[수학대왕] 미적분 개념강의 : 미분법 - 무리수 e와 자연로그

자 오늘 학습할 내용은 무리수 2와 자연로그입니다 우리가 오늘 배울 내용은 상당히 생소한 내용인데 교재를 한번 좀 읽어볼게요 무리수 2의 정의인데요 x의 값이 0의 한없이 가까워질 때 1+x의 x분의 1제곱의 값은 어떤 일정한 값에 가까워지면 알려져 있고이 극한값을 2로 나타낸다라고 적혀 있어요 자 일단 식자체가 조금 복잡하죠 1+x의 x분의 1제곱 자 x가 0으로 가는 리미트에서 1+x의 x분의 1 제곱이 2다라고 알려져 있대요 우리가 이걸 정확하게 어떤 계산을 통해서 나타내는 것은 아니고요 우리는 그냥요 내용 x가 0으로 갈 때 리미트 1+xx분의 1이 2라는 값이구나 이게 2가 되는구나요거를 알고 있으면 됩니다

자 이때 2는 무리수고요 값은 한 2.7 정도 되는 값인데 우리가 비슷한게 하나 있죠 파이라고 3.14 정도 되는 우리가 이런 무리수라는 알고 있잖아요 얘랑 비슷합니다 우리가 앞으로 자주 쓰게 될 숫자이기 때문에 2.7 몇 정도 되는이 일을 우리가 이렇게 기호 2라는 기호를 통해서 나타낼 거고요 얘는 물이 있습니다 무리수 자 얘는 우리가 뭐 직접 x 값을 대입해 가면서 계산한 표를 이렇게 보여주고 있어요 우리가 뭐요 값들을 알 필요는 없고요 가장 중요한 건 요겁니다 x가 0으로 가는 리미트에서 1+x의 x분의 1 제곱이 2와 같다 자 그럼 이거를 왜 쓰냐이라는 숫자가 왜 있는 거냐라고 생각을 할 수가 있는데 우리가 이거를 활용해서 우리 미적분의 계산이 상당히 단순해집니다 미적분의 계산을 조금 단순하게 할 수 있는 숫자라고 보면 돼요 그래서 일단은 우리가요 정의만 좀 알고 넘어가도록 할게요자 이번엔 좀 더 다르게 표현을 할 거예요 자 아까는 x가 0으로 가는 리미트에서요 1 + x의 x분의 1 제곱이 2였는데 우리가 x를 만약에 t분의 1로 치환을 하면요 지금 x가 0으로 가기 위해서는 t가 어디로 가야 돼요 t가 무한대로 가야 되죠 그래서지가 무한대로 가는지가 무한대로 가는 리미트에서 1+ t분의 1에 x분의 1은 뭐겠어요 x분의 1은 t죠 그래서 t 이렇게 해도 표현을 할 수가 있는 겁니다 그래서 x가 무한대로 가는 리미트에서 1+x제곱은 2다 이렇게 적혀 있는 거예요

자 우리가 이렇게 단순하게만 물어보지는 않구요 우리가 숫자를 조금씩 변형을 하는데 1+x가 아니라 1+ax면요 지금 Max 자리에ax가 돌았죠 그러면 여기도 ax가 돌아야 되는 거예요 자 x가 무한대로 갈 때도 마찬가지로요 지금 여기 1+ax 분의 1이죠 x 자리에 ax가 들어있으면 지수에도 ax가 들어가야 됩니다 그래야 2가 나오는 거예요 자 오른쪽 표는 우리 그냥 단순하게 여기다가 X 값 대입해서 그냥 계산했더니 2.7에 가까워진다 2.7면 정도 되는 숫자에 가까워진다라는 것을 보여주는 표입니다 자 무리수 2를 우리가 자연 배수라고 부르기도 하고요 우리가 또 하나 보일러 상수라고 부르기도 합니다 오일러 상수 요렇게 부르기도 해요 자 넘어갈게요 자 개념 예제 볼 건데 x가 무한대로 가는 리미트에서 1+x의 값을 구하라고 했어요 우리가 x가 무한대로 가는 리미트에서 1+x의 x제곱이 2라는 걸 배운 거예요 자그런데 지금 지수가 뭐예요 ex죠 그러면 우리가 변형을 해 줘야 되는 거예요 x가 무한대로 가는 리미트에서 1+x제곱 요거의 제곱이 요거의 제곱이 2x제곱이죠 그러면 요게 2니까 답은 2의 제곱이 되는 겁니다 자 2번도 한번 볼게요 이번엔 x가 0으로 가는데 x가 0으로 가는데 리미트 1+ 3x의 x분의 1 제곱이고요 우리가 안에 지금 3x예요 3x 우리가 이건 어떻게 좀 변형이 어렵습니다 그래서이 지수를 변형시키는 거예요 자 어떻게 변형을 시켜 주겠어요 x의 0 제곱으로 x의 0으로 가는 리미트에서 1+3x에 3x라고 만들어 줘야 되고요 지금 3x면 여기도 3x가 와야 되니까자 그래놓고서 원래대로 돌리기 위해서 x분의 1 제곱이 되기 위해서 3제곱을 해주면 되겠죠 그러면 원래 있던 x분의 1 제곱하고 똑같이 나오니까 자 그랬을 때 1+3x에 3x 제곱은 2구요 우리가 그래서 답을 2의 3제곱이다라고 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 넘어가겠습니다 이번엔 자연로그인데요 우리가 자연로그가 뭐냐면 무리수 2를 밑으로 하는 로그예요 우리가 무리수 2를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 하고요 이렇게 로그 2의 x죠 위치이면 로그 2x인데 우리가 요거를 많이 쓸 거니까 새로운 새로운 기호로 새로운 기호로 lnx라고 쓸 겁니다 lnx 밑이 없죠 그리고 로그가 아니라 ln이에요 그러면 우리는 lnx면 밑이 2인 로그구나 요거랑 똑같은 거예요로그 2x 여기까지 됐나요

자 그러면 우리가 이 lnx라는 애도 결국은 로그이기 때문에 로그의 성질이 똑같이 성립을 해요 자 x가 양수고 y가 양수일 때요 로그인 에레니는 0이고 ln2는 1입니다 자 lnxy는 lnx + lni lnay x는 X - lny lnx의 n제곱은 n의 lnx 자 우리가 로그에서 다 배웠던 성질들이죠 자연로그라고 다른 성질이 성립하는게 아닙니다 똑같이 성립하는 거예요 자 이것만 하나 조금 다시 한번 보면 좋겠죠 ln2는 1입니다 밑이기 때문에 우리가 지금 2를 넣었을 때 입이 나오는 거예요 자 넘어가겠습니다 이번엔 밑이 2인 지수함수와 로그 함수의 극한인데 결국 우리가이 지수함수와 로그 함수에 극한값을 구하기 위해서이 극한값을 구하기 위해서 자연 로그를 쓰는 겁니다 자볼게요 자 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 lna + x가 1이라고 적혀 있어요 자 이거는 이렇게 볼 수가 있어요 우리가 x가 0으로 가는 리미트에서 지금 x분의 1 곱하기 ln의 1+x인데 우리가 이때이 x분의 1을 지수로 보낼 수가 있죠 x가 0으로 가는 리미트에서 ln에 1 플러스 x의 x분의 1제곱이라고 쓸 수가 있습니다 요게 ln 안에 들어있는 거예요 그러면 지금 x가 0으로 가니까 얘가 뭐예요 얘가 2죠 우리가 앞에서 배운 내용입니다 그러면 x가 0으로 가는 리미트 ln의요 부분이 2니까 리미트를 계산했을 때 바로 lne가 나오는 거예요 리미트자 x는 ln에 1 플러스 t구요 분자는 c예요 그러면 이렇게 쓸 수 있겠네요 d가 0으로 가는 리미트에서 p분의 1 곱하기 ln의 1 + t 분의 1로요 그러면 d가 0으로 가니까 요거가 지금 우리가 위에서 배운 내용이죠 위에서 지금 계산한 부분입니다 그래서 답이 1로 나오는 거예요 자 그래서 우리가요 꼴도 외우셔야 돼요 x가 0으로 가는 리미트에서 x lna+x는 계산하면 입이 나오고 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 2x^2 - 1은 1이다 우리가요 두 개는요 꼭 암기를 하셔야 돼요 우리가 공식처라 활용을 할 거니까 이거를 외우시기 바랍니다 자 밑에 보면 0이 아닌 실수ab에 대해서 이렇게 ax ax며 똑같이 1로 계산을 할 수가 있어요자 여기도 ax분의 2의 ax²이면 똑같이 1로 계산이 되죠 그런데 분모가 ax가 아니라 이렇게 bx일 수 있어요 이렇게 bx일 수 있는데 한번 계산을 해 볼게요 자 x가 0으로 가는 리미트에서 bx ln의 1+a의 x인데 결국은 ax가 있어야 우리가 계산을 할 수가 있는 거고요 ax분의 ln의 1+ax가 돼야 되니까 우리가 ax랑 bx를 요렇게 써주면 처음하고 똑같죠 ax를 분모분자에 하나씩 넣어준 겁니다 그러면요 부분이 1이고요 xx 사라져서 뭐만 남아요 1/2만 남죠 b분의 a만 남습니다 그래서 여기 b/b로 계산이 된 거예요 자 4번도 동일한 방법으로 우리가 1/b로 계산을 할 수가 있습니다 넘어갈게요

자 개념 예제 보도록 할 건데요 극한값을 구하라고 했고요 자 큰 값을 구해 보겠습니다 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 ln에 1+3x인데 지금 ln 안에 여기 3x가 있어요 그러면 분모도 3x가 돼야 됩니다 그런데 우리가 분모에만 3을 곱하면 돼요 안 되죠 분자에도 3을 곱해줍니다 그러면 3x ln에 1+3x고요 우리요 부분을 계산하면 뭐가 나온다고 배웠어요 입이 나온다고 배웠죠 그래서 답은 1 곱하기 3이어서 3이 되는 겁니다 자 2번 볼 건데 지금 x가 0으로 가는 리미트에서 2x 2의 3x - 1로 돼 있어요 우리가 여기 있는 지수 3x를 분모에도 만들어 줄 거고요 만들어 주기 위해서 3x를 한번 곱하고 분자에도 3x를 곱할 거예요 그런데 이렇게 쓸 겁니다x가 0으로 가는 리미트에서 3x 2에 3x - 곱하기 2x 3X 여기 있는 EX 3x에서 x는 약분돼서 사라지고요요 부분에 계산했을 때 1이 되니까 답은 몇이 되는 거예요 2분의 3이 되는 거죠 우리가 앞에 공식처럼 나왔는데 공식처럼 외워서 활용을 해 주셔도 좋고요 우리가 이렇게 계산을 통해서 계산을 할 수도 있으니까 방법은 꼭 알아두셔야 돼요 우리가 이거 공식만 외운다고 되는 거는 아닙니다 자 넘어가겠습니다 자 밑이이가 아닌 지수함수와 로그함수의 극한인데요

자 우리가 앞에서 배운 내용은 이거였어요 x가 0으로 가는 리미트에서 x가 0으로 가는 리미트에서 에덴의 1+x 나누기 x의 값이 1이 된다 이거였어요 1이 된다 이거였는데 지금 위치 a예요 a 로그입니다그러면 우리가 밑변환 공식이란 거를 수학1에서 배웠었는데 로그 a의 b를요 새로운 B c를 가지고 로그 씨의 a분의 로그 C b라고 할 수 있었죠 그런데 밑을 만약에 2라고 하면요 lna 분의 lnb로도 우리가 바꿀 수가 있어요 그러면 x가 0으로 가는 리미트에서 지금 로그 a에 1 + X 나누기 x인데 얘를 쪼개는 겁니다 자 쪼갠다는게 어떻게 쪼갠다는 거냐면 lna 분의 lna+x로요 그리고 여기 x가 그대로 있습니다 자 그랬을 때 우리가요 값을 이제 계산할 수 있잖아요 저 값이 1이니까 남는 건 lna 분의 1밖에 없습니다 그래서 1번은 이렇게 계산을 할 수가 있고요 자 2번도 보면요 지금 x가 0으로 가는 리미트에서 xa의 x - 1인데 여기서이 a의 x 제곱 마이너스 1을 우리가 지원을 합니다 요거를 t라고 치환을 하면 a의 x는 D + 1이구요 x는 로그 a의 T + 1이에요 자 그리고 x가 0으로 갈 때 t는 어디로 가요 요거로 갈 때 t는 마찬가지로 0으로 갑니다 자 그렇기 때문에 우리가 이거를 t에 관해서 표현을 해주면 d가 0으로 가는 리미트에서 자 x는 로그 a의 D + 1이구요 분자는 t예요 자 그러면 요거는 이거의 역수죠 이거의 역수이기 때문에 우리가요 값도 역수인 lna라고 계산이 되는 겁니다

자 그러면 우리가 오늘 배워야 될 내용은 다 배웠어요 뒤에 개념 예제를 풀긴 할 건데 그거를 풀기 전에 오늘 배운 내용을 한번 좀 정리를 하고 갈게요 자 가장 먼저 뭘 배웠냐면요x가 0으로 갈 때 리미트에서 1+ x의 x분의 1 제곱이 2가 된다고 배웠어요 우리가 오늘 일을 처음 배웠죠 자 그리고 x가 무한대로 가는 리미트에서 x 제곱은 마찬가지로 2로 간다 이렇게 배웠습니다 자 그 다음에 x가 0으로 가는 리미트에서요 우리가 x분의 ln의 1+x는 1이 된다고 배웠고요 우리 요거 계산은 이거를 가지고 계산을 해 줬죠 자 그리고 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 2의 x 제곱 마이너스 1이 마찬가지로 1이 된다고 배웠어요 우리가 요거는 치환을 통해서 이거를 가지고 계산을 해 줬죠 자 여기에서 뭘 배웠어요 우리가 이번에 밑이 2가 아닌 겁니다 x가 0으로 가는 리미트에서 로그 a에 1 +X 나누기 x는 lna 분의 1이 된다고 배웠고 x가 0으로 가는 리미트에서 x a의 x 제곱 마이너스 1은 lna가 된다고 배웠습니다 그러니까 요거는이 두 개를 가지고 이렇게 계산을 해 준 겁니다

자 이 6가지 식을요 우리가 꼼꼼하게 헷갈리지 않도록 외워야 됩니다 우리 여섯 가지 꼭 외우시고요 계수가 달라지는 경우는 그때그때 계산하셔도 되고 그 다음에 이거를 외운 다음에 연습을 해야 되는 거니까 일단은 문제를 풀 때도 우리가 여기 있는이 6가지를 꼭 외우고 나서 문제를 좀 푸시기 바랍니다 이거 외우는게 먼저예요 문제 푸는게 먼저가 아닙니다 자 넘어가겠습니다 개념 예제 볼 건데요 극한값을 구하라고 했고요 자 x가 0으로 가는 리미트에서 2x 로그 3의 1 + x예요 그러면 일단은 여기가 지금 x니까 여기가 x니까 여기도 x만 있어도 돼요 그래서 저는1/2을 좀 따로 빼겠습니다 2분의 1 곱하기 x분의 로그 3의 1+x고요 계산을 해주면 1/2 곱하기 ln/3입니다 그래서이 ln/3 이고요 자 2번 보도록 할게요 자 2번은요 지금 x가 0으로 가는 리미트에서 x분의 2에 4x제곱 마이너스 1이에요 그러면 지금 지수가 4x니까 지수가 4x니까 여기도 4x가 필요합니다 그러면 분자에도 4를 곱해줘야겠죠 그러면 이렇게 쓸 수 있을 것 같아요 x가 0으로 가는 리미트에서 4x 분의 2에 4x제곱 마이너스 1 곱하기 4구요 여기는 지금 똑같으니까 우리가요 부분을 계산하면 뭐가 나와요 ln2가 나오죠 그리고 4를 곱했으니까4ln2입니다 이렇게 계산을 해 주시면 됩니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 2라는 걸 처음 배우고 그걸 이용해서 극한값 극한값 계산하는 거 배웠어요 앞에서 공식 한번 정리하면서 말씀드렸는데 꼭 외우고 문제 푸시기 바래요 우리 6가지 헷갈리니까 꼭 헷갈리지 않도록 완벽하게 외우고 문제 푸시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다