의 x 제곱이라고 쓸 수가 있습니다 자 마찬가지로 여기 써 있는 5분의 3이 0과 1 사이에 있기 때문에 요거의 그래프가 이렇게 생기고요 지금 x가 - 무한대로 가요 x가 - 무한대로 가면 함수 그래프가 쭉 계속 올라갑니다 계속 커지니까 얘가 지금 양의 무한대로 발산하는 거예요 그래서 1/5 곱하기 무한대니까 우리가 이거는 양해무한 대로 발산한다라고 극한을 구할 수가 있습니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 로그 함수의 극한인데요 우리가 지수함수의 극한과 비슷하게 우리가 따져 줄 거예요 자 로그 함수 y는 로그 a의 x에서요 a가 0보다 크고a가 1이면 안 되겠죠 자 밑의 조건입니다 자 그랬을 때 우리가 요거에 극하는 마찬가지로 a가 1보다 큰지 a가 0과 1 사이에 있는지에 따라 달라지는 거예요 그래프가 다르게 생겼으니까 자 x가 어떤 k라는 상수로 가까워지면요 자 마찬가지로 여기에 k로 이렇게 가까워진다고 해봅시다 함수 그래프가 그러면 모이죠 어디로 모여요 함수값 로그 a의 k로 모이는 겁니다 여기에 가까워져요 그래서 그냥 x가 k로 가는 리미트 로그 ax는요 우리가 그냥 x에다가 k를 대입해서 극한값을 구할 수가 있어요

자 그런데 우리가 지금이 로그 함수라는 거는 정의역이 뭐예요 우리가 이거의 정의역 x값의 범위가 0보다 큰 범위예요 그래서 x가 t로 가까워지는이 k가요 당연히 양수여야겠죠 우리가 양수가 아니라면 어떤 극한값을 찾을 수가 없습니다 자 두 번째x가 무한대로 가는 리미트에서 로그 ax고 x가 무한대로 가면요 함수 그래프가 계속 커집니다 저거 완만하게 커지긴 하는데 우리가 x가 커지면 값이 계속 커지긴 하니까 양이 무한대로 발산한다라고 할 수 있는 겁니다 자 이번엔 x가 0에 가까워지는데요 우리가 정의역이 x가 양수인 범위에서만 정의를 하고 있기 때문에 우리가 영의 우극함만 영의 우극함만 찾을 수가 있는 겁니다 x가 0의 플러스로 가는 리미트에서 로그 ax는 자 이렇게 가까워지는 거죠 이렇게 가까워지면 함수 그래프가 계속 작아져요 어디로 가는 거예요 마이너스 무한대로 가는 거죠 자 a가 0보다 크고 1보다 작은 경우도 볼 건데요 마찬가지로 x가 지금 k로 가는 상수항이면 자 k라는 상수항에 가까워지고 있으면 로그 ax는 그냥 x에다 k를 대입한 로그 a의 k라고 해주면 되고요 키가양수여야 되는 조건도 똑같습니다 우리가 정의역이 양수기 때문에 자 두 번째 x가 무한대로 가는 리미트에서 로그 ax인데 x가 무한대로 가요 그러면 함수 그래프가 어떻게 돼요 계속 작아지죠 그러면 메모한 대로 발산하는 거고요 자 x가 0 플러스 리미트면 자 x가 0의 오른쪽에서 가까워지는 거예요 우극한이죠 그럼 계속 커집니다 계속 커지니까 양해무한 대로 발산하는 거예요

자 우리가 이 내용들은요 지수함수랑 로그함수랑 항상 위치 1보다 큰지 0과 1 사이에 있는지 먼저 따져서 그래프를 간단하게 그려주고 x가 무한대로 가든 마이너스 무한대로 가든 0에 가까워지든 어떤 상수항으로 가까워지든 그런 거를 우리가 그래프를 보고 값을 구해주면 됩니다 자 그럼 개념 예제 보도로가 할게요 자 x가 8로 가는 리미트에서 로그 2x에요 우리가 로그 함수인데 지금 x가 어떤 상수에 가까워지고 있어요 그냥팔이라는 상수에 가까워지고 있기 때문에 그냥 팔을 대입해서 로그 2의 8이라고 하면 되고요 로그 2의 2의 3제곱이니까 계산하면 3이라고 계산하면 됩니다 자 두 번째 x가 무한대로 가는데요 로그 3의 x+1이에요 자 그러면 지금 밑이 3이죠 그러면 그래프를 간단하게 그려주면 이런 그래프가 될 거예요 x가 무한대로 가면 x+1도 무한대죠 그러니까 요게 무한대로 쭉 가니까이 값도 양의 무한대로 발산하는 겁니다 그래서 양의 무한대로 발산한다 이렇게 극한을 찾아 줄 수 있고요 마지막 3번인데 x가 0 플러스로 가는 리미트인데 우극한이네요 로그 2분의 1의 x예요 그러면 지금 밑이 2분의 1이죠 밑이 1/2이니까 그래프를 이렇게 그려줄 수 있고요 지금요게 점근선입니다 x는 0이라는 점근선인데 x가 0의 오른쪽에서 가까워져요 그러면 지금 함수가 위로 쭉 올라가죠 그래서 얘도 플러스 무한대로 발산한다 발산한다라고 하면 되겠네요

자 여기까지 해서요 지수함수와 로그 함수의 극한 구하는 방법 우리가 배워 봤고요 가장 중요한 것은 우리가 그래프 개형을 따져서 어디로 가까워지는지 어디로 가고 있는지 그거를 확인해 주는게 중요한 것 같습니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다